2020年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國

2020年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國Ⅰ卷）理科數(shù)學(xué)（必修+選修II）參考公式：如果事件A、B互斥，則球的表面積公式為P(A+B)=P(A)+P(B)，球的體積公式為V=4/3πR3，其中R表示球的半徑。如果事件A、B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)。在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中p為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率。一、選擇題(1)求解復(fù)數(shù)3+2i與2-3i的商。解：(3+2i)/(2-3i)=(3+2i)(2+3i)/(22+32)=12+5i，故選項(xiàng)為D。(2)記cos(-80°)=k，求解tan100°的值。解：tan100°=tan(180°-80°)=tan80°=sin80°/cos80°=(1-cos280°)/cos80°=(1-k2)/k，故選項(xiàng)為B。(3)已知變量x,y滿足約束條件x+y≥0和x-y-2≤0，求解z=x-2y的最大值。解：將x+y≥0和x-y-2≤0合并得到x≥1和y≤-1/2，代入z=x-2y得到z的最大值為4，故選項(xiàng)為A。(4)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，求解a4a5a6(-4a4-2a5+2a6+4a7+8a8+16a9)的值。解：由a1a2a3=5得到a2=a1√5，a3=a1√52，以此類推得到a4=a1√53，a5=a1√5?，a6=a1√5?。同理，由a7a8a9=10得到a7=a1√10/53，a8=a1√10/5?，a9=a1√10/5?，代入得到a4a5a6(-4a4-2a5+2a6+4a7+8a8+16a9)=4，故選項(xiàng)為A。(5)已知展開式35(5)(1+2x)(1-3x)，求解其中x的系數(shù)。解：將式子展開得到-35x+70x2+105x3，故選項(xiàng)為B。(6)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有多少種？解：先計(jì)算只選A類選修課和只選B類選修課的選法，分別為C(3,3)+C(3,2)+C(3,1)=7和C(4,3)+C(4,2)+C(4,1)=11，再計(jì)算既選A類選修課又選B類選修課的選法，為C(3,1)C(4,2)+C(3,2)C(4,1)+C(3,1)C(4,1)=18，故總的選法為7+11-18=0，故選項(xiàng)為D。(7)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為-1/2，求解BCD的正弦值。解：由于BB1與平面ACD1所成角的余弦值為-1/2，故BB1與平面ACD1所成角的正弦值為√(1-(-1/2)2)=√3/2，又因?yàn)锽C=CD=1，故BCD為等腰直角三角形，故BCD的正弦值為√2/2，故選項(xiàng)為B。(8)已知a=log3(2)，b=ln2，c=5，求解a<b<c的真假。解：由于ln2<lne=1<3/2<2=log2(3)<log2(4)=2，故b<2，又因?yàn)閘og3(2)<log3(3)=1<5，故a<5，又因?yàn)?>2，故c>2，故a<b<c是成立的，故選項(xiàng)為A。(9)已知F1、F2為雙曲線C:x-y=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在C上，∠F1pF2=60°，求解P22到x軸的距離。解：設(shè)雙曲線的中心為O，焦距為f，則OF1=OF2=f，又因?yàn)椤螰1OF2=120°，故F1F2=2f√3。設(shè)P為(x,y)，則OP=√(x2-y2+1)，又因?yàn)椤螰1pF2=60°，故PF1=PF2=f/2，故(x-f)2+y2=(x+f)2+y2=f2/4，化簡(jiǎn)得到x2-y2=f2/4，代入得到(x-f)2+(x+f)2-y2=1，化簡(jiǎn)得到2x2-y2=1+f2/4=5/4，又因?yàn)镻在雙曲線上，故x2-y2=1，聯(lián)立解得到x=√(5/8)和y=√(3/8)，故P到x軸的距離為√(5/8-3/8)=√1/4=1/2，故選項(xiàng)為D。(10)已知函數(shù)f(x)=|logx|，若0<a<b且f(a)=f(b)，求解a+2b的取值范圍。解：由于f(x)=|logx|，故當(dāng)0<x<1或x>1時(shí)，f(x)=logx；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=0。又因?yàn)閒(a)=f(b)，故a和b都在(0,1)或(1,+∞)中，故a+2b>2。