圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程思考？在平面直角坐標(biāo)系中，如何確定一個(gè)圓呢？

在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和傾斜角也能確定一條直線.平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.定點(diǎn)定長(zhǎng)圓心半徑·rC圓的定義

當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了．因此一個(gè)圓最基本要素是圓心和半徑．如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心（點(diǎn)）A的位置用坐標(biāo)(a,b)表示，半徑r的大小等于圓上任意點(diǎn)M(x,y)與圓心A(a,b)的距離．xOCM(x,y)y圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

已知圓的圓心為C(a,b),半徑為r,求圓的方程.xyOCM(x,y)解：設(shè)點(diǎn)M(x,y)為圓C上任一點(diǎn)，P={M

||MC|=r}圓上所有點(diǎn)的集合探究xyOCM(x,y)圓心C(a,b),半徑r特別地，若圓心為O（0，0），則圓的方程為：標(biāo)準(zhǔn)方程

在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M(x0，y0)和圓C:

，如何判斷點(diǎn)M在圓外、圓上、圓內(nèi)？(x0-a)2+(y0-b)2>r2時(shí),點(diǎn)M在圓C外;(x0-a)2+(y0-b)2=r2時(shí),點(diǎn)M在圓C上;(x0-a)2+(y0-b)2<r2時(shí),點(diǎn)M在圓C內(nèi).探究xyOCM1.點(diǎn)M在圓外，|MC|>r2.點(diǎn)M在圓上，|MC|=r3.點(diǎn)M在圓內(nèi)，|MC|<r

例1

寫(xiě)出圓心為，半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)，是否在這個(gè)圓上．解:

圓心是，半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

把的坐標(biāo)代入圓的方程，左右兩邊相等，點(diǎn)的坐標(biāo)適合圓的方程，所以點(diǎn)在這個(gè)圓上；把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，左右兩邊不相等，點(diǎn)的坐標(biāo)不適合圓的方程，所以點(diǎn)不在這個(gè)圓上．

例2

的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(5,1),B(7,-3)，C(2,-8)，求它的外接圓的方程．

分析：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓．

解：設(shè)所求圓的方程是

因?yàn)锳(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足圓的方程，于是所以，的外接圓的方程是解此方程組，得結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)圓的方程

例3

已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(2,-2)，且圓心C在直線上l：x-y+1=0，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

分析：如圖，確定一個(gè)圓只需確定圓心位置與半徑大?。畧A心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(2,-2)，由于圓心C與A,B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心C在線段AB的垂直平分線上．又圓心C在直線l上，因此圓心C是直線l與直線的交點(diǎn)，半徑長(zhǎng)等于|CA|或|CB|．

解：因?yàn)锳(1,1)和B(2,－2)，所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，直線AB的斜率BxoyACl即因此線段AB的垂直平分線的方程是

圓心C的坐標(biāo)是方程組的解．解此方程組，得所以圓心C的坐標(biāo)是圓心為C的圓的半徑長(zhǎng)所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是小結(jié)1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定.3.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：①待定系數(shù)法；②代入法.4.1.2圓的一般方程思考？

1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開(kāi)可得到一個(gè)什么式子?2.

方程與都表示的圖形是圓嗎？解：分別配方得思考？

第一個(gè)方程表示以（1，-2）為圓心，2為半徑長(zhǎng)的圓.第二個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，不存在點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y)滿足這個(gè)方程，它不表示任何圖形.

方程在什么條件下表示圓？探究（1）當(dāng)時(shí)，表示圓，（2）當(dāng)時(shí)，表示點(diǎn)（3）當(dāng)時(shí)，不表示任何圖形圓的一般方程其中練習(xí)判斷下列方程是不是表示圓表示以（2，3）為圓心，以3為半徑的圓表示點(diǎn)（2，3）不表示任何圖形比較圓的一般方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有什么特點(diǎn)？圓的一般方程的特點(diǎn)：（1）x2、y2

的系數(shù)相同，都不為0．（2）沒(méi)有形如xy的二次項(xiàng)．圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有特點(diǎn)：

