新教材數(shù)學人教A版選擇性課件132空間向量運算的坐標表示

空間向量運算的坐標表示1.空間向量的坐標運算設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a+b=__________________,a-b=__________________,λa=________________,λ∈R,a·b=_____________.必備知識·素養(yǎng)奠基(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(λa1,λa2,λa3)a1b1+a2b2+a3b32.空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則當b≠0時,a∥b?a=λb?______________________(λ∈R);a⊥b?a·b=0?_______________;|a|==;cos<a,b>==a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1+a2b2+a3b3=0【思考】若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,則一定有

成立嗎?提示:當b1,b2,b3均不為0時,成立.3.空間兩點間的距離在空間直角坐標系中,設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),則=__________________;P1P2=||=______________________________.(x2-x1,y2-y1,z2-z1)【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)即使建立的坐標系不同,同一向量的坐標仍相同. ()(2)空間向量a∥b?cos<a,b>=1. ()(3)在空間坐標系中,若A(1,2,3),B(4,5,6),則=(-3,-3,-3). ()提示:(1)×.在不同的空間直角坐標系中同一向量的坐標是不相同的.(2)×.空間向量a∥b則<a,b>=0°或180°,則cos<a,b>=±1.(3)×.空間向量的坐標是用終點坐標減去起點坐標.2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),則4a+2b等于 ()A.(16,0,4) B.(8,-16,4)C.(8,16,4) D.(8,0,4)【解析】選a=(12,-8,4),2b=(-4,8,0),所以4a+2b=(8,0,4).3.與向量a=(1,-3,2)平行的一個向量的坐標為 ()A.(1,3,2) B.(-1,-3,2)C.(-1,3,-2) D.(1,-3,-2)【解析】選C.因為(-1,3,-2)=-(1,-3,2),所以(-1,3,-2)與(1,-3,2)平行.關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一空間向量的坐標運算【典例】1.已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,a·b,(2a)·(-b),(a+b)·(a-b).2.已知△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5),求頂點B,C的坐標及.【思維·引】1.根據(jù)向量坐標運算的公式.2.根據(jù)起點和終點坐標求向量坐標時,用終點坐標減去起點坐標.【解析】1.a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2);a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1+1,-2-4)=(2,0,-6);a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=-7;(2a)·(-b)=-2(a·b)=-2×(-7)=14;(a+b)·(a-b)=(2,-2,2)·(2,0,-6)=2×2+(-2)×0+2×(-6)=-8.2.設(shè)B(x,y,z),C(x1,y1,z1),所以=(x-2,y+5,z-3),=(x1-x,y1-y,z1-z).因為=(4,1,2),所以解得所以B的坐標為(6,-4,5).因為=(3,-2,5),所以解得所以C的坐標為(9,-6,10),=(-7,1,-7).【內(nèi)化·悟】已知向量起點坐標和向量的坐標,怎樣求終點坐標?若已知終點坐標與向量坐標呢?提示:向量的終點坐標定義起點坐標加向量的坐標;向量起點坐標定義終點坐標減去向量坐標.【類題·通】關(guān)于空間向量坐標運算的兩類問題(1)直接計算問題首先將空間向量用坐標表示出來,然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.(2)由條件求向量或點的坐標首先把向量用坐標形式設(shè)出來,然后通過建立方程(組),解方程(組)求出其坐標.【習練·破】1.已知a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,0,1),p=a-b,q=a+2b-c,則p·q=()【解析】選A.因為p=a-b=(1,0,-1),q=a+2b-c=(0,3,1),所以p·q=1×0+0×3+(-1)×1=-1.2.已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),則a-b+2c=_______.

【解析】a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5).答案:(-4,8,-5)類型二利用向量的坐標運算解決空間中的平行、垂直問題【典例】已知空間三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).設(shè)a=,b=.(1)若|c|=3,c∥,求c;(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.【思維·引】(1)根據(jù)c∥,設(shè)c=λ(λ∈R),則向量c的坐標可用λ表示,再利用|c|=3求λ的值;(2)把ka+b與ka-2b用坐標表示出來,再根據(jù)數(shù)量積為0求解.【解析】(1)因為=(-2,-1,2)且c∥,所以設(shè)c=λ=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).所以|c|==3|λ|=3.解得λ=±1.所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)因為a==(1,1,0),b==(-1,0,2),所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).因為(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,解得k=2或k=-.【內(nèi)化·悟】怎樣表示與向量a(a≠0)平行的向量?提示:設(shè)b=λa,λ∈R.【類題·通】判斷空間向量垂直或平行的步驟(1)向量化:將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行.(2)對于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)兩向量坐標間的數(shù)量積是否為0判斷兩向量是否垂直;根據(jù)x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R)或(x2,y2,z2都不為0)判斷兩向量是否平行.【習練·破】1.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),則 ()=,y=1 =,y=-4=2,y=- =1,y=-1【解析】選B.由題意知,a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2).因為(a+2b)∥(2a-b),所以存在實數(shù)λ,使a+2b=λ(2a-b),2.已知空間三點O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直線OA上的一點H滿足BH⊥OA,則點H的坐標為_______.

【解析】設(shè)H(x,y,z),則=(x,y,z),=(x,y-1,z-1),=(-1,1,0).因為BH⊥OA,所以·=0,即-x+y-1=0①,又點H在直線OA上,所以=λ,即②,聯(lián)立①②解得

所以點H的坐標為.答案:

類型三向量夾角與長度的計算角度1向量法求夾角【典例】在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為D1D,BD的中點,G在棱CD上,且CG=CD,H為C1G的中點.(1)求證:EF⊥B1C;(2)求cos<>.【思維·引】(1)建立適當?shù)淖鴺讼?分別計算的坐標,根據(jù)坐標運算證明EF⊥B1C;(2)利用坐標法求cos<>.【解析】(1)如圖,建立空間直角坐標系Dxyz,D為坐標原點,則有E,F,C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1).所以所以,即EF⊥B1C.(2)因為所以所以cos<>=角度2向量法求距離【典例】如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分別是AA1,CB1的中點,求BM,BN的長.【思維·引】【解析】以C為原點,以CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖).則B(0,1,0),M(1,0,1),N所以=(1,-1,1),所以

故BM的長為,BN的長為.【類題·通】利用空間兩點間的距離公式求線段長度問題的一般步驟【習練·破】已知點M(3,2,1),N(1,0,5),求:(1)線段MN的長度;(2)到M,N兩點的距離相等的點P(x,y,z)的坐標滿足的條件.【解析】(1)根據(jù)空間兩點間的距離公式得線段MN的長度|MN|=所以線段MN的長度為2.(2)因為點P(x,y,z)到M,N兩點的距離相等,所以有下面等式成立:

化簡得x+y-2z+3=0,因此,到M,N兩點的距離相等的點P(x,y,z)的坐標滿足的條件是x+y-2z+3=0.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),則b= ()A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)【解析】選B.因為a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1)所以b=a+b-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).2.已知A(1,1,1),B(-3,-3,-3),則線段AB的長為 ()A.4 B.2 C.4 D.3【解析】選A.|AB