耦合電感的伏安關(guān)系

耦合電感的伏安關(guān)系第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五耦合電感和理想變壓器是電路中的兩種元件，同屬于磁耦合元件，它們在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。所謂磁耦合，是指載流線圈通過彼此的磁場而相互關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象。但耦合電感和理想變壓器又有各自的特點(diǎn)，耦合電感是動態(tài)元件，能夠儲存能量，而理想變壓器既不儲存能量也不消耗能量，只是按照一定的變比傳遞能量。本章主要介紹互感現(xiàn)象、耦合電感的同名端、耦合系數(shù)；耦合電感的電壓電流關(guān)系；含有耦合電感的電路的分析。最后簡單介紹空心變壓器、理想變壓器及其應(yīng)用。第八章耦合電感與理想變壓器第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五依法拉第電磁感應(yīng)定律，線圈兩端的感應(yīng)電壓與磁鏈的關(guān)系為：8.1耦合電感的伏-安關(guān)系圖8-1匝數(shù)為N的自感線圈感應(yīng)電壓與線圈電流的關(guān)系為：其中，

，在這里L(fēng)稱為自電感。第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)具有自電感L1、L2的兩個線圈緊密靠近時，如圖8-2(a)所示。N1、N2是線圈1、2的匝數(shù)。當(dāng)兩個線圈都有電流時它們的磁場相互關(guān)聯(lián)的。為簡化分析，先讓線圈2的電路開路。8.1耦合電感的伏-安關(guān)系圖8-2線圈1在線圈2產(chǎn)生的互感圖(b)是為了說明線圈2的感應(yīng)電壓極性與線圈的繞向有關(guān)。第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

8.1耦合電感的伏-安關(guān)系設(shè)電流i1在線圈1中產(chǎn)生的自感磁鏈為11，在線圈2中產(chǎn)生的互感磁通為21。線圈1的總磁通1為：當(dāng)1隨時間變化時，線圈1的感應(yīng)電壓為：

因?yàn)橹挥写磐?1經(jīng)過線圈2，所以線圈2的感應(yīng)電壓為：第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

8.1耦合電感的伏-安關(guān)系M21稱為線圈1對線圈2的互感系數(shù)，簡稱互感，單位H。通常M的值取正。第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

同理，若在線圈2中通以交變的電流，線圈1的電路開路，如圖8-3所示。8.1耦合電感的伏-安關(guān)系圖8-3線圈2在線圈1產(chǎn)生的互感線圈2的總磁通2為：第七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

8.1耦合電感的伏-安關(guān)系當(dāng)2隨時間變化時，線圈2的感應(yīng)電壓為：

因?yàn)橹挥写磐?2經(jīng)過線圈1，所以它的感應(yīng)電壓為：第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

總結(jié)：互感M的大小表明一個線圈在另一個線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓的能力。M越大，產(chǎn)生的感應(yīng)電壓越大。8.1耦合電感的伏-安關(guān)系其中，M12稱為線圈2對線圈1的互感系數(shù)。當(dāng)兩個線圈在同樣的環(huán)境下時，可以證明，M21=M12。因此當(dāng)兩線圈有耦合作用時，可省去下標(biāo)，用M表示互感。第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

在耦合電趕的伏-安關(guān)系中，因自電感的電流與感應(yīng)電壓都是對同一個線圈，感應(yīng)電壓的實(shí)際方向與線圈中的電流符合關(guān)聯(lián)參考方向。而互感是衡量一個線圈的電流在另一個線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓的能力，因此感應(yīng)電壓的極性與另一個線圈的繞向有關(guān)。繞向不同，互感磁通可能會削弱自感磁通，也可能增強(qiáng)自感磁通。8.1耦合電感的伏-安關(guān)系在分析電路時耦合線圈一般用電路符號表示，不能具體表示出元件的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，實(shí)際的互感元件也看不見線圈的繞向，因此，常在電路圖中的互感線圈上標(biāo)注互感電動勢極性的標(biāo)記，這就是同名端的標(biāo)記。第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五是各取耦合線圈的一端，標(biāo)上“?”或“*”號，這一對端子稱為同名端。它們之間的關(guān)系是：若設(shè)一端是產(chǎn)生互感電壓的電流的流入端，則另一端的是互感電壓的“+”端。反之，若一端是產(chǎn)生互感電壓的電流的流出端，則另一端是互感電壓的“-”端。8.1耦合電感的伏-安關(guān)系同名端定義：在變壓器和互感器出廠時，廠家已用同名端的標(biāo)記符號在它的外殼上標(biāo)示出線圈的相對繞向。當(dāng)然，可以根據(jù)同名端的定義，也可以用實(shí)驗(yàn)的方法確定同名端。第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

