第四章 數(shù)學(xué)中的公理化方法

第四章數(shù)學(xué)中的公理化方法第一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述公理化方法的基本思想

數(shù)學(xué)是撇開現(xiàn)實世界的具體內(nèi)容來研究其量性特征形式與關(guān)系的。其結(jié)果只有經(jīng)過證明才可信，而數(shù)學(xué)證明采用的是邏輯推理方法，根據(jù)邏輯推理的規(guī)則，每步推理都要有個大前提，我們不難想象到，最初的那個大前提是不可能再由另外的大前提導(dǎo)出的，既是說，我們的逆推過程總有個“盡頭”，同樣，概念需要定義，新概念由前此概念定義，必也出現(xiàn)這樣的情況最原始的概念無法定義。第二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

因此，我們要想建立一門科學(xué)的嚴(yán)格的理論體系，只能采取如下方法：讓該門學(xué)科的某些概念以及與之有關(guān)的某些關(guān)系作為不加定義的原始概念與公設(shè)或公理，而以后的全部概念及其性質(zhì)要求均由原始概念與公設(shè)或公理經(jīng)過精確定義與邏輯推理的方法演繹出來，這種從盡可能少的一組原始概念和公設(shè)或公理出發(fā)，運用邏輯推理原則，建立科學(xué)體系的方法叫做公理化方法。第三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述公理化方法的歷史考察

眾所周知，在長達一千多年的光輝燦爛的希臘文化中，哲學(xué)、邏輯學(xué)、幾何學(xué)得到了很大的發(fā)展，特別是哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德，總結(jié)了前人所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的邏輯知識，以完全三段論作為出發(fā)點，用演繹的方法推導(dǎo)出其余十九個不同格式的所有三段論，創(chuàng)立了人類歷史上第一個公理化方法，即邏輯公理化方法，從而為數(shù)學(xué)公理化方法創(chuàng)造了條件。亞里斯多德的思想方法深深地影響了公元前3世紀(jì)的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德，后者把形式邏輯的公理演繹方法應(yīng)用于幾何學(xué)，從而完成了數(shù)學(xué)史上重要著作《幾何原本》。第四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

歐幾里德《幾何原本》是有史以來用公理化思想方法建立起來的第一門演繹數(shù)學(xué)，而且成為以后很長時期嚴(yán)格證明的典范。《幾何原本》在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹立了一座不朽的豐碑，對數(shù)學(xué)的發(fā)展起了巨大的作用，基本上完善了初等幾何體系。當(dāng)然，現(xiàn)在看來由于受當(dāng)時整個科學(xué)水平的限制，這種公理化方法還是很原始的，其公理體系還是不完備的。所以，稱這一階段為公理化方法的初期階段。第五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

歐幾里德《幾何原本》孕育了一種理性精神，成為展示人類智慧和認(rèn)識能力的一個光輝典范。歐幾里德的《原本》所表述的數(shù)學(xué)觀是：⑴幾何理論是封閉的演繹體系?！对尽烦晒Φ貙⒘闵⒌臄?shù)學(xué)理論編為一個以基本假設(shè)到最復(fù)雜結(jié)論的整體結(jié)構(gòu)。從邏輯結(jié)構(gòu)來看，《原本》是一個最早形成的演繹體系，除所用的邏輯規(guī)則外，具備了其理論推導(dǎo)的所有前提，從理論發(fā)展形勢來看是一個封閉的理論演繹體系。第六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

⑵抽象化的內(nèi)容?！对尽分猩婕暗亩际且话愕摹⒊橄蟮母拍?，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，由一些給定的概念和命題推演出另一些概念和命題。它不考慮這些概念和命題與社會具體生活的關(guān)系，也不研究這些數(shù)學(xué)“模型”所由之產(chǎn)生的那些顯示原型。如在《原本》中研究了“所有的”矩形（即抽象的矩形概念）的性質(zhì)，但不研究任何一個具體的矩形的實物大?。弧对尽分醒芯苛俗匀粩?shù)的若干性質(zhì)，但卻一點也不涉及具體的自然數(shù)的計算及應(yīng)用。第七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

⑶公理化方法?！对尽返幕窘Y(jié)構(gòu)是由少數(shù)不定義的概念（如點、線、面等）和少量不證自明的命題（五個公設(shè)和五個公理）出發(fā)，定義出該體系中的所有其他概念，推演出所有其他的命題（定理）?！对尽肪褪怯眠@種公理化方法建立起了幾何學(xué)的邏輯體系，從而成為其后所有數(shù)學(xué)的范本。在公理化方法的初期階段，它的“嚴(yán)格性”也只是相對當(dāng)時的情況而言的。譬如，有些基本概念的定義不夠妥當(dāng)，有些證明只不過是借助于直觀等等。第八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

特別是《原本》中第五公設(shè)的陳述從字面上看很不自明，所以人們從兩個方面對它產(chǎn)生了懷疑：第一，第五公設(shè)是否正確地反映了空間的性質(zhì)；其二、它本身很可能是一個定理。對于這兩個問題，人們從以下幾個方面進行了探討：一是它能否從其他公理推出；二是換一個與它等價而本身卻又是很自明的公設(shè)；三是換一個與它相反的公設(shè)。第九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

通過很多第一流的數(shù)學(xué)家近兩千年的大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家薩克利吸取了前人正面直接證明而失敗的教訓(xùn)，反其道而行之，改用反證法來證明（將第五公設(shè)換成它的否定，然后推出矛盾，那么就可以證明第五公設(shè)就是一個定理，即不獨立于其它公理），并于1733年公布了他的證明，但隨后不久數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)他的證明有問題。第十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

薩克利最先使用歸謬法來證明第五公設(shè)。他在一本名叫《歐幾里得無懈可擊》（1733年）的書中，從著名的“薩克利四邊形”出發(fā)來證明平行公設(shè)。薩克利四邊形是一個等腰雙直角四邊形，如圖，其中且為直角。薩克利指出，頂角具有三種可能性并分別將它們命名為：第十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五1、直角假設(shè)：和是直角；3、銳角假設(shè)：和是銳角；2、鈍角假設(shè)：和是鈍角；可以證明，直角假設(shè)與第五公設(shè)等價。薩克利的計劃是證明后兩個假設(shè)可以導(dǎo)致矛盾，根據(jù)歸謬法就只剩下第一個假設(shè)成立。這樣就證明了第五公設(shè)。薩克利在假定直線為無限長的情況下，首先由鈍角假設(shè)推出了矛盾，然后考慮銳角假設(shè)，在這一過程中他獲得了一系列新奇有趣的結(jié)果，如三角形三內(nèi)角之和小于兩直角；過給定直線外一給定點，有無數(shù)多條直線不與該直線相交，等等。雖然這些結(jié)果實際上并不包含任何矛盾，但薩克利認(rèn)為它們太不合情理，便以為自己導(dǎo)出了矛盾而判定銳角假設(shè)是不真實的。第十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

數(shù)學(xué)家們從薩克利的錯誤中得到了啟發(fā)，銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于180°）尚未導(dǎo)致矛盾，因而它與其他公理可能是協(xié)調(diào)的。雖然薩克利的證明是錯誤的，但他提出的反證法及其所得的結(jié)果卻起了他始終所未料到的作用，即兩種幾何并存的可能性。也就是說，除了歐幾里德幾何外，還有非歐幾何。第十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

