陜西省2014年中考數(shù)學(xué)試卷(解析版)

-PAGE4-2014年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）（2014?陜西）4的算術(shù)平方根是（）A．﹣2B．2C．±2D．16考點：算術(shù)平方根．分析：根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行解答即可．解答：解：∵22=4，∴4的算術(shù)平方根是2．故選B．點評：本題考查了算術(shù)平方根的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2014?陜西）如圖是一個正方體被截去一個直三棱柱得到的幾何體，則該幾何體的左視圖是（）A．B．C．D．考點：簡單幾何體的三視圖；截一個幾何體．分析：根據(jù)三視圖的特點，知道左視圖從圖形的左邊向右邊看，看到一個正方形的面，在面上有一條實線，得到結(jié)果．解答：解：左視圖從圖形的左邊向右邊看，看到一個正方形的面，在面上有一條實線，故選：A．點評：本題考查空間圖形的三視圖，本題是一個基礎(chǔ)題，正確把握三視圖觀察角度是解題關(guān)鍵．3．（3分）（2014?陜西）若點A（﹣2，m）在正比例函數(shù)y=﹣x的圖象上，則m的值是（）A．B．﹣C．1D．﹣1考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．分析：利用待定系數(shù)法代入正比例函數(shù)y=﹣x可得m的值．解答：解：∵點A（﹣2，m）在正比例函數(shù)y=﹣x的圖象上，∴m=﹣×（﹣2）=1，故選：C．點評：此題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點必能滿足解析式．4．（3分）（2014?陜西）小軍旅行箱的密碼是一個六位數(shù)，由于他忘記了密碼的末位數(shù)字，則小軍能一次打開該旅行箱的概率是（）A．B．C．D．考點：概率公式．分析：由一共有10種等可能的結(jié)果，小軍能一次打開該旅行箱的只有1種情況，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵一共有10種等可能的結(jié)果，小軍能一次打開該旅行箱的只有1種情況，∴小軍能一次打開該旅行箱的概率是：．故選A．點評：此題考查了概率公式的應(yīng)用．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．5．（3分）（2014?陜西）把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（）9．（3分）（2014?陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，對角線AC=6．若過點A作AE⊥BC，垂足為E，則AE的長為（）A．4B．C．D．5考點：菱形的性質(zhì)．分析：連接BD，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AO=AC，然后根據(jù)勾股定理計算出BO長，再算出菱形的面積，然后再根據(jù)面積公式BC?AE=AC?BD可得答案．解答：解：連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，∴∠AOB=90°，∵AC=6，∴AO=3，∴B0==4，∴DB=8，∴菱形ABCD的面積是×AC?DB=×6×8=24，∴BC?AE=24，AE=，故選：C．點評：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)面積，關(guān)鍵是掌握菱形的對角線互相垂直且平分．10．（3分）（2014?陜西）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列結(jié)論中正確的是（）A．c＞﹣1B．b＞0C．2a+b≠0D．9a+c＞3b考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：由拋物線與y軸的交點在點（0，﹣1）的下方得到c＜﹣1；由拋物線開口方向得a＞0，再由拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)得a、b異號，即b＜0；由于拋物線過點（﹣2，0）、（4，0），根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線對稱軸為直線x=﹣=1，則2a+b=0；由于當(dāng)x=﹣3時，y＜0，所以9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．解答：解：∵拋物線與y軸的交點在點（0，﹣1）的下方．∴c＜﹣1；∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴x=﹣＞0，∴b＜0；∵拋物線過點（﹣2，0）、（4，0），∴拋物線對稱軸為直線x=﹣=1，∴2a+b=0；∵當(dāng)x=﹣3時，y＜0，∴9a﹣3b+c＞0，即9a+c＞3b．故選D．點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=﹣；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b2﹣4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)b2﹣4ac=0，拋物線與x軸有一個交點；當(dāng)b2﹣4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點．二、填空題（共2小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2014?陜西）計算：=9．考點：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．專題：計算題．分析：根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．解答：解：原式===9．故答案為：9．點評：本題考查的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，即負(fù)整數(shù)指數(shù)冪等于該數(shù)對應(yīng)的正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)．12．（3分）（2014?陜西）因式分解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=（x﹣y）（m+n）．考點：因式分解-提公因式法．分析：直接提取公因式（x﹣y），進(jìn)而得出答案．解答：解：m（x﹣y）+n（x﹣y）=（x﹣y）（m+n）．故答案為：（x﹣y）（m+n）．點評：此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選做的第一題計分.13．（3分）（2014?陜西）一個正五邊形的對稱軸共有5條．考點：軸對稱的性質(zhì)．分析：過正五邊形的五個頂點作對邊的垂線，可得對稱軸．解答：解：如圖，正五邊形的對稱軸共有5條．