圖8-4用同名端標(biāo)識耦合電感的電路模型8.1耦合電感的伏-安關(guān)系圖8-2可簡化為圖11-4（a）的電路模型，圖中1、2端互為同名端，或1＇、2＇端互為同名端。圖8-4(b)、(c)、(d)給出的是另外三種情況的電路模型。第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五例8-1求圖8-5(a)，(b)中耦合電感的端電壓u1,u2。圖8-5耦合電感的電路模型8.1耦合電感的伏-安關(guān)系解：（a）電路，電流i1從1端流入，根據(jù)同名端的定義，在線圈2中產(chǎn)生的互感電壓極性一定是3端為正。因此，電流i1在線圈2中引起的互感電壓與線圈2的端口電壓u2方向是一致的，第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

因此有：同理可得：8.1耦合電感的伏-安關(guān)系對圖（b）電路，線圈2同名端的位置與圖(a)中相反，而端口電流、電壓的定義方向一致，因此互感電壓的極性一定與式（a）的u1和u2一定相反。端口的伏安關(guān)系：第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

圖8-6耦合電感的相量電路模型8.1耦合電感的伏-安關(guān)系耦合電感元件可用相量模型表示：對應(yīng)的伏-安關(guān)系表示為：第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五8.1耦合電感的伏-安關(guān)系用受控電壓源等效的方法表示電路中耦合線圈的互感作用：等效經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)換，兩線圈之間不再有耦合關(guān)系。

相量表示第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五因?yàn)橥ǔＧ闆r下，

21<11，12

<22，所以k的值是介于0和1之間。

工程上用它來描述兩線圈的耦合程度。即：

8.1耦合電感的伏-安關(guān)系耦合系數(shù)定義：將兩線圈的互感磁通與自感磁通的比值的幾何平均值。即：第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

8.1耦合電感的伏-安關(guān)系若21

=11，12

=22，即：每個線圈產(chǎn)生的磁通全部通過另一線圈，則k=1：稱兩線圈是全耦合。k=0，兩線圈無耦合。k值的大小反映了耦合的程度，它與線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置及周圍的介質(zhì)有關(guān)。(a)松耦合(b)緊耦合圖8-8耦合電感的耦合程度示意圖當(dāng)k<0.5時，稱為松耦合，當(dāng)k>0.5時，稱為緊耦合，如圖8-8所示。第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路

一、耦合電感的串聯(lián)一對耦合電感的串聯(lián)有兩種方式：順串和反串。順串是將兩線圈的異名端相聯(lián)，如圖8-9(a)所示。根據(jù)同名端的定義與互感電壓極性的關(guān)系，可得到用受控源表示的電路，如圖8-9(b)所示。圖8-9耦合電感的順串第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

圖8-9耦合電感的順串因此得到：8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路順串后的等效電感。等效為無互感的電路：第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

反串是將兩線圈的同名端相聯(lián)，如圖8-11(a)所示。同樣可得到用受控源表示的電路，如圖8-11(b)所示。8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路圖8-11耦合電感的反串因此有：第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路反串后的互感對磁通起“削弱”作用。圖8-12無互感的反串等效電路反串后的等效電感等效為無互感的反串電路：第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路順串時的等效阻抗：反串時的等效阻抗：結(jié)論：串聯(lián)的兩個電感若有互感時，等效阻抗不僅與自電感阻抗有關(guān)，還與互感阻抗和串接方式有關(guān)。第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五耦合電感并聯(lián)的連接方式有兩種，如圖8-13所示。（a）是同名端連接在同一節(jié)點(diǎn)上，稱為同側(cè)并聯(lián)電路；