一直到十九世紀(jì)，由高斯、羅巴切夫斯基、包耶等許多杰出的數(shù)學(xué)家作了大量的推導(dǎo)工作都沒有發(fā)現(xiàn)矛盾，于是采用銳角假設(shè)（三角形內(nèi)角和小于180°）的羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)就產(chǎn)生了。從此也就沖破了歐幾里德幾何“一統(tǒng)天下”的舊觀念對人們的束縛，使人們意識到邏輯上無矛盾并不只限于一種幾何。第十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

在1854年又發(fā)現(xiàn)了鈍角假設(shè)（三角形內(nèi)角和大于180°）也成立的黎曼幾何系統(tǒng)，后來人們稱這兩種幾何為非歐幾何。非歐幾何產(chǎn)生后，還有兩方面的問題有待進一步解決。從邏輯方面看，這種邏輯無矛盾性還有待于從理論上得到嚴(yán)格證明；從實踐方面看，非歐幾何的客觀原型是什么？人們還不清楚。也就是說，非歐幾何到底反映了哪種空間形式也沒有得到具體的解釋。第十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

到了十九世紀(jì)五十年代，隨著微分幾何、射影幾何的進一步發(fā)展，為非歐幾何尋找模型提供了條件。意大利的貝特拉米于1869年在其論文《非歐幾何的實際解釋》中提出了用歐氏球面作為黎曼幾何的一個解釋（歐氏球面的部分大圓被解釋成黎曼幾何的直線，球面上的點被解釋成黎曼幾何的點）。第十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

德國數(shù)學(xué)家克萊因于1870年在歐氏平面上用不包括圓周的圓內(nèi)部構(gòu)造了一個羅氏幾何模型，人們稱它為羅氏平面，在此平面上給羅氏幾何一個解釋，即把歐氏幾何的直線解釋成羅氏平面上的直線，歐氏幾何的點解釋成羅氏平面上的點。由于非歐幾何在歐氏幾何中找到了它的模型，因此非歐幾何的無矛盾性就轉(zhuǎn)化為歐氏幾何的無矛盾性，也就是說倘若歐氏幾何無矛盾，則非歐幾何也無矛盾。

第十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

隨后不僅人們找到了非歐幾何在天文學(xué)與相對論中的解釋和應(yīng)用，而且相繼發(fā)現(xiàn)歐氏幾何的每條公理在羅氏空間的極限球上得以全部成立。于是，反過來歐氏幾何的相容性可借助非歐幾何協(xié)調(diào)性給以保證。從而就證明了兩種幾何是互相協(xié)調(diào)的，第五公設(shè)的獨立性問題得到解決。非歐幾何的確立促進了公理化方法及幾何基礎(chǔ)研究的進展。第十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

在創(chuàng)立非歐幾何的過程中，公理化方法得到了如下發(fā)展：⑴非歐幾何誕生的第一步就在于認(rèn)識到：平行公設(shè)不能在其他九條公設(shè)和公理的基礎(chǔ)上證明。它是獨立的命題，所以可以采用一個與之相反的公理并發(fā)展成為全新的幾何。這就是說，在一個公理系統(tǒng)中，我們可以把一個具有獨立性的公理換成另外的公理而得到一個全新的公理系統(tǒng)，這種方法是現(xiàn)代的一個重要的公理化方法。⑵非歐幾何的創(chuàng)立深刻地啟示人們，可以證明“在一個給定的公理系統(tǒng)中某些命題不可能證明”。第十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

⑶非歐幾何系統(tǒng)已經(jīng)不是像《原本》那樣依賴于感性直觀的實質(zhì)性公理系統(tǒng)。非歐幾何的建立標(biāo)志著從實質(zhì)性公理化方法向形式公理化方法的過渡，這表明人們的認(rèn)識已從直觀空間上升到抽象空間。⑷非歐幾何的創(chuàng)立，為公理化方法可以推廣和建立新的理論提供了依據(jù)，大大提高了公理化方法。非歐幾何的創(chuàng)立，還產(chǎn)生了如下重大影響：⑴非歐幾何的誕生標(biāo)志著歐氏幾何統(tǒng)治的終結(jié)，歐氏幾何統(tǒng)治的終結(jié)則標(biāo)志著所有絕對真理的終結(jié)。第二十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

⑵非歐幾何的創(chuàng)立，使人們開始認(rèn)識到數(shù)學(xué)空間與物理空間之間有著本質(zhì)的區(qū)別。數(shù)學(xué)確實是人的思想產(chǎn)物，而不是獨立于人的永恒世界的東西。⑶非歐幾何的創(chuàng)立使數(shù)學(xué)喪失了真理性，但卻使數(shù)學(xué)獲得了自由。數(shù)學(xué)家能夠而且應(yīng)該探索任何可能的問題，探索任何可能的公理系統(tǒng)，只要這種研究具有一定的意義。⑷非歐幾何為數(shù)學(xué)提供了一個不受實用性左右，只受抽象思想和邏輯思維支配的范例，提供了一個理性的智慧摒棄感覺經(jīng)驗的范例。第二十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

當(dāng)然，非歐幾何并非毫無實用性。例如，1916年愛因斯坦發(fā)現(xiàn)的廣義相對論的研究中，必須用一種非歐幾何來描述這樣的物理空間，這種非歐幾何便是黎曼幾何。又如，由1947年對視空間（從正常的有雙目視覺的人心理上觀察到的空間）所作的研究得出結(jié)論：這樣的空間最好用羅巴切夫斯基非歐幾何來描述。這些事實說明：數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用是何等重大。非歐幾何的創(chuàng)立，標(biāo)志著公理化方法進入到其完善階段。第二十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

在非歐幾何創(chuàng)立之后，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家掀起了對幾何基礎(chǔ)的研究，同時也促進了康托、維爾斯托拉斯、戴德金等為代表的數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的實數(shù)理論的研究。從而導(dǎo)致了“分析算術(shù)化”方向的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)立足于實數(shù)理論之上，取代了直觀的幾何說明。由于對實數(shù)理論的研究，又推動了代數(shù)的重大變化，即由代數(shù)方程的求解導(dǎo)致了群論的產(chǎn)生，從而使代數(shù)的研究對象發(fā)生了質(zhì)的變化，逐漸變成一門研究各種代數(shù)運算系統(tǒng)形式結(jié)構(gòu)的科學(xué)。第二十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

由于形式公理化方法在分析、代數(shù)領(lǐng)域中取得了成功，反過來又將幾何公理化方法的研究推向一個新的階段，即形式公理化階段。希爾伯特在1899年出版的名著《幾何基礎(chǔ)》就是這個時期研究成果的突出代表。所謂形式公理化方法，是指在一個公理系統(tǒng)中，基本概念規(guī)定為不加定義的原始概念，它的涵義、特征和范圍不是先于公理而確定，而是由公理組隱含確定。第二十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

希爾伯特在他的《幾何基礎(chǔ)》中，放棄了歐幾里德《幾何原本》中公理的直觀顯然性，把那些在對空間直觀進行邏輯分析時無關(guān)重要的內(nèi)容加以拼棄，著眼于對象之間的聯(lián)系，強調(diào)了邏輯推理，第一次提出了一個簡明、完整、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交硐到y(tǒng)。從此公理化方法不僅是數(shù)學(xué)中一個重要方法，而且已被其他學(xué)科領(lǐng)域所采用。所以人們稱它為公理化方法發(fā)展史上的一個里程碑。第二十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

雖然希爾伯特幾何公理系統(tǒng)從本質(zhì)上講是一個形式化的公理系統(tǒng)，但它畢竟沒有完全擺脫幾何所研究的內(nèi)容范圍。為了使形式公理系統(tǒng)更形式化，涵蓋的模型更多，就必須使形式化公理系統(tǒng)來自具體模型而又要擺脫具體模型過多的條條框框的束縛，于是人們需要研究更復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)，從而就導(dǎo)致了現(xiàn)代數(shù)理邏輯的形成和發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)理邏輯出現(xiàn)后，至少在下列兩個方面發(fā)揮了巨大作用。第二十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

