結(jié)構(gòu)力學(xué)穩(wěn)定理論課件

結(jié)構(gòu)力學(xué)穩(wěn)定理論課件第一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五穩(wěn)定計算最基本最重要的方法靜力法：考慮臨界狀態(tài)的靜力特征。（平衡形式的二重性）能量法：考慮臨界狀態(tài)的能量特征。（勢能有駐值，位移有非零解）PlABk要點是利用臨界狀態(tài)平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外尋找新的平衡位置，列平衡方程，由此求臨界荷載。lθ=0，原始平衡θ≠0，新平衡形式特征方程（穩(wěn)定方程）臨界荷載MA=kθ

確定體系變形形式(新的平衡形式)的獨立位移參數(shù)的數(shù)目即穩(wěn)定體系的自由度.PAB轉(zhuǎn)動剛度系數(shù)kB′λθEI=∞1、靜力法對于具有n個自由度的結(jié)構(gòu)，新的平衡形式需要n個獨立的位移參數(shù)確定，在新的平衡形式下也可列出n個獨立的平衡方程，它們是以n個獨立的位移參數(shù)為未知量的齊次代數(shù)方程組。根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征，該齊次方程組除零解外（對應(yīng)于原有平衡形式），還應(yīng)有非零解（對應(yīng)于新的平衡形式），故應(yīng)使方程組的系數(shù)行列式為零，D=0即為穩(wěn)定方程，從穩(wěn)定方程求出的最小根即為臨界荷載Pcr。第二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五例1：圖示體系中AB、BC、CD各桿為剛性桿。使用兩種方法求其臨界荷載。lllPkkABCDPkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）靜力法設(shè)變形狀態(tài)求支座反力列變形狀態(tài)的平衡方程（a）如果系數(shù)行列式=0y1，y2不為零，對應(yīng)新的平衡形式。ABCD1-1對稱問題可利用對稱性做。P第三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五2、能量法靜力法對等截面壓桿的穩(wěn)定分析較為簡單，而對變截面桿、有軸向分布荷載作用的桿就較為麻煩。也可從穩(wěn)定與能量的關(guān)系來分析穩(wěn)定性。剛性小球運動穩(wěn)定性與能量的關(guān)系設(shè)靜止點A、B、C點Π=0ABCA點為穩(wěn)定平衡，偏離A點δΠ＞０其勢能將增加，故知穩(wěn)定平衡位置的勢能為最小。B點為隨遇平衡，偏離B點δΠ=０勢能不變。C點為不穩(wěn)定平衡，偏離C點δΠ＜０其勢能將減小，故知不穩(wěn)定平衡位置的勢能為最大。第四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五

對于彈性變形體系，其穩(wěn)定性與能量的關(guān)系與剛性小球情況相似。設(shè)原始平衡狀態(tài)為零勢能點，讓體系微小偏移，荷載在位移上做功W（外力勢能UP=－W）使體系偏移，內(nèi)力在變形上產(chǎn)生變性能U，使體系恢復(fù)原位置。總勢能Π=U+UP即總勢能的增量δΠ。

如總勢能Π=U+UP>0（δΠ>0），體系能恢復(fù)原位置，平衡是穩(wěn)定的；如總勢能Π=U+UP=0（δΠ=0），體系能在任意位置平衡，平衡為中性的；如總勢能Π=U+UP<0（δΠ<0），體系不能恢復(fù)原位置，平衡是不穩(wěn)定的。