(b)是非同名端連接在同一節(jié)點(diǎn)上，成為異側(cè)并聯(lián)電路。圖8-13耦合電感的并聯(lián)電路8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路二、耦合電感的串聯(lián)第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五對同側(cè)并聯(lián)電路，有：因?yàn)?/p>

，所以有：同側(cè)并聯(lián)電路的等效電感為：8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

對異側(cè)并聯(lián)電路，同理可得到等效電感為：8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路三、去耦等效電路在分析含有耦合電感的電路中，常常會有圖8-14（a）所示的部分。在計(jì)算時常用等效電路模型來代替，以方便計(jì)算。8-14(a)同名端連在公共端點(diǎn)上第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五下面推導(dǎo)它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：去耦等效電路8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路(a)同名端連在公共端點(diǎn)上

(b)去耦等效電路

圖8-14同名端相連的耦合電感及其去耦等效電路

對(a),由同名端的定義與互感電壓極性的關(guān)系，可得：第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

對(b)電路，依據(jù)KVL有:8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路(a)同名端連在公共端點(diǎn)上

(b)去耦等效電路

圖8-14同名端相連的耦合電感及其去耦等效電路

第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

將兩式的系數(shù)進(jìn)行比較，可以得到：

若改變同名端的位置，如圖8-15(a)所示，可以得到8-15(b)所示的去耦等效電路圖。

(a)異同名端連在公共端點(diǎn)上(b)去耦等效電路圖8-15耦合電感及其去耦等效電路8.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五對含有耦合電感的電路，若是正弦穩(wěn)態(tài)電路，可用相量法進(jìn)行分析，也可在時域內(nèi)進(jìn)行分析。在列電壓方程，要注意耦合電感上有互感電壓。也可靈活應(yīng)用上一節(jié)中得到的結(jié)論進(jìn)行分析。在這一節(jié)中主要通過幾個實(shí)例來分析含有耦合電感的電路。8.3對含耦合電感的電路分析第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五圖8-16例8-2電路8.3對含耦合電感的電路分析例8-2求圖8-16(a)所示電路的輸入阻抗。解：利用去耦T形等效變換，得到圖1(b)的等效電路。

容易得到電路的輸入阻抗為：第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五圖8-17例11-3電路8.3對含耦合電感的電路分析例8-3試列出求解圖8-17電路中的電流方程。

解：利用去耦模型，得到圖8-18的等效電路。

圖8-18圖8-17電路的去耦等效電路第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

圖8-18圖8-17電路的去耦等效電路

依KVL列兩個回路的電壓方程，依KCL定律列節(jié)點(diǎn)a的電流方程，得到：8.3對含耦合電感的電路分析第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五例8-4電路如圖8-19所示。已知L1=L2=10，M=5，R1=R2=6，Us=6V，求其戴維南等效電路。圖8-19例11-4電路8.3對含耦合電感的電路分析解：依據(jù)同名端的定義，電感L2和電阻R2的電壓方向如圖8-19所示。首先計(jì)算電路的開路電壓。第三十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五用去耦等效電路求，將電壓源短路，得到如圖所示的去耦等效電路。則：8.3對含耦合電感的電路分析計(jì)算從ab端看進(jìn)去的等效阻抗Zo：電路的戴維南等效電路如圖下所示。第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五例8-5用受控電壓源法和去耦等效法，求圖8-21中耦合線圈的去耦等效電路。圖8-21例8-5電路8.3對含耦合電感的電路分析解：用兩種方法對圖8-21的耦合電感去耦，可使含有它們的電路計(jì)算更簡單明了。但要注意，要一對一對線圈去耦。第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

用受控電壓源法得到的等效電路如圖8-22所示。圖8-22受控電壓源法得到的等效電路8.3對含耦合電感的電路分析第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

圖8-23T變換得到的去耦等效電路8.3對含耦合電感的電路分析用T變換去耦法得到的去耦等效電路如圖8-22所示。第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五變壓器是電子、電力和電器設(shè)備中常用的器件。如：在電力系統(tǒng)中，輸送一定功率的電能。在電力系統(tǒng)中，輸送一定功率的電能時，使用變壓器可以減少線路上的電能損失，并減小導(dǎo)線截面，節(jié)約有色金屬。在發(fā)電站的交流發(fā)電機(jī)因絕緣的問題發(fā)出的電壓不能太高，要用升壓變壓器將發(fā)電機(jī)發(fā)出的電壓升高，然后再輸送出去。在用戶方面電壓又不宜太高，太高就不安全，所以又須用降壓變壓器把電壓降低，供給用戶使用。