其一，本世紀(jì)初以希爾伯特、哥德爾為代表的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家掀起了以數(shù)理邏輯為工具來研究整個數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高潮，又因數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進一步發(fā)展的需要，反過來又促使現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展，從而也就導(dǎo)致了證明論（或元數(shù)學(xué)）、模型論、遞歸函數(shù)論的出現(xiàn)。特別是英國大哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、和邏輯學(xué)家羅素于1902年發(fā)現(xiàn)集合論的悖論，震動了整個數(shù)學(xué)界，從而更促進了公理化集合論的形成和發(fā)展。集合論的公理化系統(tǒng)的出現(xiàn)及現(xiàn)代數(shù)理邏輯出現(xiàn)，將形式公理化方法推向一個更高的階段——純形式公理化階段。希爾伯特建立的元數(shù)學(xué)是以形式系統(tǒng)為研究對象的一門新數(shù)學(xué)，它包括對形式系統(tǒng)的描述、定義、也包括對形式系統(tǒng)性質(zhì)的研究。簡言之，元數(shù)學(xué)是以整個理論而不是以它的某一部分作為數(shù)學(xué)研究的對象。元數(shù)學(xué)等的創(chuàng)立把形式公理化方法向前推進了一大步。第二十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.1公理化方法的歷史概述

純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統(tǒng)的基本概念、基本關(guān)系用抽象的符號表示，命題由符號組成的公式表示，命題的證明用一個公式串表達。一個符號化的形式系統(tǒng)只有在解釋之后才有意義。公理化方法的具體形態(tài)有三種：實體性公理化方法、形式公理化方法和純形式公理化方法，用它們建構(gòu)起來的理論體系分別為《幾何原本》、《幾何基礎(chǔ)》和ZFC公理系統(tǒng)。第二十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.1公理化方法的歷史概述

其二，為數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)開辟了前景。電子計算機的出現(xiàn)就是突出的一例，這是因為電子計算機的設(shè)計需要研究如何用基本的邏輯運算去表示和構(gòu)造復(fù)雜的邏輯結(jié)構(gòu)和運算，這正是現(xiàn)代數(shù)理邏輯研究的一個基本課題。由于電子計算機的出現(xiàn)導(dǎo)致了機器證明及數(shù)學(xué)機械化方向的產(chǎn)生，從而使現(xiàn)代純形式公理化方法又獲得了一個新的用場。公理化方法本身及其在數(shù)學(xué)理論和實踐應(yīng)用中的巨大作用，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展還在繼續(xù)向前發(fā)展。

第二十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

一、公理化方法的邏輯特征

公理化方法的作用在于從一組公理出發(fā)，以邏輯推理為工具，把某一范圍系統(tǒng)內(nèi)的真命題推演出來，從而使系統(tǒng)成為演繹體系.對于所選公理，我們一方面要求能從公理組推出該系統(tǒng)內(nèi)的全部真命題，另一方面又要求從公理組不能推出邏輯矛盾，再就是希望所選公理個數(shù)最少.這三個方面構(gòu)成了公理化方法的邏輯要求，此也是判別一個公理系統(tǒng)是否科學(xué)合理的準(zhǔn)則。第三十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（1）無矛盾性（相容性或協(xié)調(diào)性）無矛盾性要求在一個公理系統(tǒng)中，公理之間不能自相矛盾，由公理系推出的結(jié)果也不能矛盾，即不能同時推出命題A與其否定命題，顯然，這是對公理系統(tǒng)的最基本的要求。如何證明給定的公理系統(tǒng)的無矛盾性呢？若想通過“由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒有矛盾”來證明是不可能的。

第三十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

為此，人們創(chuàng)造了一種特殊方法即解釋法或作模型法。其基本思想如下：將公理系的每一不定義的概念與對象的某一集合相對應(yīng)，而且要求對應(yīng)于不同概念的集合沒有公共元素，然后，使公理系T的每一關(guān)系對應(yīng)著對應(yīng)集合元素間的某一確定的關(guān)系。第三十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

這樣所得的集合與關(guān)系的全體叫做解釋域，公理系T的每一命題可以用自然的方法對應(yīng)于解釋域中相應(yīng)的命題。如果所得的命題為真，那么就稱公理系T的命題在這個解釋下是真的，如果假，則在這個解釋下是假的，如果公理系T的全部公理在這個解釋下均為真，那么這個解釋稱為所給公理系的模型。第三十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

解釋域及其性質(zhì)常常是另一數(shù)學(xué)理論的研究對象，本身同樣可以是公理化的，所以說，用解釋法能證明公理系的相對相容性，即能作出“如果相容，即么也相容”的判斷。解釋法實質(zhì)上是將一個公理系系統(tǒng)的無矛盾性證明化歸為另一個公理系統(tǒng)的無矛盾性的證明，是一種間接證明。克萊因就是采用這種方法將羅氏幾何的無矛盾性化歸為歐氏幾何的無矛盾性的。第三十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

正是由于羅氏幾何的相容性要由歐氏幾何的相容性來得證，本來并無疑問的歐氏幾何相容性問題也引起了人們的懷疑，迫使人們再去尋找歐氏幾何相容性的證明，由于解析幾何可以看成是實數(shù)系統(tǒng)中歐氏幾何的一個解釋模型，于是歐氏幾何相容性證明轉(zhuǎn)化為實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性的證明，而實數(shù)系統(tǒng)可建立在ZFC公理化集合論的基礎(chǔ)上，因此，實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性又化歸為集合論的無矛盾性證明，而后者經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家們的努力，至今尚未得到徹底解決。第三十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（2）獨立性獨立性要求在一個公理系統(tǒng)中，被選定的公理組中任何一個公理都不能由其他公理推出。獨立性其實要求的是公理組中公理之間不能有依從關(guān)系，若某一公理被其余公理推出，那它實質(zhì)上就是一個定理，在公理組中就是多余的，所以，獨立性要求公理組中公理數(shù)目最少。第三十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

利用解釋法同樣可以證明所給公理系的獨立性問題，所謂公理系T中公理A的獨立性無非是指A由其他公理既不能證實，也不能否定。建立一個新的公理系，就是將公理換成它的否定，而其他公理保持不變，只要能證明新的公理系是相容的，就可斷言在公理系T中獨立，從而將獨立性問題化歸為相容性證明問題，而新公理系相容性證明可用解釋法。第三十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

（3）完備性完備性要求在一個公理系統(tǒng)中，公理組的選取能保證由公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題，所以，公理不能過少，否則就推不出某些真命題，這是關(guān)于完備性的古典定義。現(xiàn)代數(shù)學(xué)常借助模型的同構(gòu)給公理系的完備性下定義，即如果公理系T的所有模型或解釋都彼此同構(gòu)，就稱這個公理系是完備的。

第三十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

所謂模型的同構(gòu)是指這個公理系的兩個模型（X，R）與（Y，S）（這是為簡便計，假設(shè)給定的公理系中只有一個不定義的概念和一個不定義的關(guān)系。X與Y是某兩個集合，R與S分別是這兩個集合中的關(guān)系）間存在一個雙射第三十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

