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文檔簡介
一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)二、重要概率分布的方差三、切比雪夫不等式四、矩的概念五、小結(jié)第4.2節(jié)
方
差1.
方差的定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,若E{[X
-E(X
)]2
}存在,則稱E{[X
-E(X
)]2
}為X
的方差,記為D(X
)或s
2
(X
),即D(
X
)
=
s
2
(
X
)
=
E{[
X
-
E(
X
)]2
}.稱
D(
X
)
為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差
,
記為σ(
X
).一、隨機(jī)變量方差的概念及性質(zhì)2.
方差的意義方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果
D(X)值小,則表示X
的取值比較集中,以E(X)作為隨機(jī)變量的代表性好.k
k-
E(
X
)]2
p
,D(
X
)
=
[
x3.
隨機(jī)變量方差的計(jì)算(1)
利用定義計(jì)算離散型隨機(jī)變量的方差￥k
=1其中
P{
X
=
xk}
=
pk
,
k
=
1,2,是
X
的分布律.連續(xù)型隨機(jī)變量的方差[
x
-
E(
X
)]2
p(
x)
d
x,D(
X
)
=￥-￥其中p(x)為X的概率密度.D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2
.證明D(
X
)
=
E{[
X
-
E(
X
)]2
}=
E{
X
2
-
2
XE(
X
)
+[E(
X
)]2
}=
E(
X
2
)
-
2E(
X
)E(
X
)
+[E(
X
)]2=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2=
E(
X
2
)
-
E
2
(
X
).(2)
利用公式計(jì)算求D(X
).-1
￡
x<
0,0
￡
x<
1,其它.p(
x)
=
-
x,10,1+
x,設(shè)隨機(jī)變量X
具有概率密度解
E(
X
)
=x(1
-x(1
+
x)d
x
+-1100x)d
x=
0,例1-1102x
(1
-
x)d
x02x
(1
+
x)d
x
+2E(
X
)
=6=
1
,于是D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]221
1=
6
-
0
=
6
.證明D(C
)
=
E(C
2
)
-[E(C
)]2
=
C
2
-
C
2
=
0.4.
方差的性質(zhì)(1)設(shè)C
是常數(shù),則有D(C
)=0.(2)設(shè)X
是一個(gè)隨機(jī)變量,C
是常數(shù),則有D(CX
)
=
C
2
D(
X
).證明D(CX
)
=
E{[CX
-
E(CX
)]2
}=
C
2
E{[
X
-
E(
X
)]2
}=
C
2
D(
X
).(3)
設(shè)
X,
Y
相互獨(dú)立,
D(X),
D(Y)
存在,
則D(
X
–
Y
)
=
D(
X
)
+
D(Y
).證明D(
X
–
Y
)
=
E{[(
X
–
Y
)
-
E(
X
–
Y
)]2
}=
E{[
X
-
E(
X
)]
–
[Y
-
E(Y
)]}2=
E[
X
-
E(
X
)]2
+
E[Y
-
E(Y
)]2–
2E{[
X
-
E(
X
)][Y
-
E(Y
)]}=
D(
X
)
+
D(Y
).推廣若
X1
,
X
2
,,
Xn
相互獨(dú)立,則有D(a1
X1
–
a2
X
2
–
–
an
Xn
)=
a2
D(
X
)
+
a2
D(
X
)
+
+
a2
D(
X
).1
1
2
2
n
n(4)
D(X)=0
的充要條件是X以概率1
取常數(shù)C,即P{
X
=
C
}
=
1.
其中C＝E(
X
)1.
兩點(diǎn)分布已知隨機(jī)變量X
的分布律為E(
X
)
=
1
p
+
0
q
=
pp,D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2Xp1
0p
1
-
p則有=
12
p
+
02
(1-
p)
-
p2=
pq二、重要概率分布的方差2.
二項(xiàng)分布=
0,1,2,,
n),0
<
p
<
1.n
k
P{
X
=
k}
=
pk
(1
-
p)n-k,(k則有設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,其分布律為knn-k
k
n
EX
=
k
p
(1-
p)k
=0kn-knk
=0p
(1
-
p)kn!k!(n
-
k
)!=(
n-1)-(
k
-1)k
-1p
(1
-
p)np(n
-
1)!=nk
=1=
np[
p
+
(1
-
p)]n-1=
nnpp.(
n-1)-(
k
-1)k
-1p
(1
-
p)(k
-
1)]!(k
-
1)![(n
-
1)
-nk
=1(k
-
1)![(n
-
1)
-
(k
-
1)]!(n
-
1)!=
npD(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
x)]2E(
X
2
)
=
E[
X
(
X
-
1)
+
X
]=
E[
X
(
X
-
1)]
+
E(
X
)k
knn-kp
(1
-
p)
+
npk(k
-
1)Cnk
=0=k!(n
-
k
)!kn-kp
(1
-
p)
+
npk(k
-
1)n!nk
=0=+
np=
n(n
-
1)
p2[
p
+
(1
-
p)]n-2
+
np=
(n2
-
n)
p2
+
np.D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2=
(n2
-
n)
p2
+
np
-
(np)2=
nnpp((11
--
pp)).(
n-2)-(
k
-2)k
-2p
(1
-
p)(n
-
2)!(n
-
k
)!(k
-
2)!nk
=22=
n(n
-
1)
p3.