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和半徑一目了然．

（2）圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，更適合方程理論的運(yùn)用．思考？

例1求過(guò)三點(diǎn)O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圓的方程，并求出這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).解：設(shè)所求圓的方程為：因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圓上所求圓的方程為

上述解法用了一般方程，請(qǐng)你比較上節(jié)課的標(biāo)準(zhǔn)方程的解法.探究用標(biāo)準(zhǔn)方程解答待定系數(shù)法解：設(shè)所求圓的方程為：因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圓上所求圓的方程為

例2已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3）,端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4

上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.yABMxo

例2方程表示的圖形是一個(gè)圓，求a的取值范圍.小結(jié)1.圓的一般方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).2.用配方法化一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程.3.求圓的一般方程的方法：①待定系數(shù)法；②代入法.小結(jié)：求圓的方程幾何方法

求圓心坐標(biāo)（兩條直線的交點(diǎn)）（常用弦的中垂線）

求半徑（圓心到圓上一點(diǎn)的距離）

寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法列關(guān)于a，b，r（或D，E，F(xiàn)）的方程組解出a，b，r（或D，E，F(xiàn)），寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程（或一般方程）作業(yè)P123練習(xí)：1，2，3.P124習(xí)題4.1A組：1，2，3，44.2直線、圓的位置關(guān)系主要內(nèi)容4.2.2圓與圓的位置關(guān)系4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用4.2.1直線與圓的位置關(guān)系4.2.1直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題

一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)報(bào)：臺(tái)風(fēng)中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑長(zhǎng)為30km的圓形區(qū)域．已知港口位于臺(tái)風(fēng)中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？O

為解決這個(gè)問(wèn)題，我們以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，其中，取10km為單位長(zhǎng)度．港口輪船

這樣，受臺(tái)風(fēng)影響的圓區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓心為O的圓的方程為輪船航線所在直線l的方程為問(wèn)題歸結(jié)為圓心為O的圓與直線l有無(wú)公共點(diǎn)．O港口輪船想一想，平面幾何中，直線與圓有哪幾種位置關(guān)系？平面幾何中，直線與圓有三種位置關(guān)系：（1）直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；d<r（2）直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；d=r（3）直線與圓相離，沒(méi)有公共點(diǎn)．d>r

分析：方法一代數(shù)法：判斷直線l與圓的位置關(guān)系，就是看由它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解；方法二幾何法：可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系．解法一：由直線l與圓的方程，得

例1

如下圖，已知直線l：和圓心為C的圓，判斷直線l與圓的位置關(guān)系；如果相交，求它們交點(diǎn)的坐標(biāo)．①②因?yàn)?1>0所以，直線l與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．

解法二：圓可化為其圓心C的坐標(biāo)為（0，1），半徑長(zhǎng)為，點(diǎn)C

（0，1）到直線l的距離代入②消去y，得由①得③由，解得所以，直線l與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．所以，直線l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是把代入方程①，得；把代入方程①，得．

A（2，0）,B（1，3）判斷直線與圓的位置關(guān)系常用幾何法（方法二），但如果求交點(diǎn)坐標(biāo)就最好用代數(shù)方法（方法一）了解：將圓的方程寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，得如圖，因?yàn)橹本€l被圓所截得的弦長(zhǎng)是，所以弦心距為

例2已知過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程．即圓心到所求直線的距離為因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，所以可設(shè)所求直線l

的方程為即根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得到圓心到直線l

的距離因此即兩邊平方，并整理得到解得所以，所求直線l有兩條，它們的方程分別為或即直線方程化為一般式

1.設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)為圓x2＋y2=r2上一點(diǎn)，如何求過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程？Mxoyx0x+y0y=r2思考題

2.設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)為圓x2＋y2=r2外一點(diǎn)，如何求過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程？Mxoy思考題小結(jié)1.直線和圓的位置關(guān)系的判斷2.會(huì)求弦長(zhǎng)和圓的切線代數(shù)法幾何法圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系解直線和圓方程聯(lián)立的方程組判斷直線和圓的位置關(guān)系幾何方法求圓心坐標(biāo)及半徑r（配方法）

圓心到直線的距離d（點(diǎn)到直線距離公式）代數(shù)方法

消去y（或x