在上述公理化方法的三個特征中，無矛盾性是最重要而又是非有不可的。獨立性從理論上講，從完美簡煉上講，應(yīng)該要求，因為公理和定理在整個系統(tǒng)中處的地位不同，公理是出發(fā)點，定理是推出的，不能混在一塊。但是，獨立性要求有時可降低?，F(xiàn)行中學(xué)幾何體系就放棄了這一要求。至于完備性，要求就大大放寬了；而且“從研究完備的公理系確定的對象轉(zhuǎn)向研究其公理系不完備的對象”被認(rèn)為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征之一。第四十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

二、公理化方法的意義和作用

對于公理化方法的作用和意義，希爾伯特曾評論道：“不管在哪個領(lǐng)域，對于任何嚴(yán)肅的研究精神來說，公理化方法都是并且始終是一個合適的不可缺少的手段；它在邏輯上是無懈可擊的，同時也是富有成果的；因此，它保證了研究的完全自由。在這個意義上，用公理化方法進行研究就等于用已掌握了的東西進行思考。早年沒有公理化方法的時候，人們只能樸素地把某些關(guān)系作為信條來遵守，公理化的研究方法則可以去掉這種樸素性而使信仰得到利益”?！澳軌虺蔀閿?shù)學(xué)的思考對象的任何事物，在一個理論的建立一旦成熟時，就開始服從于公理化方法，從而進入了數(shù)學(xué)。通過突進到公理的更深層次……我們能夠獲得科學(xué)思維的更深入的洞察力，并弄清我們的知識的統(tǒng)一性。特別是，得力于公理化方法，數(shù)學(xué)似乎就被請來在一切學(xué)問中起領(lǐng)導(dǎo)的作用”。第四十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

公理化方法對數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了巨大作用，如在對公理化方法邏輯特征的研究中，產(chǎn)生了許多新的數(shù)學(xué)分支理論，非歐幾何是由研究歐氏幾何公理系統(tǒng)的獨立性產(chǎn)生的，元數(shù)學(xué)理論或證明論是由研究公理系統(tǒng)相容性產(chǎn)生的，等等。第四十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

具體地說，公理化方法的意義和作用可以概括為以下幾點：

表述和總結(jié)科學(xué)理論公理化方法使有關(guān)的理論系統(tǒng)化，把它們按照某種邏輯順序構(gòu)建成一個系統(tǒng)，因而便于人們系統(tǒng)地理解知識體系，便于掌握理論的本質(zhì)。它是應(yīng)用演繹推理的基本方法，它為認(rèn)識世界提供了演繹推理的模式，提供了一種理性證明的手段，它是表述科學(xué)理論一種比較完善的方法，它為各門科學(xué)提供了一種思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促進理論的完善和嚴(yán)格化。它賦與數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，有助于人們了解數(shù)學(xué)各分支、各部門之間的本質(zhì)聯(lián)系。第四十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

完善和創(chuàng)新理論公理化方法的應(yīng)用要求一門科學(xué)的充分成熟：積累了一定數(shù)量的基礎(chǔ)知識，進行了一定的系統(tǒng)分析和研究，對該門學(xué)科知識結(jié)構(gòu)有了較深入的理解。因此，實現(xiàn)公理化的過程也是深入研究理論體系的過程。采用公理化方法還可以發(fā)現(xiàn)和補充理論系統(tǒng)中的缺陷和漏洞。從而有利于完善已有理論，創(chuàng)建新的理論。

第四十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

培養(yǎng)和熏陶人們的邏輯思維能力數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，重要的不在于只是記住概念、公式、定理和法則，而在于學(xué)會如何去獲得這些知識，即學(xué)會正確地進行數(shù)學(xué)思維，邏輯思維正是數(shù)學(xué)思維的核心成分之一。邏輯思維能力是一種重要的數(shù)學(xué)能力。而公理化方法使邏輯思維在數(shù)學(xué)中的作用得以充分發(fā)揮，大大提高了數(shù)學(xué)教育的成效，實現(xiàn)高度的思維經(jīng)濟，這無疑對培養(yǎng)和熏陶學(xué)生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。此外，由于公理化方法可以揭示一個數(shù)學(xué)系統(tǒng)和分支的內(nèi)在規(guī)律性，從而使它系統(tǒng)化，這也無疑有利于人們學(xué)習(xí)和掌握。第四十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何體系就是按照公理化方法的思想編排的，這使中學(xué)幾何成為大家公認(rèn)為最有利于培養(yǎng)邏輯思維能力的科目。但正如蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾所言：“在學(xué)校中普通能夠?qū)崿F(xiàn)的，只是有實際內(nèi)容的公理體系”。

現(xiàn)行幾何教材正是這樣做的：通過采用擴大公理系統(tǒng)的方法，而其他概念、性質(zhì)和定理則采用推理和直觀相結(jié)合的方法演澤出來，即在學(xué)生可接受的情況下，充分體現(xiàn)公理化方法思想。中學(xué)幾何課本中的公理系統(tǒng)是一個擴大的公理系統(tǒng)，只滿足相容性，不滿足獨立性和完備性。第四十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

平面幾何公理七條：

⑴經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線。⑵在所有連接兩點的直線中，線段最短。⑶平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線和該直線平行。⑷兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么，這兩條直線平行。⑸邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。⑹角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。⑺矩形的面積等于它的長與寬的積。第四十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

立體幾何公理六條：

⑴如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)。⑵如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過該點的公共直線。⑶經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。⑷平行于同一條直線的兩條直線互相平行。⑸長方體的體積等于其長、寬、高的積。⑹夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。第四十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

三、初等函數(shù)的公理化定義

1、冪函數(shù)的公理化定義對于x和y的一切正實數(shù)值滿足方程

的唯一不恒等于零的連續(xù)函數(shù)第四十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五2、指數(shù)函數(shù)的公理化定義對于x和y的一切正實數(shù)值滿足方程§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用的唯一不等于零的連續(xù)函數(shù)第五十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

3、對數(shù)函數(shù)的公理化定義對于x和y的一切正實數(shù)值滿足方程的唯一不等于零的連續(xù)函數(shù)第五十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用4、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的公理化定義

第五十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第五十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第五十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用下面我們僅證明其中的定理3與定理4。第五十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五第五十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五第五十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第五十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用（1）結(jié)合律成立，即對G中任意元素a，b，c都有（2）G中有元素e，叫做G的左單位元，它對G中每一個元素a都有下面我們再來看看群的公理化定義令G是一個非空集合，是它的一個代數(shù)運算，如果滿足以下條件：第五十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用則稱G對代數(shù)運算作成一個群。（3）對G中每個元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使第六十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

四、公理化方法的局限性

1、每一個數(shù)學(xué)分支都要按公理化方法的三條標(biāo)準(zhǔn)去實現(xiàn)它的公理化是不可能的。我們知道，在公理化方法及現(xiàn)代數(shù)理邏輯取得重大成就的基礎(chǔ)上，為了避免數(shù)學(xué)中產(chǎn)生悖論，使整個數(shù)學(xué)建立在一個嚴(yán)格化的基礎(chǔ)上，以希爾伯特為代表的數(shù)學(xué)家試圖將所有數(shù)學(xué)分支都按公理化方法三條標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)它的公理化，哥德爾不完全定理表明希爾伯特等人的計劃要全部實現(xiàn)是不可能的。第六十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

