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2024屆湖北省孝感中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若數(shù)列滿足且,則使的的值為()A. B. C. D.2.已知函數(shù),,若對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.53.在中,角、、的對(duì)邊分別為、、,若,,,則()A. B. C. D.4.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)原點(diǎn)O作斜率為的直線交C的右支于點(diǎn)A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+15.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定6.?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,例如:四葉草曲線就是其中一種,其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論:①曲線有四條對(duì)稱軸;②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為;③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為;④四葉草面積小于.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④7.已知等差數(shù)列中,,則()A.20 B.18 C.16 D.148.已知P是雙曲線漸近線上一點(diǎn),,是雙曲線的左、右焦點(diǎn),,記,PO,的斜率為,k,,若,-2k,成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.10.在的展開(kāi)式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.11.設(shè),,則()A. B.C. D.12.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,已知,則________.14.已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____.15.已知向量,,且,則________.16.已知,則的值為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,,平面ABCD,,,BE與平面ABCD所成的角為.(1)求證:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.18.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求和的普通方程;(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線交曲線于點(diǎn)(異于),交曲線于點(diǎn),求的最小值.19.(12分)十八大以來(lái),黨中央提出要在2020年實(shí)現(xiàn)全面脫貧,為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo),國(guó)家對(duì)“新農(nóng)合”(新型農(nóng)村合作醫(yī)療)推出了新政,各級(jí)財(cái)政提高了對(duì)“新農(nóng)合”的補(bǔ)助標(biāo)準(zhǔn).提高了各項(xiàng)報(bào)銷的比例,其中門(mén)診報(bào)銷比例如下:表1:新農(nóng)合門(mén)診報(bào)銷比例醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院門(mén)診報(bào)銷比例60%40%30%20%根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),李村一個(gè)結(jié)算年度門(mén)診就診人次情況如下:表2:李村一個(gè)結(jié)算年度門(mén)診就診情況統(tǒng)計(jì)表醫(yī)院類別村衛(wèi)生室鎮(zhèn)衛(wèi)生院二甲醫(yī)院三甲醫(yī)院一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)各門(mén)診就診人次占李村總就診人次的比例70%10%15%5%如果一個(gè)結(jié)算年度每人次到村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院門(mén)診平均費(fèi)用分別為50元、100元、200元、500元.若李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門(mén)診就診人次為2000人次.(Ⅰ)李村在這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中,60歲以上的人次占了80%,從去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中任選2人次,恰好2人次都是60歲以上人次的概率是多少?(Ⅱ)如果將李村這個(gè)結(jié)算年度內(nèi)門(mén)診就診人次占全村總就診人次的比例視為概率,求李村這個(gè)結(jié)算年度每人次用于門(mén)診實(shí)付費(fèi)用(報(bào)銷后個(gè)人應(yīng)承擔(dān)部分)的分布列與期望.20.(12分)(1)已知數(shù)列滿足:,且(為非零常數(shù),),求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)已知數(shù)列滿足:(?。?duì)任意的;(ⅱ)對(duì)任意的,,且.①若,求數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件.②求證:數(shù)列是等比數(shù)列,其中.21.(12分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成.在此區(qū)域內(nèi)原有一個(gè)以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個(gè)凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點(diǎn).已知長(zhǎng)為40米,設(shè)為.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1)記四邊形的周長(zhǎng)為,求的表達(dá)式;(2)要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面,為棱的中點(diǎn),為棱上任意一點(diǎn),且不與點(diǎn)、點(diǎn)重合..(1)求證:平面平面;(2)是否存在點(diǎn)使得平面與平面所成的角的余弦值為?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】因?yàn)?,所以是等差?shù)列,且公差,則,所以由題設(shè)可得,則,應(yīng)選答案C.2、A【解題分析】
根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,對(duì)于恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),然后求出的范圍,進(jìn)一步得到的最大值.【題目詳解】,,對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,易得,即恒成立,,對(duì)于恒成立,設(shè),則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.,將代入得:,,且,故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.3、B【解題分析】
利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【題目詳解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形中角的正弦值的計(jì)算,考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力,屬于中等題.4、B【解題分析】
以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點(diǎn),則,整理計(jì)算可得離心率.【題目詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.5、B【解題分析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【題目詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了幾何概型,定積分的計(jì)算以及幾何意義,屬于中檔題.6、C【解題分析】
①利用之間的代換判斷出對(duì)稱軸的條數(shù);②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值;③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式,然后根據(jù)基本不等式求解出最大值;④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系,從而判斷出面積是否小于.【題目詳解】①:當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱;當(dāng)變?yōu)闀r(shí),不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱;綜上可知:有四條對(duì)稱軸,故正確;②:因?yàn)?,所以,所以,所以,取等?hào)時(shí),所以最大距離為,故錯(cuò)誤;③:設(shè)任意一點(diǎn),所以圍成的矩形面積為,因?yàn)?,所以,所以,取等?hào)時(shí),所以圍成矩形面積的最大值為,故正確;④:由②可知,所以四葉草包含在圓的內(nèi)部,因?yàn)閳A的面積為:,所以四葉草的面積小于,故正確.故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用,其中涉及到曲線的對(duì)稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用,難度較難.分析方程所表示曲線的對(duì)稱性,可通過(guò)替換方程中去分析證明.7、A【解題分析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,再利用基本量法與題中給的條件列式求解首項(xiàng)與公差,進(jìn)而求得即可.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由得,解得.所以.故選:A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量求解,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】
