2021年湖南省衡陽市耒陽導子中學高一數(shù)學理期末試卷含解析

2021年湖南省衡陽市耒陽導子中學高一數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若三點共線，則y=（）A.13 B.－13 C.9 D.－9參考答案：D【分析】根據(jù)三點共線，有成立，解方程即可.【詳解】因為三點共線，所以有成立，因此，故本題選D.【點睛】本題考查了斜率公式的應用，考查了三點共線的性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.

2.已知圓M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x軸和y軸截得的弦長相等，則圓M被直線x+y=0截得的弦長為（）A．4 B． C．2 D．2參考答案：C【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】利用圓M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x軸和y軸截得的弦長相等，求出a=2，得出圓心在直線x+y=0上，即可求出圓M被直線x+y=0截得的弦長．【解答】解：由題意，圓心坐標為（1，﹣），∵圓M：x2+y2﹣2x+ay=0（a＞0）被x軸和y軸截得的弦長相等，∴a=2，∴圓心坐標為（1，﹣1），圓的半徑為，圓心在直線x+y=0上，∴圓M被直線x+y=0截得的弦長為2，故選C．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．3.若cos（π﹣α）=，且α是第二象限角，則sinα的值為(

)A．﹣ B． C． D．﹣參考答案：B【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；運用誘導公式化簡求值．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值．【分析】利用誘導公式及已知可求cosα=﹣，結(jié)合角的范圍，利用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用即可得解．【解答】解：∵cos（π﹣α）=﹣cosα=，且α是第二象限角，∴sinα===．故選：B．【點評】本題主要考查了誘導公式，同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式的應用，屬于基礎題．4.已知正切函數(shù)f（x）=Atan（ωx+）（ω＞0，||＜），y=f（x）的部分圖象如圖所示，則=（） A． 3 B． C． 1 D． 參考答案：A由題知，∴，∴，又∵圖象過，∴，∴，∵，∴，又∵圖象過（0，1），∴，∴，∴，∴，故選：A．5.（多選題）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在(－∞,0)上單調(diào)遞減的是（

）A. B.C. D.參考答案：AD【分析】對選項逐一分析函數(shù)的奇偶性和在區(qū)間上的單調(diào)性，由此判斷正確選項.【詳解】對于A選項，為偶函數(shù)，且當時，為減函數(shù)，符合題意.對于B選項，為偶函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可知在上遞增，不符合題意.對于C選項，為奇函數(shù)，不符合題意.對于D選項，為偶函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意.故選：AD.6.等于(

)A． B． C． D．參考答案：B考點：兩角和的正弦公式7.直線的方程為，當，，時，直線必經(jīng)過（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限參考答案：A8.已知集合,則A與B之間的關(guān)系是（

）A.

B.

C.A=B

D.

參考答案：A9.已知，且，則的取值范圍是（

）（A）（B）（C）（D）參考答案：A10.設等差數(shù)列的前項和為且滿足則中最大的項為A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知＝2，則的值為；的值為

參考答案：-4/3

,7/6略12.已知，則__________參考答案：【分析】利用誘導公式化簡原式，再將代入即可得出結(jié)論.【詳解】，，故答案為.【點睛】本題主要考查誘導公式的應用以及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對誘導公式的記憶不但要正確理解“奇變偶不變，符號看象限”的含義，同時還要加強記憶幾組常見的誘導公式，以便提高做題速度.13.當a＞0且a≠1時，函數(shù)必過定點