1931年，奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾發(fā)表了題為《論〈數(shù)學(xué)原理〉及有關(guān)系統(tǒng)中的形式不可判定命題》的論文，其中證明了一條定理：任一足以包含自然數(shù)算術(shù)的形式系統(tǒng)，如果是相容的，則它一定存在有一個不可判定命題，即存在某一命題A使A的否定在該系統(tǒng)皆不可證。這一定理被稱為哥德爾第一不完全性定理。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五第一不完全性定理表明：任何形式系統(tǒng)都不能完全刻畫數(shù)學(xué)理論，總有某些問題從形式系統(tǒng)的公理出發(fā)不能解答。在第一不完全性定理的基礎(chǔ)上，哥德爾進一步證明了：在真的但不能由公理來證明的命題中，包括了這些公理是相容的（無矛盾性）這一論斷本身。也就是說，如果一個足以包含自然數(shù)算術(shù)的公理系統(tǒng)是相容的，那么這種相容性在該系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的。這就是所謂哥德爾第二不完全性定理。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五第一不完全性定理和第二不完全性定理合稱“哥德爾不完全性定理”哥德爾不完全性定理是屬于某種否定性的結(jié)果，但這項否定性結(jié)果卻帶來了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的劃時代變革。其對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)產(chǎn)生的巨大影響而在20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上寫下了濃重的一筆?！?.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五首先，哥德爾不完全性定理破天荒地第一次分清了數(shù)學(xué)中的“真”與“可證”是兩個不同的概念，可證明的命題固然是真的，但真的命題不一定是可證明的。對于形式系統(tǒng)來說，“可證”是可以機械地實現(xiàn)的，“真”則需要進一步的思想能動性以及超窮工具。這一切突破了人們對數(shù)學(xué)真理的傳統(tǒng)理解，將對數(shù)學(xué)真理的認(rèn)識推向了嶄新的層次?！?.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五其次，哥德爾不完全性定理的證明中提出的“原始遞歸函數(shù)”概念，成為算法理論或可計算理論的起點，特別是它引導(dǎo)圖靈提出了理想計算機概念，為電子計算機的研制提供了理論基礎(chǔ)。另外，雖然哥德爾不完全性定理指出了形式化數(shù)學(xué)的局限性，但這并不意味著公理化方法的消亡，相反，哥德爾的結(jié)果極大地促進了數(shù)學(xué)方法論的發(fā)展，解決了一批證明論問題，使數(shù)理邏輯在新的起點上獲得了新的發(fā)展。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五哥德爾定理的意義在于，不僅是數(shù)學(xué)的全部，甚至任何一個有意義的科學(xué)體系也不能用一個合理系統(tǒng)概括起來，因為這樣的合理系統(tǒng)是不可能完備的。還須指出的是，哥德爾的理論改變了數(shù)學(xué)發(fā)展的進程，觸動了人類思維的深層結(jié)構(gòu)，它又滲透到音樂、藝術(shù)、生物、計算機和人工智能等領(lǐng)域。§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用第六十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

2、公理化方法一般地講只能運用于一個數(shù)學(xué)分支發(fā)展到一定的成熟階段，否則就有可能對數(shù)學(xué)的發(fā)展起束縛作用。我們知道公理化方法的優(yōu)點之一是可以使它的內(nèi)容系統(tǒng)化、條理化、邏輯化。但是，我們還要指出一般來說只有在一個數(shù)學(xué)分支發(fā)展到一定的階段才有可能運用公理化方法揭示它的內(nèi)在規(guī)律，從而使它系統(tǒng)化。如果一個新的數(shù)學(xué)分支剛剛誕生就要強調(diào)它的邏輯嚴(yán)密性、系統(tǒng)性，不但沒有好處，反而對它的發(fā)展可能起到束縛作用。例如，微積分的產(chǎn)生、發(fā)展直至完善所經(jīng)歷的道路就是一個突出的例證。第六十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.2公理化方法的邏輯特征、意義和作用

3、由于公理化方法主要突出了邏輯思維，而且它主要用于“回顧”性的“總結(jié)”，對“探索”性的“展望”作用較少。公理化方法若不與實驗方法相結(jié)合，則不會更好地解決問題；若不與其它的科學(xué)方法相結(jié)合，也不會更好地發(fā)現(xiàn)問題。所以對公理化方法的作用和意義估價要恰當(dāng)。否則不論是從認(rèn)識論還是從方法論來講都有束縛作用。第六十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

一、希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》的公理系統(tǒng)

第七十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

一、希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》的公理系統(tǒng)

基本對象幾何基礎(chǔ)公理系統(tǒng)基本關(guān)系基本公理點、線、面結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系合同關(guān)系、連續(xù)關(guān)系平行關(guān)系結(jié)合公理、順序公理合同公理、連續(xù)公理平行公理第七十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

希爾伯特公理體系中的基本概念共有八個（其中基本對象三個、基本關(guān)系五個），對基本概念的唯一要求是適合五組公理。公理組共有18條公理（其中結(jié)合公理6條、順序公理4條、合同公理5條、平行公理1條、連續(xù)公理2條）。這里要指出的是，希爾伯特公理體系對歐幾里德公理體系的最重要的補充是順序公理中的點與線的順序公理及連續(xù)公理。這部分的詳細(xì)內(nèi)容可參見傅秀章先生著《幾何基礎(chǔ)》（北師大出版社）。第七十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

希爾伯特的這個公理體系已被世界上一些數(shù)學(xué)家看作經(jīng)典作品。希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》中所采用的是形式公理化方法，即對象的直觀背景完全被舍棄了他所從事的已不再是某種特定的對象的研究，而只是由給定的公理（更準(zhǔn)確地說是假設(shè)）出發(fā)去進行演繹。因為幾何學(xué)所研究的只是由什么樣的前提出發(fā)能推出什么樣的結(jié)論，而對所討論的對象是什么事不關(guān)心的。

第七十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

簡言之，《原本》是實質(zhì)性公理系統(tǒng)，即“對象－公理－演繹”系統(tǒng)；《幾何基礎(chǔ)》是形式化公理系統(tǒng)，即“假設(shè)－演繹”。這里我們要特別指出的是，若將希爾伯特公理體系中的平行公理換成相反的公理，我們就得到羅氏幾何的公理體系。這也是希爾伯特公理體系的一個美妙的特點。在這里，我們又一次看見了公理化方法的巨大力量。

第七十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

二、集合論公理系統(tǒng)——ZFC公理系統(tǒng)1、ZFC公理系統(tǒng)形成簡介

自從集合論中的羅素悖論出現(xiàn)后，很多邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家致力于集合論的改進工作，特別突出的是著名德國數(shù)學(xué)家策梅羅，他于1908年首先提出他的改進方案，即策梅羅集合論公理系統(tǒng)。后經(jīng)費蘭克爾、斯克朗等人的改進，于1921-1923年間逐漸形成了一個嚴(yán)格的形式化集合論公理系統(tǒng)，這就是著名的ZF公理系統(tǒng)。在ZF公理系統(tǒng)中加上選擇公理，便是今天的ZFC公理系統(tǒng)。第七十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

二、集合論公理系統(tǒng)——ZFC公理系統(tǒng)1、ZFC公理系統(tǒng)形成簡介策梅羅(德,1871-1953)費蘭克爾(德,1891-1965)斯克朗(挪,1887-1963)第七十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

2、ZFC公理系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

集合論公理系統(tǒng)基本公理基本關(guān)系基本對象“集”及其“元素”“集”及它的“元素”的隸屬關(guān)系“

”外延公理、空集公理對偶公理、并集公理子集公理、冪集公理無窮公理、正則公理代換公理、選擇公理

第七十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

3、ZFC公理系統(tǒng)的特點、意義和作用

首先，ZFC公理系統(tǒng)是一個完全形式化的抽象公理系統(tǒng)，也就是說它的結(jié)構(gòu)表達形式完全已符號化。例如，外延公理：

其次，ZFC十條公理可概括為三類：即外延原則，它的主要作用是保證集合的唯一性；概括原則，它的主要作用是解決的構(gòu)造集合的問題；選擇原則，它的主要作用是解決選擇集合的問題。

即:如果兩個集合A與B包含有完全相同的元素，則它們必相等.

