經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一階微分方程

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一階微分方程第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五一、可分離變量的微分方程與分離變量法設(shè)有一階微分方程則稱方程為可分離變量的微分方程,其中都是連續(xù)函數(shù).根據(jù)這種方程的特點,我們可通過積分來求解.設(shè)用除方程的兩端,用乘以方程的兩端,以使得未知函數(shù)與自變量置得,第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五兩邊積分,得如果則易知也是方程的解.求解可分離變量的方程的方法稱為分離變量法.上述第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例1求微分方程解分離變量兩端積分從而記則得到題設(shè)方程的通解第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例3解分離變量得得求微分方程的通解.的各項,先合并及設(shè)兩端積分得于是第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五則得到題設(shè)方程的通解記注：在用分離變量法解可分離變量的微分方程的過程中,用它除方程兩邊,這樣得到的通解,不包含使的特解.但是,其失去的解仍包含在通解中.如在本例中,我們得有時如果我們擴(kuò)大任意常數(shù)的取值范圍,則到的通解中應(yīng)該但這樣方程就失去特解而如果允許則仍包含在通解中.的前提下,我們在假定第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例4某公司年凈資產(chǎn)有(百萬元),并且資產(chǎn)本身以每年5%的速度連續(xù)增產(chǎn),同時該公司每年要以30百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.(1)給出描述凈資產(chǎn)的微分方程;(2)求解方程,這時假設(shè)初始凈資產(chǎn)為(3)討論在三種情況下,變化特點.解(1)利用平衡法,即由凈資產(chǎn)增長速度資產(chǎn)本身增長速度職工工資支付速度得到所求微分方程第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五解(1)得到所求微分方程(2)分離變量,得兩邊積分,得(為正常數(shù)),于是將代入,得方程通解:上式推導(dǎo)過程中當(dāng)時,或第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五通常稱為平衡解,仍包含在通解表達(dá)式中.(3)由通解表達(dá)式可知,當(dāng)百萬元時,產(chǎn)額單調(diào)遞減,公司將在36年破產(chǎn);凈資萬元時,公司將收支平衡,當(dāng)百將資產(chǎn)保持在600百萬元不變;當(dāng)百萬元時,不斷增大.公司凈資產(chǎn)將按指數(shù)第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式,得可分離變量的方程1.定義)(xyfdxdy=形如.)(xuufdxdu-=即第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五,ln)(1xCuufdu=-ò得第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例5解原方程變形為求解微分方程令則故原方程變?yōu)榧捶蛛x變量得,dxduxudxdy+=齊次方程第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五分離變量得兩邊積分得或便得所給方程的通解為回代第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例6求下列微分方程的通解:解原方程變形為令則代入原方程并整理兩邊積分得即變量回代得所求通解第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五課堂練習(xí)求解微分方程解,dxduxudxdy+=則第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五微分方程的解為第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上面方程稱為齊次的.上面方程稱為非齊次的.例如線性的;非線性的.三、一階線性微分方程第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五齊次方程的通解為1.一階線性齊次方程一階線性微分方程的解法由分離變量法第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五2.一階線性非齊次方程討論兩邊積分即非齊次方程通解形式對照),()(xvdxyxQ為設(shè)òò=-dxxPCey)(齊次方程的通解第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.作變換第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五一階線性非齊次微分方程的通解為:對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五解例7第一步，求相應(yīng)的齊次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五解例7第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五解例7第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例8解方程化為其中.02)6(2的通解求方程=+-ydxdyxy第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五所以第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五四、利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為.)(92的通解求例yxdxdy+=第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五例10

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為貝努利方程,2dxdyydxdz=則第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五解分離變量法得所求通解為,dxdyxydxdz+=則第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五解代入原式分離變量法得所求通解為另解（一階線性微分方程）,1-=dxdudxdy則.yxdydx+=方程變形為第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五五、小結(jié)1.可分離變量的微分方程:分離變量法（1）分離變量;（2）兩端積分-------隱式通解.可分離變量的微分方程解法：第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五3.線性非齊次方程2.齊次方程齊次方程的解法線性非齊次方程的解法第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五思考題1.求解微分方程2.方程是否為齊次方程?第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五思考題解答為所求解.第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五2.方程兩邊同時對求導(dǎo):原方程是齊次方程.第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五練習(xí)題一、求下列微分方程的通解:

1.0tansectansec22=+xdyyydxx；

2.0)()(=++-++dyeedxeeyyxxyx；

3.0)1(32=++xdxdyy.

二、

求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:

1.xdxyydyxsincossincos=,40p==xy；

2.0sin)1(cos=++-ydyeydxx,40p==xy.

第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五五、

求下列齊次方程的通解:

1.0)(22=-+xydydxyx；

2.0)1(2)21(=-++dyyxedxeyxyx.

六、

求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解:

1.1,02)3(022==+-=xyxydxdyxy；

2.,0)2()2(2222=-++-+dyxxyydxyxyx

11==xy.

第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五七、求下列微分方程的通解:

1.xexyysincos-=+￠；

2.0)ln(ln=-+dyyxydxy；

3.02)6(2=+-ydxdyxy.

八、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:

1.4,5cot2cos-==+=pxxyexydxdy；

2..0,132132==-+=xyyxxdxdy

第四十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五第四十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期五十、

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的方程,然后求出通解:

1.11+-=yxdxdy；

2.1cossin2sin)1(sin222+--+-+=￠xxxyxyy；

3.xyxyxdxdy-=)(sin12.

十一、已知微分方程)(xgyy=+￠,其中

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