2021年江蘇省南京市姜堰區(qū)藝術(shù)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021年江蘇省南京市姜堰區(qū)藝術(shù)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖為函數(shù)的圖象，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.“x＝”是“tanx＝1”成立的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A3.過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若=則雙曲線的離心率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：c略4.設(shè)命題：，則為（

）A．

B．C．

D．，參考答案：A5.直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓過橢圓的右焦點，則橢圓的離心率為（

）A

B

C

D

參考答案：C6.“a=b”是“a2=b2”成立的

條件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）參考答案：充分不必要

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷．【解答】解：若a2=b2，則a=b或a=﹣b，即a=b”是“a2=b2”成立的充分不必要條件，故答案為：充分不必要．7.已知平面α內(nèi)有一點M（1，﹣1，2），平面α的一個法向量=（2，﹣1，2），則下列點P在平面α內(nèi)的是（）A．（﹣4，4，0） B．（2，0，1） C．（2，3，3） D．（3，﹣3，4）參考答案：C【考點】平面的法向量．【分析】若點P在平面α內(nèi)，則=0，經(jīng)過驗證即可判斷出結(jié)論．【解答】解：若點P在平面α內(nèi)，則=0，經(jīng)過驗證只有點（2，3，3）滿足．故選：C．8.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|log4x＜0.5}，則（）A．A∩B=? B．A∩B=B C．?UA∪B=R D．A∪B=B參考答案：B【考點】1E：交集及其運算．【分析】利用不等式的性質(zhì)分別求出集合A與B，由此利用交集和并集的定義能求出結(jié)果．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|log4x＜0.5}={x|0＜x＜2}，∴A∩B=B，?UA∪B={x|x≤﹣1或x＞0}，A∪B=A．故選：B．9.已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．

B． C． D．參考答案：D10.已知橢圓，焦點在軸上，若焦距為4，則等于()(A)4

(B)5

(C)7

(D)8參考答案：D依題意，，則，且即，則，解得，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的值域是

▲

．參考答案：略12.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

A.

B.

C.

D.參考答案：B略13.已知，m，n是三條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題：①若∥m，n⊥m，則n⊥；

②若∥m，mα，則∥α；③若α，mβ，α∥β，則∥m；④若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=，則⊥γ。其中真命題是_____.．（寫出所有真命題的序號）．參考答案：①④14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，右圖是的圖象，若的極大值與極小值之和為，則的值為

▲

．參考答案：

略15.已知線段兩個端點,直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍為________________.參考答案：略16.用秦九韶算法計算多項式當(dāng)時的值時,至多需要做乘法和加法的次數(shù)分別是

_和

參考答案：6,617.直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為

▲

.參考答案：-4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知拋物線：，直線：，點是直線上任意一點，過點作拋物線的切線，切點分別為，直線斜率分別為，如圖所示.（1）若，求證：；（2）當(dāng)在直線上運動時，求證：直線

過定點，并求出該定點坐標(biāo).參考答案：解：（1）設(shè)過的切線方程為：，代入拋物線，消去得：，由，所以：，該方程的兩個根為直線斜率，所以：.-----------5分（2）設(shè)，，切點對求導(dǎo)數(shù)，，所以：故：直線：，直線：由于，所以：：，：由于直線，都過點，有：，這說明滿足直線的方程，所以直線為：，再由所以為：，，

即過定點.------12分

略19.如下圖，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬20m，要求通行車輛限高5m，隧道全長2.5km，隧道的兩側(cè)是與地面垂直的墻，高度為3米，隧道上部拱線近似地看成半個橢圓．（1）若最大拱高h為6m，則隧道設(shè)計的拱寬l是多少？（2）若要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，則應(yīng)如何設(shè)計拱高h和拱寬l？（已知：橢圓+=1的面積公式為S=，柱體體積為底面積乘以高.）（3）為了使隧道內(nèi)部美觀，要求在拱線上找兩個點M、N，使它們所在位置的高度恰好是限高5m，現(xiàn)以M、N以及橢圓的左、右頂點為支點，用合金鋼板把隧道拱線部分連接封閉，形成一個梯形，若

=30m，梯形兩腰所在側(cè)面單位面積的鋼板造價與梯形頂部單位面積鋼板造價相同且為定值，試確定M、N的位置以及的值，使總造價最少.參考答案：解：（1）如下圖建立直角坐標(biāo)系，則點P（10，2）在橢圓上，令橢圓方程為+=1.將b=h-3=3與點P坐標(biāo)代入橢圓方程，得a=，此時=2a=,因此隧道的拱寬約為

m.（2）要使隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小，由柱體的體積公式可知：只需半橢圓的面積最小即可．由橢圓方程+=1，得+=1.因為+≥，即ab≥40，所以半橢圓面積S=≥.當(dāng)S取最小值時，有==，得a=10，b=.此時l=2a=20，

h=b+3=+3故當(dāng)拱高為(+3)m、拱寬為20m時，隧道上方半橢圓部分的土方工程量最小

（3）根據(jù)題意設(shè)要使總造價最低，只要梯形的兩腰長與上底長之和最短即可，令這個和為，則，的幾何意義是點（x，0）到點（0,0）和點（15,2）的距離和的兩倍，答：，總造價最小。20.(本小題滿分10分)求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2).參考答案：(1)y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex

21.某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才．對20位已經(jīng)選撥入圍的學(xué)生進行運動協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測試，其測試結(jié)果如下表：

邏輯思維能力運動協(xié)調(diào)能力一般良好優(yōu)秀一般221良好4b1優(yōu)秀13a

例如，表中運動協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有4人．由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參加測試的學(xué)生中隨機抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為．（1）求a，b的值．（2）從參加測試的20位學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．（3）從參加測試的20位學(xué)生中任意抽取2位，設(shè)運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為，求隨機變量的分布列．參考答案：（1）；（2）；（3）見解析.試題分析：（1）求，的值，由題意，從這位參加測試的學(xué)生中隨機抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為，而由表中數(shù)據(jù)可知，運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有人，可由，解出的值，從而得的值；（2）由題意，從人中任意抽取人的方法數(shù)為，而至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的對立事件是，沒有取到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生，而沒有取到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的方法數(shù)為，由古典概型，可求出沒有運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率，從而得所求的概率；（3）由題意得的可能取值為，由古典概型，分別求出它們的概率，得隨機變量的分布列，從而得數(shù)學(xué)期望．試題解析：（1）設(shè)事件：從位學(xué)生中隨機抽取一位，抽到運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．由題意可知，運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有人．則．解得．所以．4分（2）設(shè)事件：從人中任意抽取人，至少有一位運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．由題意可知，至少有一項能力測試優(yōu)秀學(xué)生共有人．則．7分（3）的可能取值為，，．位學(xué)生中運動協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)為人．所以，，．所以的分布列為012

所以，．13分22.在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，，AB⊥AD，AB∥CD，點M是PC的中點．（I）求證：MB∥平面PAD；（II）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD中點H，連結(jié)MH，AH．推導(dǎo)出四邊形ABMH為平行四邊形，從而BM∥AH，由此能證明BM∥平面PAD．（Ⅱ）取AD中點O，連結(jié)PO．以O(shè)為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角P﹣BC﹣D的余弦值．【解答】（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）取PD中點H，連結(jié)MH，AH．因為M為中點，所以．因為．所以AB∥HM且AB=HM．所以四邊形ABMH為平行四邊形，所以BM∥AH．因為BM?平面PAD，AH?平面PAD，所以BM∥平面P