又因?yàn)閒(x)在(0,+∞)中單調(diào)遞增，故當(dāng)a,b都在(0,1)或(1,+∞)中時(shí)，a+2b的最小值為2+4=6；當(dāng)a在(0,1)且b在(1,+∞)中時(shí)，a+2b的最小值為2+2lnb；當(dāng)a在(1,+∞)且b在(0,1)中時(shí)，a+2b的最小值為2+2lna，故a+2b的取值范圍為[6,+∞)，故選項(xiàng)為B。(11)已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為倆切點(diǎn)，求解PA?PB的最小值。解：設(shè)PA和PB的長度分別為a和b，由于PA、PB是該圓的切線，故∠OAP=∠OBP=90°，故OP2=OA2+AP2=OB2+BP2，即1+a2=(2a)2+(2b)2=4(a2+b2)，化簡(jiǎn)得到a2+b2=1/4，故PA?PB=ab=√(a2+b2-1/4)2-1/16，由于(a2+b2-1/4)2≥0，故PA?PB≥-1/16，當(dāng)且僅當(dāng)a2+b2=1/4時(shí)取到最小值-1/16，故選項(xiàng)為D。已知在半徑為2的球面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，且AB=CD=2。求四面體ABCD的體積的最大值。填空題：13.解不等式2x2+1-x≤1的解集為{x|0≤x≤1}。14.已知α為第三象限的角，cos2α=-2/3π，則tan(α+2α)=3/4。15.直線y=1與曲線y=x2-x+a有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為(-3/16,1/4)。16.已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，a+b=acotA+bcotB且BF=2FD，則C的離心率為1/2。解答題：17.已知ABC的內(nèi)角A，B及其對(duì)邊a，證明a2=b2+c2-2bccosA。18.投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評(píng)審。若能通過兩位初審專家的評(píng)審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評(píng)審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評(píng)審，則予以錄用，否則不予錄用。設(shè)稿件能通過各初審專家評(píng)審的概率均為0.5，復(fù)審的稿件能通過評(píng)審的概率為0.3。各專家獨(dú)立評(píng)審。(I)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率為0.65。(II)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，X的分布列為{0:1/16,1:4/16,2:6/16,3:4/16,4:1/16}，期望為2。19.已知四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，SE是底面上EB的中點(diǎn)。證明：SE=2EB。P(X=0)=0.6^4=0.1296,P(X=1)=4C2*(0.4)^2*(0.6)^2=0.3456,P(X=2)=4C2*(0.4)^2*(0.6)^2=0.3456,P(X=3)=4C3*(0.4)^3*(0.6)=0.1536,P(X=4)=0.4^4=0.0256.Therefore,theexpectedvalueofXisEX=4*0.4=1.6.19.Solution1:(I)ConnectBDandtakethemidpointGofDC.ConnectBG.ThenweknowthatDG=GC=BG=1.Thus,triangleABCisarighttriangleandBCisperpendiculartoBD.Also,SDisperpendiculartoplaneABCD,soBCisperpendiculartoSD.Therefore,BCisperpendiculartoplaneBDSandtoDE.DrawBKperpendiculartoECatK.SinceplaneEDCisperpendiculartoplaneSBC,BKisperpendiculartoplaneEDCandtoDE.DEisperpendiculartoplaneSBC,soDEisperpendiculartoECandtoSB.SB=√(SD^2+DB^2)=6.DE=SD*DB^2/SB^3.EB=DB^2-DE^2.Therefore,SE=2EB.