8.4空心變壓器通常用電設(shè)備所需的電壓數(shù)值是多種多樣的。例如：機(jī)床用的三相交流電動機(jī)，一般用220V的電壓；機(jī)床上的照明燈，一般使用36V的安全電壓。這就需用變壓器把電網(wǎng)電壓變換成適合各種設(shè)備正常工作的電壓。第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五在實(shí)際工作中，除用變壓器變換電壓外，在各種儀器、設(shè)備上還廣泛應(yīng)用變壓器的工作原理來完成某些特殊任務(wù)。例如焊接用的電焊變壓器；冶煉金屬用的電爐變壓器；整流裝置用的整流變壓器；輸出電壓可以調(diào)節(jié)的自耦變壓器、感應(yīng)調(diào)壓器；供測量高電壓和大電流用的電壓互感器、電流互感器等。在電子電路中，變壓器還用來變換阻抗。不同種類的變壓器，機(jī)構(gòu)形狀雖然各有特點(diǎn)，但其工作原理基本上是一樣的。

8.4空心變壓器第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五變壓器通常由兩個耦合線圈圍繞在同一個芯子上利用電磁感應(yīng)原理制作而成。其中一個線圈與電源相連，稱為初級線圈，另一個線圈與負(fù)載相連，稱為次級線圈。8.4空心變壓器一、空心變壓器的電路模型空心變壓器的芯子是由非鐵磁性材料做成，例如塑料、木材、或心子是空的，只有空氣。這類變壓器常作為收音機(jī)和電視中的元件。第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

圖8-24空心變壓器的電路模型在正弦穩(wěn)態(tài)下，對圖中的兩網(wǎng)孔列KVL方程，得到：8.4空心變壓器圖8-24中，設(shè)初級線圈的輸入電壓是正弦電壓，R1，R2是線圈的電阻，ZL是負(fù)載設(shè)Z11=R1+jL1，為初級回路自阻抗，Z22=R2+jL2+ZL，為次級回路自阻抗，ZM=jM，由上面的方程可到：第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

8.4空心變壓器第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

從電源端看進(jìn)去的輸入阻抗為：令

ZR是次級回路的阻抗通過互感反映在初級回路中的等效阻抗，稱為反映阻抗。

8.4空心變壓器二、變壓器的反映阻抗第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

由上式可以得到：反映阻抗與耦合電感的同名端無關(guān)。若次級回路是閉合的，初級回路中除了Z11自阻抗外，還增加了反映阻抗。即：次級回路對初級回路的影響是由反映阻抗來體現(xiàn)的，它是很重要的一個性質(zhì)。圖8-25是初級回路的等效電路。圖8-25空心變壓器的初級等效電路模型8.4空心變壓器第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五例8-6在圖8-26的電路中，試計(jì)算初級回路的輸入阻抗和電流。已知Z1=60-j100，Z2=30+j40，ZL=80+j60。圖8-26例11-7圖8.4空心變壓器解：第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五初級回路的電流為：8.4空心變壓器圖8-26例11-7圖第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五將實(shí)際變壓器理想化，要滿足的三個條件：8.5理想變壓器理想變壓器是實(shí)際鐵心變壓器的理想化模型。設(shè)變壓器電路的初級線圈的匝數(shù)為N1，次級線圈的匝數(shù)為N2N1/N2=n變壓器的變比1、初級和次級線圈無電阻損耗，即R1=0=R2；2、耦合系數(shù)k=1，即全耦合；3、線圈的感抗為無限大，即L1、L2、M。第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五圖8-27是理想變壓器的電路模型如圖所示：圖8-27理想變壓器的電路模型8.5理想變壓器現(xiàn)分析它的回路電流、電壓之間的關(guān)系：初、次級線圈的伏安關(guān)系：第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五得：8.5理想變壓器圖8-27理想變壓器的電路模型因?yàn)槭侨詈?，k=1，所以