第七十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

最后，ZFC公理系統(tǒng)為分析學(xué)奠定了嚴(yán)格地理論基礎(chǔ)。例如在無窮公理和并集公理的基礎(chǔ)上可以嚴(yán)格的建立自然數(shù)、自然數(shù)集合及自然數(shù)理論；在冪集公理基礎(chǔ)上可以引出實數(shù)系；在子集公理基礎(chǔ)上可以討論實數(shù)的任何子集及其性質(zhì)等。由此可見，只要ZFC公理系統(tǒng)無矛盾，那么實數(shù)理論也就無矛盾。然而，盡管至今ZFC公理系統(tǒng)尚未發(fā)現(xiàn)矛盾，但這種無矛盾性還沒有得到嚴(yán)格的理論證明。而且根據(jù)哥德爾不完全性定理，ZFC公理系統(tǒng)本身不可能證明自己是無矛盾的，即它的無矛盾性只有借助外系統(tǒng)來證明。第七十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

三、自然數(shù)公理系統(tǒng)

1、自然數(shù)公理化的提出

數(shù)學(xué)顧名思義是一門研究數(shù)的科學(xué)，人們皆知自然數(shù)來自實踐，而且是數(shù)學(xué)的起步點。然而，由自然數(shù)的產(chǎn)生直到十九世紀(jì)末，在這個漫長的歷史時期卻很少有人對自然數(shù)的理論奠基工作進行過專門的研究。只有到了近代，由于公理化相容性的研究及數(shù)學(xué)中悖論的出現(xiàn)，才迫使人們反過頭來進一步研究數(shù)學(xué)的起點，即自然數(shù)的理論奠基工作，尋求建立自然數(shù)的公理化方法。

第八十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

自然數(shù)公理化方法的建立有幾種類型，其中最著名的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他1889年發(fā)表的《算術(shù)原理：新的論述方法》中所提出的公理化方法。

皮亞諾(意,1858-1932)第八十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

自然數(shù)公理化方法的建立有幾種類型，其中最著名的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他1889年發(fā)表的《算術(shù)原理：新的論述方法》中所提出的公理化方法。

2、皮亞諾自然數(shù)公理系統(tǒng)

（1）原始（或基本）概念。（i）原始對象：自然數(shù)1、自然數(shù)集。（ii）原始關(guān)系：后繼數(shù)（例如3是2的后繼數(shù)）或后繼函數(shù)。

第八十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

（2）公理組

（i）每個自然數(shù)x都有直接后繼它的數(shù)。即

這條公理表明，自然數(shù)具有離散性，此性質(zhì)是自然數(shù)的一個重要特征。（ii）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)。即這條公理保證了自然數(shù)集有首元素，即自然數(shù)集是一個良序集。第八十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

（iii）每一個自然數(shù)不存在多于一個直接后繼它的自然數(shù)。即

（iv）每一個自然數(shù)都不直接后繼多于一個自然數(shù)，即第八十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

此公理稱為歸納公理，它是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)和根據(jù)。建立在自然數(shù)歸納公理基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)歸納法的主要邏輯特征是，將一個無窮歸納過程轉(zhuǎn)化為一個有限步驟的演繹過程.（v）任何一個自然數(shù)集，若具有性質(zhì)：a）；b）如果，那么則自然數(shù)集包含了所有的自然數(shù)。也就是說自然數(shù)集與自然數(shù)集相等。第八十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.3幾個典型公理系統(tǒng)簡介

3、對皮亞諾公理系統(tǒng)邏輯特征的補充說明

前面我們曾提到過哥德爾不完備性定理，從理論上證明了皮亞諾公理系統(tǒng)是一個不完備的公理系統(tǒng)，最近英國青年數(shù)學(xué)家巴黎斯等人，在組合論中發(fā)現(xiàn)了皮亞諾公理系統(tǒng)中既不能肯定又不能否定的一個純粹組合問題，從而也就為哥德爾不完全備定理找到了一個具體實例。哥德爾不完全定理還告訴我們，皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)的相容性在本系統(tǒng)內(nèi)通過有限步驟是無法證明的。但是，數(shù)理邏輯學(xué)家甘岑在放寬條件下，即在皮亞諾公理系統(tǒng)外，依據(jù)超窮歸納法用超窮步驟證明了皮亞諾公理系統(tǒng)的相容性。

第八十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法一、結(jié)構(gòu)方法簡述

19世紀(jì)至20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)得到了前所未有的高速發(fā)展，研究領(lǐng)域越來越廣，數(shù)學(xué)這棵生長樹越長越茂密，樹岔越分越細(xì)，從而數(shù)學(xué)顯得越來越龐雜無序，使得即便是造詣高深的數(shù)學(xué)家也無法全局把握、透視，面對這種發(fā)展趨勢，于是數(shù)學(xué)界一個有意義的課題就應(yīng)運而生，那就是，用統(tǒng)一的觀點去處理這“龐雜”的內(nèi)容，使之“有序”。第八十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

對于數(shù)學(xué)的局部內(nèi)容，這個想法是可以實現(xiàn)的，如希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》、范德瓦爾登的《近世代數(shù)》的出版；ZFC的集合論公理系統(tǒng)的問世；德國數(shù)學(xué)家克萊茵利用“群論”觀點統(tǒng)一處理了各種幾何學(xué)（此即愛爾朗根綱領(lǐng)），美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫用“格”的概念統(tǒng)一處理了代數(shù)系統(tǒng)的理論。那么，對于整個數(shù)學(xué)而言，能否采用某種統(tǒng)一觀點將其重新整理呢？第八十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

20世紀(jì)初，法國一批杰出的年輕數(shù)學(xué)家在愛爾朗根計劃的啟示下，于1933年成立了以尼古拉?布爾巴基為名的數(shù)學(xué)家集體，其行動目標(biāo)就是從整個數(shù)學(xué)全局出發(fā)，以集合論為基礎(chǔ)，運用形式公理化方法，重新整理各個數(shù)學(xué)分支，從內(nèi)容結(jié)構(gòu)上給以徹底改造。其基本出發(fā)點是：數(shù)學(xué)是研究形式結(jié)構(gòu)的科學(xué)，數(shù)學(xué)各分支應(yīng)能按結(jié)構(gòu)性質(zhì)來統(tǒng)一分割和歸類。第八十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法數(shù)學(xué)大師A.博雷爾(ArmandBorel)在回顧參與布爾巴基活動的往事時說：“布爾巴基并沒有實現(xiàn)他的所有夢想，達成全部的目標(biāo)。在我看來，這已經(jīng)足夠了。在培植數(shù)學(xué)的整體觀念、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的統(tǒng)一性、敘述風(fēng)格、符號選擇等等方面，對數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響?！薄霸谖倚闹杏肋h(yuǎn)保留的回憶是，數(shù)學(xué)家們多年的無私合作，各不相同的個性能朝向共同的目標(biāo)，在數(shù)學(xué)史上也許是絕無僅有的。”第九十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法那些流淌著的青春的學(xué)術(shù)的激情，那些靈光四射的智慧的火焰，真理在“瘋子們”的激辯中蕩漾著七彩的光芒……這種學(xué)術(shù)上的原生態(tài)狀況，使布爾巴基學(xué)派在很長時間里保持著旺盛的創(chuàng)造力，培育了眾多泰斗級的數(shù)學(xué)精英，主要成員中不斷有人獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎和菲爾茲獎——其主要成員先后有讓·迪多內(nèi)、安德列·韋伊和亨利·嘉當(dāng)（以上兩人為沃爾夫數(shù)學(xué)獎得主），克勞德·謝瓦萊、勞倫特·施瓦茲、亞利山大·格羅申第克和讓—皮埃爾·塞爾（后三人均曾獲菲爾茲獎）等……