故答案為：5．點評：本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟記正五邊形的對稱性是解題的關(guān)鍵．14．（2014?陜西）用科學(xué)計算器計算：+3tan56°≈10.02（結(jié)果精確到0.01）考點：計算器—三角函數(shù)；計算器—數(shù)的開方．分析：先用計算器求出′、tan56°的值，再計算加減運(yùn)算．解答：解：≈5.5678，tan56°≈1.4826，則+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02故答案是：10.02．點評：本題考查了計算器的使用，要注意此題是精確到0.01．15．（3分）（2014?陜西）如圖，在正方形ABCD中，AD=1，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△A′BD′，此時A′D′與CD交于點E，則DE的長度為2﹣．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．分析：利用正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′D=A′E，進(jìn)而利用勾股定理得出BD的長，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DE的長即可．解答：解：由題意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，DE==2﹣．故答案為：2﹣．點評：此題主要考查了正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出A′D的長是解題關(guān)鍵．16．（3分）（2014?陜西）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一個反比例函數(shù)圖象上的兩點，若x2=x1+2，且=+，則這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=．考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．分析：設(shè)這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=，將P1（x1，y1），P2（x2，y2）代入得x1?y1=x2?y2=k，所以=，=，由=+，得（x2﹣x1）=，將x2=x1+2代入，求出k=4，得出這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=．解答：解：設(shè)這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=，∵P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一個反比例函數(shù)圖象上的兩點，∴x1?y1=x2?y2=k，∴=，=，∵=+，∴=+，∴（x2﹣x1）=，∵x2=x1+2，∴×2=，∴k=4，∴這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=．故答案為y=．點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．同時考查了式子的變形．17．（3分）（2014?陜西）如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是4．考點：垂徑定理；圓周角定理．專題：計算題．分析：過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據(jù)圓周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，則△OAB為等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，而當(dāng)M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點到AB的距離最大時，△NAB的面積最大，即M點運(yùn)動到D點，N點運(yùn)動到E點，所以四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．解答：解：過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB為等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，∴當(dāng)M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點到AB的距離最大時，△NAB的面積最大，即M點運(yùn)動到D點，N點運(yùn)動到E點，此時四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB?CD+AB?CE=AB（CD+CE）=AB?DE=×2×4=4．故答案為4．點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱藞A周角定理．四、解答題（共9小題，計72分）18．（5分）（2014?陜西）先化簡，再求值：﹣，其中x=﹣．考點：分式的化簡求值．專題：計算題．分析：原式通分并利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結(jié)果，將x的值代入計算即可求出值．解答：解：原式=﹣==，當(dāng)x=﹣時，原式==．點評：此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．19．（6分）（2014?陜西）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D在邊AB上，使DB=BC，過點D作EF⊥AC，分別交AC于點E，CB的延長線于點F．求證：AB=BF．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題．分析：根據(jù)EF⊥AC，得∠F+∠C=90°，再由已知得∠A=∠F，從而AAS證明△FBD≌△ABC，則AB=BF．解答：證明：∵EF⊥AC，∴∠F+∠C=90°，∵∠A+∠C=90°，∴∠A=∠F，在△FBD和△ABC中，，∴△FBD≌△ABC（AAS），∴AB=BF．點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．20．（7分）（2014?陜西）根據(jù)《2013年陜西省國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》提供的大氣污染物（A﹣二氧化硫，B﹣氫氧化物，C﹣化學(xué)需氧量，D﹣氨氮）排放量的相關(guān)數(shù)據(jù)，我們將這些數(shù)據(jù)用條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖統(tǒng)計如下：根據(jù)以上統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：（1）補(bǔ)全上面的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖；（2）國務(wù)院總理李克強(qiáng)在十二屆全國人大二次會議的政府工作報告中強(qiáng)調(diào)，建設(shè)美好家園，加大節(jié)能減排力度，今年二氧化硫、化學(xué)需氧量的排放量在去年基礎(chǔ)上都要減少2%，按此指示精神，求出陜西省2014年二氧化硫、化學(xué)需氧量的排放量供需減少約多少萬噸？