求得雙曲線的一條漸近線方程,設(shè)出的坐標(biāo),由題意求得,運(yùn)用直線的斜率公式可得,,,再由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和離心率公式,計(jì)算可得所求值.【題目詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為,且,由,可得以為圓心,為半徑的圓與漸近線交于,可得,可取,則,設(shè),,則,,,由,,成等差數(shù)列,可得,化為,即,可得,故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),主要是漸近線方程和離心率,考查方程思想和運(yùn)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.9、D【解題分析】分析:先研究函數(shù)的奇偶性,再研究函數(shù)在上的符號(hào),即可判斷選擇.詳解:令,因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù),排除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí),,所以排除選項(xiàng)C,選D.點(diǎn)睛:有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路:(1)由函數(shù)的定義域,判斷圖象的左、右位置,由函數(shù)的值域,判斷圖象的上、下位置;(2)由函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢(shì);(3)由函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對(duì)稱性;(4)由函數(shù)的周期性,判斷圖象的循環(huán)往復(fù).10、D【解題分析】
根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【題目詳解】因?yàn)樵?,所以含的?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,11、D【解題分析】
由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【題目詳解】解:因?yàn)椋?,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式,屬基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】
選取中間值和,利用對(duì)數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【題目詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【題目點(diǎn)撥】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解題分析】
利用正弦定理邊化角可得,從而可得,進(jìn)而求解.【題目詳解】由,由正弦定理可得,即,整理可得,又因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.14、4038.【解題分析】
由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得:函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,則,,即,得解.【題目詳解】由知:得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則故,即本題正確結(jié)果:【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)求值的問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱中心,屬中檔題.15、【解題分析】
根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式,即可求得實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】,且,則,解得.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用向量垂直求參數(shù),涉及垂直向量的坐標(biāo)表示,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】
先求,再根據(jù)的范圍求出即可.【題目詳解】由題可知,故.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解題分析】
(1)要證明平面平面BDE,只需在平面內(nèi)找一條直線垂直平面BDE即可;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面BEF的法向量,平面的法向量,算出即可.【題目詳解】(1)∵平面ABCD,平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形,∴.∵,∴平面BDE,設(shè)AC,BD交于O,取BE的中點(diǎn)G,連FG,OG,,,四邊形OCFG是平行四邊形,平面BDE∴平面BDE,又因平面BEF,∴平面平面BDE.(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系∵BE與平面ABCD所成的角為,,,,,,.,設(shè)平面BEF的法向量為,,,設(shè)平面的法向量設(shè)二面角的大小為..【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直證面面垂直、面面所成角的計(jì)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,解決此類問(wèn)題最關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo),是一道中檔題.18、(1)曲線的普通方程為:;曲線的普通方程為:(2)【解題分析】
(1)消去曲線參數(shù)方程中的參數(shù),求得和的普通方程.(2)設(shè)出過(guò)原點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程,代入曲線的極坐標(biāo)方程,求得的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)值域的求法,求得的最小值.【題目詳解】(1)曲線的普通方程為:;曲線的普通方程為:.(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程為;由得,所以曲線的極坐標(biāo)方程為在曲線中,.由得曲線的極坐標(biāo)方程為,所以而到直線與曲線的交點(diǎn)的距離為,因此,即的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,考查極坐標(biāo)系下距離的有關(guān)計(jì)算,屬于中檔題.19、(Ⅰ);(Ⅱ)的發(fā)分布列為:X2060140400P0.70.10.150.05期望.【解題分析】
(Ⅰ)由表2可得去各個(gè)門(mén)診的人次比例可得2000人中各個(gè)門(mén)診的人數(shù),即可知道去三甲醫(yī)院的總?cè)藬?shù),又有60歲所占的百分比可得60歲以上的人數(shù),進(jìn)而求出任選2人60歲以上的概率;(Ⅱ)由去各門(mén)診結(jié)算的平均費(fèi)用及表1所報(bào)的百分比可得隨機(jī)變量的可能取值,再由概率可得的分布列,進(jìn)而求出概率.【題目詳解】解:(Ⅰ)由表2可得李村一個(gè)結(jié)算年度內(nèi)去門(mén)診就診人次為2000人次,分別去村衛(wèi)生室、鎮(zhèn)衛(wèi)生院、二甲醫(yī)院、三甲醫(yī)院人數(shù)為,,,,而三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中,60歲以上的人次占了,所以去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中,60歲以上的人數(shù)為:人,設(shè)從去三甲醫(yī)院門(mén)診就診的人次中任選2人次,恰好2人次都是60歲以上人次的事件記為,則;(Ⅱ)由題意可得隨機(jī)變量的可能取值為:,,,,,,,,所以的發(fā)分布列為:X2060140400P0.70.10.150.05所以可得期望.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查互斥事件、隨機(jī)事件的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望、組合計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.20、(1);(2)①;②證明見(jiàn)解析.【解題分析】
(1)由條件可得,結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式、求和公式,即可得到所求;(2)①若,可令,運(yùn)用已知條件和等比數(shù)列的性質(zhì),即可得到所求充要條件;②當(dāng),,,由等比數(shù)列的定義和不等式的性質(zhì),化簡(jiǎn)變形,即可得到所求結(jié)論.【題目詳解】解:(1),,且為非零常數(shù),,,可得,可得數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,可得,前項(xiàng)和為;(2)①若,可令,,且,即,,,,對(duì)任意的,,可得,可得,,數(shù)列是等比數(shù)列,則,,可得,,即,又,即有,即,數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為;②證明:對(duì)任意的,,,,,當(dāng),,,可得,即以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列;同理可得以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列;對(duì)任意的,,可得,即有,所以對(duì),,,可得,,即且,則,可令,故
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