第九十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五H.嘉當(dāng)(法,1904-)布爾巴基學(xué)派(法,1935-)迪多內(nèi)(法,1906-1992)謝瓦萊(法,1909-1984)德爾薩特(法,1903-1968)韋伊(法,1906-1998)第九十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法這個集體不僅要求正式成員數(shù)學(xué)素質(zhì)要好，善于創(chuàng)新，而且年齡不能超過50歲，他們經(jīng)常組織討論班和研究會，集思廣益，協(xié)作探索，1936年正式向法國政府申請科學(xué)基金，并以布爾巴基名義發(fā)表眾多成果和出版系列專著《數(shù)學(xué)原理》，他們著作的獨特觀點和風(fēng)格贏得了布爾巴基學(xué)派稱號，其思想即是結(jié)構(gòu)主義，是用結(jié)構(gòu)方法處理數(shù)學(xué)。具體說來就是，利用形式公理法化方法抽象出各種數(shù)學(xué)分支各種結(jié)構(gòu)，找出各數(shù)學(xué)分支之間的結(jié)構(gòu)差異，從而獲得各數(shù)學(xué)分支間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的清晰圖象。

第九十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

顯然，結(jié)構(gòu)主義可以看作是現(xiàn)代形式公理方法的一種發(fā)展，因為，形式公理化方法是著眼于某一門數(shù)學(xué)的形式公理化或者結(jié)構(gòu)化；結(jié)構(gòu)主義的思想方法則是以現(xiàn)代形式公理化方法為工具，著眼于整個數(shù)學(xué)全局去看待各個數(shù)學(xué)分支，即不僅要在數(shù)學(xué)大范圍內(nèi)分析研究每一門數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，而且還要分析研究各數(shù)學(xué)分支之間結(jié)構(gòu)的差異及其內(nèi)在聯(lián)系。第九十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法布爾巴基學(xué)派在集合論的基礎(chǔ)上,首先通過抽象分析法，建立了三種基本結(jié)構(gòu)，也稱母結(jié)構(gòu)，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓樸結(jié)構(gòu)，然后以這三個母結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，按照結(jié)構(gòu)之間的“不同”關(guān)系，交叉產(chǎn)生新結(jié)構(gòu)，從而，使得數(shù)學(xué)由一個分支結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移到另一個分支結(jié)構(gòu)，有層次地一直延伸出去，形成整個數(shù)學(xué)。第九十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法集合論代數(shù)結(jié)構(gòu)序結(jié)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)布爾代數(shù)結(jié)構(gòu)分析結(jié)構(gòu)序拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)……………

結(jié)構(gòu)層次框圖如下:…第九十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

正如他們所說：“數(shù)學(xué)好比一座大城市，城市中心有些巨大建筑物，就好比是一個個已經(jīng)建成的數(shù)學(xué)理論體系，城市的郊區(qū)正在不斷地并且多少有點雜亂無章地向外伸展，他們就好像是一些尚未發(fā)育成型的正在成長著的數(shù)學(xué)分支，與此同加時，市中心又在時時重建，每次都是根據(jù)構(gòu)思更清晰的計劃和更加合理的布局，在拆毀掉舊的迷宮似的斷街小巷的同時，將修筑起新的更直、更寬、更加方便的林蔭大道通向四方，……”。第九十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法二、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡介

一個抽象的集合不過是一組元素而已，無所謂結(jié)構(gòu)。但引進了運算和變換，就形成了結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)中必須包含元素間的關(guān)系，這些關(guān)系通常是由運算或變換聯(lián)系著的。1、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的具體實例

下面以抽象群理論來具體說明結(jié)構(gòu)是怎樣產(chǎn)生和如何確定一個結(jié)構(gòu)。第九十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法首先讓我們考察三種運算：（1）實數(shù)的加法：實數(shù)的和按通常的方法確定。（2）整數(shù)“按模素數(shù)”的乘法：兩數(shù)的“乘積”定義為兩數(shù)通常的乘積除以的余數(shù)。（3）在三維歐氏空間中的位移“合成”：兩個位移（按這個順序）的“合成”（或“乘積”）定義為執(zhí)行第一個位移后再執(zhí)行第二個位移所得到的位移。第九十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法在三種不同的運算中，用統(tǒng)一符號“

”表示運算，用表示兩個元素通過運算后確定的第三個元素，那么具體分析這三種不同運算的“運算性質(zhì)”，會發(fā)現(xiàn)它們之間具有一種“明顯的平行性”（即類似性、對應(yīng)性）。從中可以選出互相獨立的少數(shù)幾個性質(zhì)作為這三種運算的“共同性質(zhì)”。如第一百頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法（i）對于所有的元素有(ii)存在一個元素，使得對于每一個元素，有(iii)對應(yīng)于每一元素，存在一個元素，使得第一百零一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法由此看出記號可以用相同的方式表達它們，對這三種不同的運算，借助于統(tǒng)一的之間的“平行的”運算性質(zhì)。這種表達的優(yōu)點在于，在推理的過程中不必考慮元素的性質(zhì)，唯一需要關(guān)心的是，元素的運算具有性質(zhì)“(i)、(ii)、(iii)”這個前提。這樣，就可以引出相應(yīng)的運算結(jié)構(gòu)。第一百零二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

群結(jié)構(gòu)就是在某一集合中確定了某種運算，且具有三個性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)的一種結(jié)構(gòu)。其中性質(zhì)(i)、(ii)、(iii)叫做群結(jié)構(gòu)的公理，展開這些公理的推論就構(gòu)成群的理論。顯然，群理論較之“實數(shù)加”、“整數(shù)模”、“位移合成”等理論概括得多，它適合于這三者中任一個。這就是研究結(jié)構(gòu)意義之所在。由上述分析看出，具體而言結(jié)構(gòu)是集合中元素間滿足一定條件（公理）的某種關(guān)系，一個抽象的集合只不過是一組元素而已，無所謂結(jié)構(gòu)，但引進了關(guān)系，就形成了結(jié)構(gòu)。因此，關(guān)系是重要的，它就代表一種結(jié)構(gòu)。第一百零三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法例如，是表為，還是這沒有區(qū)別。但對于積集合，這些元素就互相有區(qū)別了。第一百零四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法2、三種基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)簡介(1)

代數(shù)結(jié)構(gòu)所謂非空集X中的n元代數(shù)運算指到的一個映射其中n叫做運算的階。最常用的代數(shù)運算是二元代數(shù)運算，也即習(xí)慣上的代數(shù)運算。第一百零五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法序?qū)υ诖鷶?shù)運算下的象記作，顯然，中的二元代數(shù)運算給出了中的一個三元關(guān)系：當(dāng)且僅當(dāng)時，三元序組滿足這個關(guān)系。而三元序組的集合是笛卡爾積的子集，故二元運算可以視為一種結(jié)構(gòu)。若非空集中的代數(shù)運算記為，則序?qū)头Q為一個代數(shù)，即定義了運算的集合。第一百零六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法

代數(shù)的例子很多，如果再給代數(shù)加上一定的公理，那它就構(gòu)成各種不同的代數(shù)結(jié)構(gòu)。如加上群公理、環(huán)公理、域公理等就分別構(gòu)成群、環(huán)、域等常見代數(shù)結(jié)構(gòu)。再以群為例具體說明之；第一百零七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法例、群結(jié)構(gòu)