（結(jié)果精確到0.1）考點：條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖．專題：圖表型．分析：（1）用A的排放量除以所占的百分比計算求出2013年總排放量，然后求出C的排放量，再根據(jù)各部分所占的百分比之和為1求出D的百分比，乘以總排放量求出D的排放量，然后補(bǔ)全統(tǒng)計圖即可；（2）用A、C的排放量乘以減少的百分比計算即可得解．解答：解：（1）2013年總排放量為：80.6÷37.6%≈214.4萬噸，C的排放量為：214.4×24.2%≈51.9萬噸，D的百分比為1﹣37.6%﹣35.4%﹣24.2%=2.8%，排放量為214.4×2.8%≈6.0萬噸；（2）由題意得，（80.6+51.9）×2%≈2.7萬噸，答：陜西省2014年二氧化硫、化學(xué)需氧量的排放量供需減少約2.7萬噸．點評：本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運(yùn)用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?1．（8分）（2014?陜西）某一天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，現(xiàn)在河岸邊選擇了一點B（點B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點D所確定的直線垂直于河岸）．①小明在B點面向樹的方向站好，調(diào)整帽檐，使視線通過帽檐正好落在樹的底部點D處，如圖所示，這時小亮測的小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；②小明站在原地轉(zhuǎn)動180°后蹲下，并保持原來的觀察姿態(tài)（除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變），這時視線通過帽檐落在了DB延長線上的點E處，此時小亮測得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米．根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你求出河寬BD是多少米？考點：相似三角形的應(yīng)用．分析：根據(jù)題意求出∠BAD=∠BCE，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似求出△BAD和△BCE相似，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．解答：解：由題意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，即=，解得BD=13.6米．答：河寬BD是13.6米．點評：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，讀懂題目信息得到兩三角形相等的角并確定出相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．22．（8分）（2014?陜西）小李從西安通過某快遞公司給在南昌的外婆寄一盒櫻桃，快遞時，他了解到這個公司除收取每次6元的包裝費(fèi)外，櫻桃不超過1kg收費(fèi)22元，超過1kg，則超出部分按每千克10元加收費(fèi)用．設(shè)該公司從西安到南昌快遞櫻桃的費(fèi)用為y（元），所寄櫻桃為x（kg）．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知小李給外婆快寄了2.5kg櫻桃，請你求出這次快寄的費(fèi)用是多少元？考點：一次函數(shù)的應(yīng)用．分析：（1）根據(jù)快遞的費(fèi)用=包裝費(fèi)+運(yùn)費(fèi)由分段函數(shù)就，當(dāng)0＜x≤1和x＞1時，可以求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）的解析式可以得出x=2.5＞1代入解析式就可以求出結(jié)論．解答：解：（1）由題意，得當(dāng)0＜x≤1時，y=22+6=28；當(dāng)x＞1時y=28+10（x﹣1）=10x+18；∴y=；（2）當(dāng)x=2.5時，y=10×2.5+18=43．∴這次快寄的費(fèi)用是43元．點評：本題考查了分段函數(shù)的運(yùn)用，一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由自變量的值求函數(shù)值的運(yùn)用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．23．（8分）（2014?陜西）小英與她的父親、母親計劃外出旅游，初步選擇了延安、西安、漢中、安康四個城市，由于時間倉促，他們只能去其中一個城市，到底去哪一個城市三個人意見不統(tǒng)一，在這種情況下，小英父親建議，用小英學(xué)過的摸球游戲來決定，規(guī)則如下：①在一個不透明的袋子中裝一個紅球（延安）、一個白球（西安）、一個黃球（漢中）和一個黑球（安康），這四個球除顏色不同外，其余完全相同；②小英父親先將袋中球搖勻，讓小英從袋中隨機(jī)摸出一球，父親記錄下其顏色，并將這個球放回袋中搖勻，然后讓小英母親從袋中隨機(jī)摸出一球，父親記錄下它的顏色；③若兩人所摸出球的顏色相同，則去該球所表示的城市旅游，否則，前面的記錄作廢，按規(guī)則②重新摸球，直到兩人所摸出求的顏色相同為止．按照上面的規(guī)則，請你解答下列問題：（1）已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母親隨機(jī)各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？（2）已知小英母親的理想旅游城市是漢中，小英和母親隨機(jī)各摸球一次，至少有一人摸出黃球的概率是多少？考點：列表法與樹狀圖法．分析：（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與小英和母親隨機(jī)各摸球一次，均摸出白球的情況，再利用概率公式即可求得答案；（2）由（1）得：共有16種等可能的結(jié)果，小英和母親隨機(jī)各摸球一次，至少有一人摸出黃球的有7種情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：（1）畫樹狀圖得：∵共有16種等可能的結(jié)果，小英和母親隨機(jī)各摸球一次，均摸出白球的只有1種情況，∴小英和母親隨機(jī)各摸球一次，均摸出白球的概率是：；（2）由（1）得：共有16種等可能的結(jié)果，小英和母親隨機(jī)各摸球一次，至少有一人摸出黃球的有7種情況，∴小英和母親隨機(jī)各摸球一次，至少有一人摸出黃球的概率是：．