.參考答案：14.為不共線的向量，設條件；條件對一切，不等式恒成立．則是的

條件．參考答案：充要15.設兩個非零向量不共線，且，則實數(shù)的值為

．參考答案：略16.已知函數(shù)的定義域是（為整數(shù)），值域是，則滿足條件的整數(shù)數(shù)對共有

▲

個.參考答案：5略17.當兩個集合中一個集合為另一集合的子集時稱這兩個集合之間構(gòu)成“全食”，當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時稱兩集合之間構(gòu)成“偏食”.對于集合，，若A與B構(gòu)成“全食”，或構(gòu)成“偏食”，則a的取值集合為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.過點P（2，1）的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點．（1）|OA|?|OB|最小時，求直線l的方程；（2）2|OA|+|OB|最小時，求直線l的方程．參考答案：【考點】待定系數(shù)法求直線方程．【分析】法一：（1）先求出+=1，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到ab的最小值，從而求出直線方程；（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)得到關(guān)于a，b的方程組，解出a，b，求出方程即可；法二：（1）設直線l的方程為y﹣1=k（x﹣2），（k＜0），求出其與坐標軸的交點坐標，表示出|OA|?|OB|，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出k的值，從而求出直線方程；（2）表示出2|OA|+|OB|，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出k的值，求出直線方程即可．【解答】解：方法一：設|OA|=a，|OB|=b，則直線l的方程為：+=1，（a＞2，b＞1），由已知可得：+=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）∵2≤+=1，∴ab≥8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣當且僅當==，即a=4，b=2時，ab取最小值4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此時直線l的方程為+=1，即為x+2y﹣4=0．故|OA|?|OB|最小時，所求直線l的方程為：x+2y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）由+=1得：2a+b=（2a+b）?（+）=5++≥5+2=9﹣﹣﹣﹣﹣當且僅當，即a=3，b=3時，2a+b取最小值9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣此時直線l的方程為+=1，即x+y﹣3=0．故@|OA|+|OB|最小時，所求直線l的方程為x+y﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣方法二：設直線l的方程為y﹣1=k（x﹣2），（k＜0），則l與x軸、y軸正半軸分別交于A（2﹣，0）、B（0，1﹣2k）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1）|OA|?|OB|=（2﹣）?（1﹣2k）=4+（﹣4k）+（﹣）≥4+2=8，故|OA|?|OB|最小時，所求直線l的方程為y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0．﹣﹣﹣﹣﹣（2）2|OA|+|OB|=2（2﹣）+（1﹣2k）=5+（﹣）+（﹣2k）≥5+2=9，當且僅當﹣=﹣2k，即k=﹣1時取得最小值9．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故2|OA|+|OB|最小時，所求直線l的方程為y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.（本小題滿分16分）定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù)，（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；參考答案：（1）當時，，，即在的值域為………5分故不存在常數(shù)，使成立所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。

……6分（2）由題意知，在上恒成立?！?分，

∴

在上恒成立………9分∴

………11分20.（本小題滿分14分）

若函數(shù)在時,函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為[]，就稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”.定義在上的奇函數(shù)，當時，.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”；（Ⅲ）若函數(shù)在定義域內(nèi)所有“倒域區(qū)間”上的圖像作為函數(shù)=的圖像，是否存在實數(shù),使集合恰含有2個元素.參考答案：(Ⅰ)當時，

……………4分

(Ⅱ)設1≤＜≤2，∵在上遞減，

∴整理得

，解得．

∴在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.

……………9分

(Ⅲ)∵在時,函數(shù)值y的取值區(qū)間恰為[]，其中≠,、≠0，

∴，∴、同號．只考慮0＜＜≤2或－2≤＜＜0

當0＜＜≤2時，根據(jù)的圖像知，最大值為1，，∴1≤＜≤2，由(Ⅱ)知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為；

當－2≤＜＜0時間，最小值為-1，，∴,同理知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.

……………11分依題意：拋物線與函數(shù)的圖象有兩個交點時，一個交點在第一象限，一個交點在第三象限．因此，應當使方程，在[1，]內(nèi)恰有一個實數(shù)根，并且使方程，在[]內(nèi)恰有一個實數(shù)由方程在內(nèi)恰有一根知；由方程在[]內(nèi)恰有一根知，綜上：＝－2．

……………14分21.祖國大陸開放臺灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作實驗區(qū)和臺灣農(nóng)業(yè)創(chuàng)業(yè)園，臺灣農(nóng)民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務.某臺商到大陸創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費12萬美元，以后每年增加4萬美元，每年銷售蔬菜收入50萬元。設f（n）表示前n年的純收入（f（n）=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額）（1）從第幾年開始獲取純利潤？（2）若干年后，該臺商為開發(fā)新項目，有兩種處理方案：?年平均利潤最大時以48萬美元出售該廠；?純利潤總和最大時，以16萬美元出售該廠，問哪種方案最合算？參考答案：解：(1)設從第年開始獲取純利潤，則整理得，解得：

∴從第三年開始獲取純利潤.(2)方案1：年平均利潤為當且僅當即時取等號

∴總利潤為（萬元）方案2：純利潤總和為

∴時，∴總利潤為（萬元）由于方案1用時較短，故方案1最合算22.（本題滿分12分)在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距離A為

nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西方向，距離A為2nmile的C處有一艘緝私艇奉命以nmile/h的速度追截走私船，此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東方向逃竄，問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間。(本題解題過程中請不要使用計算器，以保證數(shù)據(jù)的相對準確和計算的方便)參考