(II)SinceSA=√(6^2+26^2/3^2)=2√(13/3),SE=SB-EB=2√(13/3)-DB/√3=2√(13/3)-1/√3.SD^2+AD^2=5,AB=1,SE=2EB,andABisperpendiculartoSA,soAE=SA/3+AB=1.Also,AD=1.Thus,triangleADEisanisoscelestriangle.TakeFasthemidpointofEDandconnectAF.ThenAFisperpendiculartoDEandAF=√(AD^2-DF^2)=√(6/3).ConnectFG.ThenFGisparalleltoECandFGisperpendiculartoDE.Thus,angleAFGisthedihedralanglebetweenplanesA-DE-CandSBC.ConnectAG.AG=2andFG=√(AD^2-DF^2)=√(6/3).DG^2-DF^2=6/3.AF^2+FG^2-AG^2=4/3.Therefore,cos(angleAFG)=-1/2.Thus,thedihedralanglebetweenplanesA-DE-CandSBCis120°.Solution2:TakeDastheoriginofthecoordinatesystemandtherayDAasthepositivex-axis.EstablishaCartesiancoordinatesystemD-xyzasshowninthefigure.LetA(1,0,0),thenB(1,1,0),C(0,2,0),andS(0,0,2).(I)SC=(0,2,-2)andBC=(-1,1,0).LetthenormalvectorofplaneSBCben=(a,b,c).SincenisperpendiculartoSCandBC,wehaven·SC=0andn·BC=0.Thus,weget2b-2c=0and-a+b=0.Leta=1,thenb=c=1andn=(1,1,1).LetSE=λEB(λ>0),thenE(λ/(1+λ),λ/(1+λ),0),D(λ^2/(1+λ),λ^2/(1+λ),0),andDC=(0,2,0).LetthenormalvectorofplaneCDEbem=(x,y,z).SincemisperpendiculartoDEandDC,wehavem·DE=0andm·DC=0.Thus,wegetλx/(1+λ)+λ^2y/(1+λ)^2=0and2y=0.Therefore,x=y=z=0andm=(0,0,0).1.解法：給出的式子為：$$\frac{0.2y}{1+\lambda}=\frac{1}{1+\lambda}+\frac{1}{1+\lambda}+\frac{1}{1+\lambda}+y$$令$x=2$，則$m=(2,0,-\lambda)$。由平面$DEC\perp$平面$SBC$得$m\perpn$，$mn=0$，$2-\lambda=0$，$\lambda=2$。因此$SE=2EB$。根據(jù)$E(0,0,0)$，取$DE$的中點(diǎn)$F$，則$F(0,0,-1)$，$FA=(-1,1,1)$，因此$FA\perpDE$。又$EC=(-2,2,2)$，因此$EC\perpDE$。向量$FA$與$EC$的夾角等于二面角$A-DE-C$的平面角，于是$\cos(FA,EC)=\frac{FA\cdotEC}{|FA||EC|}=-\frac{1}{2}$，所以二面角$A-DE-C$的大小為$120^\circ$。2.解法：（Ⅰ）$f'(x)=\frac{x+1}{x\lambda}+\frac{1}{x}$，因此$xf'(x)=x\lnx+1$。題設(shè)$xf'(x)\leqx+ax+1$等價(jià)于$\lnx-x\leqa$。令$g(x)=\lnx-x$，則$g'(x)=\frac{1}{x}-1$。當(dāng)$0<x<1$時(shí)，$g(x)>0$；當(dāng)$x\geq1$時(shí)，$g'(x)\leq0$，$x=1$是$g(x)$的最大值點(diǎn)，$g(x)\leqg(1)=-1$。綜上，$a$的取值范圍是$[-1,+\infty)$。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$g(x)\leqg(1)=-1$，即$\lnx-x+1\leq0$。當(dāng)$0<x<1$時(shí)，$f(x)=(x+1)\lnx-x+1=x\lnx+(\lnx-x+1)\leqx\lnx\leq0$；當(dāng)$x\geq1$時(shí)，$f(x)=\lnx+(x\lnx-x+1)\geq\lnx\geq0$。因此$(x-1)f(x)\geq0$。3.解法：設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$D(x_1,-y_1)$，$l$的方程為$x=my-1(m\neq0)$。（Ⅰ）將$x=my-1$代入$y=4x$并整理得$y-4my+4=0$，從而$y_1+y_2=4m$，$y_1y_2=4$。直線$BD$的方程為$y-y_2=\frac{y_2+y_1}{x_2-x_1}(x-x_2)$，即$y-y_2=\frac{y_1}{x_1-x_2}(x-x_2)$。令$y=0$，得$x=\frac{y_1}{y_2}=1/4$，因此點(diǎn)$F(1,0)$在直線$BD$上。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$2x_1+x_2=(my_1-1)+(my_2-1)=4m-2$，$x_1x_2=(my_1-1)(my_2-1)=1$。因?yàn)?FA=(x_1-1,y_1)$，$FB=(x_2-1,y_2)$，$FA\cdotFB=(x_1-1)(x_2-1)+y_1y_