用能量法求臨界荷載，依據(jù)于臨界狀態(tài)的平衡條件，它等價于勢能駐值原理：彈性體系在臨界狀態(tài)，其總勢能為駐值，即δΠ=0或：Π=0（單自由度體系）（用于多自由度體系）PlABklMA=kθPABB′λθEI=∞Π=0第五頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五彈性體系的平衡方程勢能駐值原理：對于彈性體系，在一切微小的可能位移中，同時又滿足平衡條件的位移（真實位移）使結(jié)構(gòu)的勢能Π為駐值，即：δΠ=0,Π=應(yīng)變能U+外力勢能UPMA=kθ22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=kθ彈性應(yīng)變能荷載勢能:應(yīng)用勢能駐值條件:位移有非零解得：PlABkB′λθEI=∞單自由度體系也可由Π=0解得：第六頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五總勢能是位移θ的二次函數(shù)，1）P<k/l，當(dāng)θ≠0，Π恒大于零（Π為正定）(即U>UP表示體系具有足夠的應(yīng)變能克服荷載勢能，使壓桿恢復(fù)到原有平衡位置)當(dāng)θ=0，Π為極小值0。對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實的位移使Π為極小值2）P>k/l，當(dāng)θ≠0，Π恒小于零（Π為負定）(即U<UP表示體系缺少足夠的應(yīng)變能克服荷載勢能，壓桿不能恢復(fù)到原有位置)。當(dāng)θ=0，Π為極大值0。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3）P=k/l

，當(dāng)θ為任意值時，Π恒等于零(即U=UP)。體系處于中性平衡（臨界狀態(tài)）這時的荷載稱為臨界荷載Pcr=k/l

。θΠP<PcrθΠP>PcrθΠP=Pcr結(jié)論：1）當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，其總勢能必為最小。2）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢能為駐值δΠ=0

，且位移有非零解。即在荷載達到臨界值前后，總勢能由正定過渡到非正定。3）如以原始平衡位置作為參考狀態(tài)，當(dāng)體系處于中性平衡P=Pcr

時，必有總勢能=0。對于多自由度體系，結(jié)論仍然成立。第七頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五Pkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位置各桿端的相對水平位移)(1222121+-=yyyyl])([212221221+-+=\yyyyllD點的水平位移彈性支座應(yīng)變能:)(22221+=yykU荷載勢能:)(222121+--=-=yyyylPPUPl體系總勢能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPP勢能駐值條件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=??=??yyPP以后的計算步驟同靜力法能量法步驟:①給出新的平衡形式;②寫出總勢能表達式;③建立勢能駐值條件;④應(yīng)用位移有非零解的條件,得出特征方程;⑤解出特征值,其中最小的即臨界荷載Pcr。勢能駐值條件等價于以位移表示的平衡方程。第八頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五體系總勢能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPP總勢能Π是位移y1、y2的對稱實數(shù)二次型。1）如果P<kl/3=Pcr，Π是正定的。5）如果kl/3<P<kl，Π是不定的。2）如果P=kl/3=Pcr，Π是半正定的（當(dāng)y1=－y2時，Π=0）。4）如果P=kl，Π是半負定的（當(dāng)y1=y2時，Π=0）。3）如果P>kl，Π是負定的。由此可見，多自由度體系在臨界狀態(tài)的能量特征仍然是：在荷載達到臨界值的前后，勢能Π由正定過渡到非正定。（或說：勢能達駐值，位移有非零值）非正定第九頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五PPllABCk例2：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。1、靜力法：兩個自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解：求失穩(wěn)曲線：實際失穩(wěn)曲線只是理論上存在的失穩(wěn)曲線第十頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五2、能量法：外力勢能：PPllABCk2qk()21qq-kλ應(yīng)變能：總勢能：根據(jù)勢能駐值條件：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：以下計算同靜力法。第十一頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五例3：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。兩個自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP第十二頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五例3：用能量法求圖示體系的臨界荷載。兩個自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。求變形能和外力勢能：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP當(dāng)桿件上無外荷載作用時，桿端力的功=變形能。第十三頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五P例4：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。EI=∞兩個自由度，取Δ1Δ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’第十四頁，共十六頁，編輯于2023年，星期五1-1P例4：用能量法求圖示體系的臨界荷載。EI=∞兩個自由度，取Δ1Δ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’求變形能和外力勢能：第十五