泊松分布l
>
0.k
=
0,1,2,,e-l
,k!lk￥P{
X
=
k}
=則有E(
X
)
=
kk
=0k!lk￥k
=1
(k
-
1)!e-l
=
e-l
lk
-1lel=
le-l=
ll.設(shè)
X
~
p
(l),
且分布律為D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2E(
X
2
)
=
E[
X
(
X
-
1)
+
X
]=
E[
X
(
X
-
1)]
+
E(
X
)￥=
k(k
-
1)k
=0e-l
+
lk!lk￥k
=2lk
-2(k
-
2)!=
l
e2
-l2
-l
l2+
l
=
l
e
e
+
l=
l
+
l.所以D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2=
l2
+
l
-
l2=
ll
.泊松分布的期望和方差都等于參數(shù)l.4.
均勻分布則有-￥E(
X
)
=bxf
(
x)d
x
=
a
b
-
ax
d
x122=
11
((aa
++
bb))..0,￥f
(
x)
=
b
-
a,
a
<
x
<
b,其它.1設(shè)
X
~
U
(a,b),其概率密度為結(jié)論均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2221
a
+
b
2d
x
-
b
-
a=xba.1122((bb
--
aa))22=5.
指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量X
服從指數(shù)分布,其概率密度為其中l(wèi)>0.x
>
0,x
￡
0.0,f
(x)
=
le-lx
,則有E(
X
)
=xf
(
x)d
x
=
￥
x
le-lx
d
x￥-￥0=
1
/
l.D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2=
￥
x2
le-lx
d
x
-
1
/
l20=
2
/
l2
-
1
/
l2=
1l2指數(shù)分布的期望和方差分別為1/l
和1/l2
.6.
正態(tài)分布設(shè)
X
~
N
(
μ,σ
2
),
其概率密度為則有xf
(
x)d
xE(
X
)
=￥-￥d
xe2pσx2σ
2(
x-
μ
)21-￥-￥=σ令
x
-
μ
=
t
x
=
μ
+
σ
t,2pσ1f
(
x)
=-e
,
σ
>
0,
-
￥
<
x
<
￥
.2σ
2(
x-
μ
)2=
μμ.te
d
tσ=
μt
22t
222p2p1￥-￥-￥-￥-e
d
t
+d
xe2pσx所以
E(
X
)
=2σ2(
x-μ)21-￥-￥t222p1-(μ
+
σt)e
dt￥-￥=d
xe2pσ(
x
-
μ)22σ
2(
x-
μ
)21-￥-￥=(
x
-
μ)2
f
(
x)d
xD(
X
)
=￥-￥令x
-μ
=t,得σD(
X
)
=t
e
d
tσ2p2t
222￥-￥-2p
-
te-
2
+=-￥￥
-￥-￥e
d
tσt
22t
222p=
0
+σ
2222p
=
σσ
.正態(tài)分布的期望和方差分別為兩個(gè)參數(shù)μ
和σ
2
.分
布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布0
<
p
<
1pp(1
-
p)二項(xiàng)分布n
?
1,0
<
p
<
1npnp(1
-
p)泊松分布l
>
0ll幾何分布0
<
p
<
11/
p(1-
p)
/
p2均勻分布a
<
ba
+
b
2(b
-
a)2
12指數(shù)分布l
>
01
/
l1
/
l2正態(tài)分布μ,σ
>
0μσ
2三、切比雪夫不等式定理 設(shè)隨機(jī)變量
X
具有數(shù)學(xué)期望
E(
X
)
=
μ,方差D(X
)=σ
2
,則對(duì)于任意正數(shù)ε,不等式σ
2P{
X
-
μ
?
ε}
￡
ε2成立.證明
取連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來證明.設(shè)X
的概率密度為p(x),則有σ
2P{
X
-
μ
?
ε}
￡
ε2
.￥-￥￡
1ε2ε2(
x
-
μ)2
p(
x)
d
x
=
1
σ
2
.p(
x)
d
xε2x
-
μ
2￡
x
-
μ
?εσ
2P{
X
-
μ
?
ε}
￡ε2σ
2P{
X
-
μ
<
ε}
?
1
-
ε2
.得P{
X
-
μ
?