，因此有：第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

因?yàn)槔硐胱儔浩髌魇侨詈?。全耦合磁通分布如圖8-28所示，有：11=21，22=12。8.5理想變壓器圖8-28全耦合示意圖

因?yàn)樵诔跫壓痛渭壘€圈端口感應(yīng)電壓與磁通的關(guān)系為：

第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

因此初、次級端口電壓的關(guān)系：且有：8.5理想變壓器因?yàn)椋旱玫剑阂驗(yàn)?，所以有?/p>

第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五8.5理想變壓器總結(jié):

(1）若次級線圈回路中是開路的，則初級線圈回路也沒有電流。這與空心變壓器是不同的。（2）理想變壓器是只通過一個常數(shù)參數(shù)n（變壓器變比或匝數(shù)比）描述的電路，而不是通過L1、L2和M參數(shù)，因此理想變壓器是一靜態(tài)元件。第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

若理想變壓器的同名端的配置如圖8-28所示，則變壓器的電流、電壓關(guān)系為：圖8-29理想變壓器的電路模型8.5理想變壓器注意：初級線圈回路和次級線圈回路的端口參考電壓、電流的定義方向不同，同名端的配置不同，得到的電壓、電流的關(guān)系表達(dá)式是不同的。給出上述兩種情況，其他情況自己思考。第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五由上面的式子可以得到：即：理想變壓器既不消耗能量也不儲存能量。若次級線圈回路的能量是通過初級回路輸出的，則初級線圈輸入的功率通過變壓器可全部傳送給次級回路的負(fù)載。8.5理想變壓器第五十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

圖8-29的理想變壓器，次級回路接有負(fù)載ZL時，從初級端看的等效阻抗為：8.5理想變壓器圖8-29理想變壓器的電路模型可見理想變壓器除還有改變阻抗的性質(zhì)。利用這一性質(zhì)可使變壓器次級端接的負(fù)載得到最大功率。例如，在收音機(jī)中將變壓器接在功率放大器和揚(yáng)聲器之間，利用的就是變壓器的變阻抗性質(zhì)。第五十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五圖8-30例11-7圖8.5理想變壓器和輸出電壓。例8-7在圖8-30所示電路中，求電流解：次級回路的電阻折合到初級中的等效電阻為：第五十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五從電源端看的輸入電阻為：電流：8.5理想變壓器依據(jù)理想變壓器的性質(zhì)，得到：第五十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五例8-8已知由理想變壓器組成的電路如圖8-31所示。求輸入等效阻抗。圖8-31例8-8圖8.5理想變壓器解：依據(jù)理想變壓器的性質(zhì)，可得：負(fù)載的電流為：次級線圈的電流為：第五十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五

初級線圈的電流為：電路的等效電阻為：8.5理想變壓器圖8-31例8-8圖第六十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期五例8-9圖11-32是用理想變壓器給家庭供電的電路示意圖。已知負(fù)載的分布是：100W的燈泡照明8個，350W的電視和15KW的廚房電器。若次級線圈匝數(shù)是72，計(jì)算初級線圈的匝數(shù)和初級線圈的電流Ip。圖8-32例8-9圖8.5理想變壓器解：依據(jù)理想變壓器的性質(zhì)，得初級線圈的匝數(shù)為：因?yàn)樽儔浩鞑幌暮蛢Υ婺芰浚杂校旱诹豁?，共六十九頁，編輯?023年，星期五若將變壓器耦合系數(shù)近似為k=1，但電感L1、L2和M是有限值，稱這樣的變壓器為全耦合變壓器。8.6全耦合變壓器如前所述，在要求不高或允許存在誤差的情況下，可將實(shí)際鐵心變壓器抽象為理想變壓器。例如電子設(shè)備中的電源變壓器。對全耦合變壓器，仍有：因?yàn)椋核裕旱诹?，共六十九頁，編輯?023年，星期五

由上式：初級線圈的電流分為兩部分，一部分是電感不為無窮大時產(chǎn)生的電流，相當(dāng)于變壓器負(fù)載開路時在初級線圈里的