點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．24．（8分）（2014?陜西）如圖，⊙O的半徑為4，B是⊙O外一點，連接OB，且OB=6，過點B作⊙O的切線BD，切點為D，延長BO交⊙O于點A，過點A作切線BD的垂線，垂足為C．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）求AC的長．考點：切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）首先連接OD，由BD是⊙O的切線，AC⊥BD，易證得OD∥AC，繼而可證得AD平分∠BAC；（2）由OD∥AC，易證得△BOD∽△BAC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AC的長．解答：（1）證明：連接OD，∵BD是⊙O的切線，∴OD⊥BD，∵AC⊥BD，∴OD∥AC，∴∠2=∠3，∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，即AD平分∠BAC；（2）解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴，∴，解得：AC=．點評：此題考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．25．（10分）（2014?陜西）已知拋物線C：y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）和B（0，3）兩點，將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N．（1）求拋物線C的表達(dá)式；（2）求點M的坐標(biāo)；（3）將拋物線C平移到C′，拋物線C′的頂點記為M′，它的對稱軸與x軸的交點記為N′．如果以點M、N、M′、N′為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；平行四邊形的性質(zhì)．分析：（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）兩點代入拋物線y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根據(jù)（1）中拋物線的解析式可得出其頂點坐標(biāo)；（3）根據(jù)平行四邊形的定義，可知有四種情形符合條件，如解答圖所示．需要分類討論．解答：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0）和B（0，3）兩點，∴，解得，故此拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由（1）知拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3，∴當(dāng)x=﹣=﹣=﹣1時，y=4，∴M（﹣1，4）．（3）由題意，以點M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形的邊MN的對邊只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN?NN′=16，∴NN′=4．i）當(dāng)M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是?MNN′M′時，將拋物線C向左或向右平移4個單位可得符合條件的拋物線C′；ii）當(dāng)M、N、M′、N′為頂點的平行四邊形是?MNM′N′時，將拋物線C先向左或向右平移4個單位，再向下平移8個單位，可得符合條件的拋物線C′．∴上述的四種平移，均可得到符合條件的拋物線C′．點評：本題考查了拋物線的平移變換、平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點．第（3）問需要分類討論，避免漏解．26．（12分）（2014?陜西）問題探究（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC邊上存在點P，使△APD為等腰三角形，那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形△APD，并求出此時BP的長；（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點，當(dāng)AD=6時，BC邊上存在一點Q，使∠EQF=90°，求此時BQ的長；問題解決（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，問在線段CD上是否存在點M，使∠AMB=60°？若存在，請求出符合條件的DM的長，若不存在，請說明理由．考點：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；特殊角的三角函數(shù)值．專題：壓軸題；存在型．分析：（1）由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討論，運(yùn)用三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題．（2）以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點Q唯一，然后通過添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識即可求出BQ長．（3）要滿足∠AMB=60°，可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點就是滿足條件的點，然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，就可算出符合條件的DM長．解答：解：（1）①作AD的垂直平分線交BC于點P，如圖①，則PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°．∵PA=PD，AB=DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP=CP．∵BC=4，∴BP=CP=2．②以點D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點P′，如圖①，．則DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．∵AB=3，BC=4，∴DC=3，DP′=4．∴CP′==．∴BP′=4﹣．③點A為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點P″，如圖①，則AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=．綜上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA=PD，則BP=2；若DP=DA，則BP=4﹣；若AP=AD，則BP=．（2）∵E