ε}
=
x
-
μ
?ε
p(
x)
d
xka
k=
E(
X
)存在,稱它為X
的k
階原點(diǎn)矩,簡稱k
階矩.設(shè)
X
是隨機(jī)變量,
若E(
X
k
),
k
=
1,2,記為顯然,當(dāng)k
=1時(shí)a1
=E(X
)就是X的數(shù)學(xué)期望.定義
若
E{[
X
-
E(
X
)]k
},
k
=
2,3,存在,稱它為X
的k
階中心矩.記為m
=
E(
X
-
E(
X
))kk顯然m2
=D(X
).四、矩的概念定義定義設(shè)
X
是隨機(jī)變量,
若E(
X
kY
l
),k,
l
=1,
2,存在,稱它為X
和Y的k
+l階混合矩；定義若E{[X
-E(X
)]k
[Y
-E(Y
)]l
},k,l
=
2,
3,存在,稱它為X
和Y
的k
+l階混合中心矩.五、小結(jié)k
k方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量X取值分散程度的量.
如果D(X)值大,表示X
取值分散程度大,E(X)
的代表性差;
而如果D(X)值小,
則表示X
的取值比較集中,
以E(X)
作為隨機(jī)變量的代表性好.方差的計(jì)算公式D(
X
)
=
E(
X
2
)
-[E(
X
)]2
,￥-
E(
X
)]2
p
,D(
X
)
=
[
xD(
X
)
=k
=1￥-￥[
x
-
E(
X
)]2
p(
x)
d
x.30
D(
X
–
Y
)
=
D(
X
)
+
D(Y
).20
D(CX
)=
C
2
D(
X
);3.
方差的性質(zhì)10
D(C
)
=
0;4.
切比雪夫不等式σ
2
σ
2P{
X
-
μ
?
ε}
￡
ε2
P{
X
-
μ
<
ε}
?
1
-
ε2
.5.矩是隨機(jī)變量的數(shù)字特征.隨機(jī)變量X
的數(shù)學(xué)期望E(X
)是X
的一階原點(diǎn)矩;方差為二階中心矩.E(
X
+
2)2
=
E(
X
2
+
4X
+
4)=
E(
X
2
+
4X
+
4)=
E(
X
2
)
+
4E(
X
)
+
4=
DX
+(
EX
)2
+
4EX
+
4=
5
+
32
+
4
·
3
+
4=
30.所以
E(
X
+
2)2
=
30.解例1
已知
E(
X
)
=
3,
D(
X
)
=
5,求
E(
X
+
2)2
.備份題a,b,c
的值;隨機(jī)變量Y
=e
X
的數(shù)學(xué)期望與方差.0
<
x
<
2,2
￡
x<
4,其它.p(
x)
=
cx
+
b,0,ax,設(shè)隨機(jī)量X
的概率密度為3且已知E(X
)=3,P{1
<X
<3}=4
,求:解p(
x)
d
x
=
1,(1)
因?yàn)椋?￥例2+
b)d
xx
(cxx ax
d
x
+4220=
8
a
+
56
c
+
b
=
2,3
34P{1
<
X
<
3}
=
3
,2
312a
+
5
c
+
b
=
3
,2
2
4(cx
+
b)d
x
=
3ax
d
x
+=
2a
+
6c
+
2b,cx
+
bd
xax
d
x
+20所以
1
=E(
X
)
=
2,
E(
X
)
=424解之得
a
=
1
,4b
=
1,
c
=
-
1
.2a
+
2b
+
6c
=
1,2
4
23a
+
b
+
5c
=
3
.3
3
+ +
b
=
2,8a
56c因此有=
1
(e4
-
1)2
,16得D(e
X
)=E(e2
X
)-(Ee
X
)2=
1
(e4
-
1)2
-[1
(e2
-
1)2
]2=
1
e2
(e2
-
1)2
.16
4
4x
d
x
+exxX(2)
E(e
)
=4414e
(-
1
x
+
1)d
x2204=
1
(e2
-
1)2
,x
d
x
+eE(e
X
)2
=2
x44142
xe
(-
1
x
+
1)d
x220證明因?yàn)镋(X
)==
n
+
1,.P{0
<
X
<
2(n
+1)}
?n!,
x
?
0,x
<
0.p(
x)
=
0,n
+1
xne-
x其中n
為正整數(shù),試證n設(shè)隨機(jī)變量X
的分布密度為E(
X
)
=￥-￥2xne-x
d
xn!
0x2
p(
x)d
x
=
1
￥
x2例3x
xne-
xdx
1n!xp(
x)dx
=￥￥-￥0xne-x
d
x
=
(n
+
2)(n
+1),n!
0所以
D(
X
)
=
E(
X
2
)
-
(
EX
)2=
(n
+
2)(n
+1)
-(n
+1)2
=
n
+1.又因?yàn)?/p>
P{0
<
X
<
2(n
+
1)}=
P{-(n
+1)
<
X
-(n
+1)
<
n
+1}=
P{
X
-
(n
+
1)
<
n
+
1}1
￥
x2=
1
-.n
+
1
=
n(n
+
1)2
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