二元序?qū)ΨQ為群，是指它滿足如下公理：（1）中的元素關(guān)于代數(shù)運算滿足結(jié)合律，即，有（2）中存單位元：即,使，有（3）中每一個元素，都在中存在逆元，即第一百零八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

可見，群也就是在其上定義了滿足上述公理的二元代數(shù)運算的非空集合。

代數(shù)結(jié)構(gòu)是由離散性的對象、運算關(guān)系及其公理組所構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

（2）序結(jié)構(gòu)

常見的序結(jié)構(gòu)有兩種：半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)，建立了這兩種序結(jié)構(gòu)的集分別稱為半序集和全序集（也稱半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu)）。

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百零九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法半序集：如果Ａ的元素之間定義了一個關(guān)系“＜”，它滿足如下公理：（i）自反性，對Ａ中的一切元素,有(ii)反對稱性，若則

（iii）傳遞性，若則則稱Ａ為半序集，這個關(guān)系為半序關(guān)系。第一百一十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法例如自然數(shù)集中的整除關(guān)系是半序關(guān)系，因為n能被自身整除；若n能整除m,m能整除n,則m=n;若n能整除m,m能整除r,則n也能整除r,故自然數(shù)集是一種半序結(jié)構(gòu)。全序集：滿足下列可比性條件（iv）的半序集稱為全序集；(iv)Ａ中的任意兩個元素或至少有一個成立。第一百一十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法例如一冪集中的包含關(guān)系不具有可比性，故不是全序集。又如不難驗證，數(shù)集，關(guān)于整除關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。但自然數(shù)集Ｎ關(guān)于整除關(guān)系不構(gòu)成全序結(jié)構(gòu)。又如自然數(shù)集Ｎ關(guān)于“≤”關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。可見，序結(jié)構(gòu)是由對象集、次序關(guān)系及其公理組所構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。第一百一十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法（３）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為了在一般意義下引進拓?fù)涓拍?，一種比較直觀而較簡單的辦法是引進鄰域和鄰域結(jié)構(gòu)，即鄰域公理系統(tǒng)。Ｘ的一些子集組成的集族稱為鄰域族，若此集族滿足如下鄰域公理，此時，就稱為X的一個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；第一百一十三頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法（i）Ｘ中的任一元素在Ｂ中有一個，使。（ii）Ｘ中的任一元素，若在Ｂ中有、使且，則。（iv）Ｘ中的元素，對中任一含的，若有，則必存在，使，且。即X中每一點至少有一鄰域。即X中一個點的兩個鄰域的交仍為其鄰域。(iii)若是的一個子集，而Ｘ中元素則也是的一個鄰域。第一百一十四頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法根據(jù)上述四條公理,特別是公理(ii)與公理(iv)能保證在數(shù)學(xué)分析的論域內(nèi)任一點,能選取一連串越來越小的鄰域，使之點為極限。由此可見,鄰域公理系統(tǒng)可以導(dǎo)致極限概念。也正是因為鄰域公理系統(tǒng)能描述極限和連續(xù)，而拓?fù)渥儞Q是研究一種比較廣泛的，即僅保持連續(xù)性不變的那種變換，所以，拓樸結(jié)構(gòu)常被說成是能夠描述極限的那種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

注公理(iv)保證了X中的每個點至少有一個這樣的鄰域，在該鄰域內(nèi)所有的點都有鄰域。顯然，實數(shù)域的開區(qū)間都具有這個性質(zhì)。第一百一十五頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

從三種基本結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過增加一個或幾個新公理，就可以得到許許多多的特殊結(jié)構(gòu)。例如，從一般的群論出發(fā)，加上群的元素是有限的這一公理，就得到有限群結(jié)構(gòu)。母結(jié)構(gòu)的有機結(jié)合也可產(chǎn)生多重結(jié)構(gòu)。又如，實數(shù)結(jié)構(gòu)就是在全體實數(shù)集的基礎(chǔ)上由代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)三個母結(jié)構(gòu)交叉產(chǎn)生的一個綜合性的子結(jié)構(gòu)，也是一個完備的阿基米德全序域。這樣，遵循從一般到特殊，從簡單到復(fù)雜的原則，一層一層地構(gòu)造下去，就可得到許許多多獨特的結(jié)構(gòu)及其理論。從而，可把古典數(shù)學(xué)作某種統(tǒng)一，給整個數(shù)學(xué)一種概括。

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百一十六頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

結(jié)構(gòu)的意義還在于它可以使數(shù)學(xué)家實現(xiàn)一種重要的“思維經(jīng)濟”，以往數(shù)學(xué)家為了解決一個具體的數(shù)學(xué)問題，必須根據(jù)具體問題的特性，為之探索適合于該問題的工具。今天，有了公理化方法，有了結(jié)構(gòu)概念以后，數(shù)學(xué)家一旦在他所研究的元素之間認(rèn)識到滿足某個已知類型公理的關(guān)系時，就可以自由地支配屬于該類結(jié)構(gòu)的整個定理庫。換言之，以前是一種方法解決一個問題，現(xiàn)在是一種方法解決一類問題，從某種意義上來說公理方法和結(jié)構(gòu)方法，把數(shù)學(xué)工具標(biāo)準(zhǔn)化了。

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百一十七頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五從結(jié)構(gòu)的觀點出發(fā)來分析問題，同構(gòu)的概念是一個非常重要的概念。這是因為凡具有同構(gòu)性質(zhì)的一些結(jié)構(gòu)，在本質(zhì)上都可看成是同一結(jié)構(gòu)；在研究問題時當(dāng)然只須抓住一種結(jié)構(gòu)進行分析即可。而無需浪費重復(fù)性的勞動。三、同構(gòu)、同態(tài)及其方法論意義我們通常要研究賦予一定結(jié)構(gòu)的集合到賦予同類結(jié)構(gòu)的集合內(nèi)的映射，如具有某種結(jié)構(gòu)的代數(shù)到具有同類結(jié)構(gòu)的代數(shù)的映射，有序集到有序集的映射，拓?fù)淇臻g到拓?fù)淇臻g內(nèi)的映射等。同構(gòu)、同態(tài)就是代數(shù)到同類代數(shù)的特殊映射。代數(shù)與代數(shù)的同構(gòu)是指雙射并且對于中任意的,有代數(shù)到其自身的同構(gòu)映射叫做這個代數(shù)的自同構(gòu)。第一百一十八頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百一十九頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百二十頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法第一百二十一頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法由上可以看到，同構(gòu)具有兩層含義，一是在對象集與之間存在雙射，二是雙射保持與之間的運算關(guān)系。因此，對于具有同構(gòu)關(guān)系的代數(shù)結(jié)構(gòu)，我們可由一個結(jié)構(gòu)中的某些性質(zhì)推知另一結(jié)構(gòu)中也具有相應(yīng)性質(zhì)，在此意義上可以說，對于同構(gòu)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)我們只需研究透一個就夠了，或干脆看成一個結(jié)構(gòu)（同構(gòu)意義下），或者將某個結(jié)構(gòu)中不易研究的性質(zhì)拿到與之同構(gòu)的另一個結(jié)構(gòu)中去研究，等等。第一百二十二頁，共一百三十八頁，編輯于2023年，星期五

§4.4數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法因此，同構(gòu)在數(shù)學(xué)中具有重要的方法論意義。同樣，同態(tài)作為同構(gòu)的一種弱化，也具有兩層含義，一是存在一個滿射，二是滿射單方保持關(guān)系，即代數(shù)結(jié)構(gòu)中的某一性質(zhì)可以通過同態(tài)映