2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料教書用書第5章　平面向量、復(fù)數(shù)

第1講平面向量的概念及線性運(yùn)算

考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)

主要考查平面向量的線性運(yùn)算(加法、減法、數(shù)乘

向量)及其幾何意義、向量共線定理，有時(shí)也會(huì)有

數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

創(chuàng)新的新定義問題；題型以選擇題、填空題為主，

中低檔難度.偶爾會(huì)在解答題中作為工具出現(xiàn).

V基礎(chǔ)知識(shí)口回I顧

*I7

［學(xué)生用書P129］

〈國(guó)園留崗。

一、知識(shí)梳理

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方圓的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：長(zhǎng)度為。的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任意

向量共線.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

［注意］(1)向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向.

(2)任意向量a的模都是非負(fù)實(shí)數(shù)，即⑷20.

2.向量的線性運(yùn)算

向量法則(或幾

、—Zr-Zr-定義運(yùn)算律

正舁何意義)

交換律：a+b=b

求兩個(gè)向量和的運(yùn)a+a；

加法三角形法則

算結(jié)合律：(a+b)+c

平行四邊形法則=a+(b+c)

求兩個(gè)向量差的運(yùn)

減法a—b=a+(一萬)

算a

三角形法則

|Aal=UI|g|,當(dāng)2>0

時(shí)，4。與。的方

向相同;M.a)=d〃)a；

求實(shí)數(shù)2與向量a

數(shù)乘當(dāng)2<0時(shí)，4a與。(A+//)?=；

的積的運(yùn)算

的方向相反;4(a+6)—Xa~\~Ab

當(dāng)4=0時(shí)，

幾a=0

3.向量共線定理

向量a(aWO)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)兒，使―.

◎常用結(jié)論

1.若P為線段的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則舁=：(近+而.

2.若G為△ABC的重心，則有

(1)G^+GB+GC=O；(2)AG=|(AB+AQ.

3.醇=2麗+〃頁(yè)U，〃為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A,B,C共線，則丸+〃=1.

二'教材衍化

1.(人A必修第二冊(cè)P4練習(xí)Ti改編)給出下列物理量：

①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)

間.其中不是向量的有()

A.3個(gè)B.4個(gè)

C.5個(gè)D.6個(gè)

解析：選C.質(zhì)量、路程、密度、功、時(shí)間只有大小，沒有方向，所以是數(shù)

量，不是向量.

2.（人A必■修第二冊(cè)Pi4例6改編）已知口ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于

點(diǎn)0,且0X=a,0B=b,則我?=,BC=.（用a,b表示）

解析：

如圖，DC=AB=0B-0A=b~a,BC=OC-OB=-OA-OB=-a-b.

答案：b~a—a-b

AC5f

3.（人A必修第二冊(cè)Pi5練習(xí)T2）點(diǎn)C在線段AB上，且而=5，則AC=

AB,BC=AB.

52

套口水案1?.-7-=■7

《屈E3圈回

一、思考辨析

判斷正誤（正確的打“，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.（）

（2）若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反.（）

（3）若向量魅與向量⑦是共線向量，則A,B,C,D四點(diǎn)在一條直線上.（）

（4）當(dāng)兩個(gè)非零向量”，。共線時(shí)，一定有。=癡，反之成立.（）

答案：（1）X（2）X（3）X（4）V

二'易錯(cuò)糾偏

1.（多選）（向量概念理解不準(zhǔn)確致誤）下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

B.若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，且油=前，則四邊形A8C。為平行

四邊形

C.相反向量就是方向相反的向量

D.@與b同向，且|a|>|A|,則a>b

答案：ACD

2.（向量運(yùn)算法則運(yùn)用易錯(cuò)）點(diǎn)。是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量前=

A.-BC+^BA

C.BC-^BAD.BC+^BA

答案：A

3.（多選）（向量共線概念含義不清易錯(cuò)）己知a,b為兩個(gè)非零向量，則下列

說法中正確的是（）

A.2a與。的方向相同，且2a的模是。的模的2倍

2

B.一2a與5a的方向相反，且一2a的模是5a的模的§

C.—2a與2a是一對(duì)相反向量

D.a一8與一（萬一a）是一對(duì)相反向量

解析：選ABC.A正確，因?yàn)?〉0,所以2a與a的方向相同，且［20=2⑷.B

正確，因?yàn)?>0,所以5a與a的方向相同，且15al=5同，又一2<0,所以一2a與

a的方向相反，且|一冽=2|“|,所以5a與一2a的方向相反，且一2a的模是5a

2

的模的亍C正確，按照相反向量的定義可以判斷.D不正確，因?yàn)橐唬ㄈf一4）與b

一a是一■對(duì)相反向量，而a—b與b—a是一■對(duì)相反向量，所以a—b與一（b—a）

是相等向量.

《核必考點(diǎn)共研

［學(xué)生用書P1311）

考點(diǎn)一平面向量的概念（自主練透）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向

量的幾何表示.

1.下列命題正確的是（）

A.\a\=\b\=^a=bB.\a\>\b\=^a>b

C.a//b^a=bD.|a|=O=>a=O

解析：選。.對(duì)于A,兩個(gè)向量的模相等，但是方向不一定相同，所以錯(cuò)誤.對(duì)

于8,兩個(gè)向量不能比較大小，所以錯(cuò)誤.對(duì)于C,向量平行只是方向相同或相

反，不能得到向量相等，所以錯(cuò)誤.對(duì)于。，若一個(gè)向量的模等于0,則這個(gè)向

量是0,所以正確.

2.設(shè)a,力都是非零向量，則下列四個(gè)條件中，使病=卷成立的充分條件是

（）

A.a=—bB.a//b

C.a=2bD.〃〃）且|a|=|臼

解析：選C.因?yàn)橄蛄渴挼姆较蚺c向量。相同，向量jli的方向與向量。相同，

且當(dāng)=言所以向量a與向量〃方向相同，故可排除選項(xiàng)A,B,D.

\a\\b\

當(dāng)a=2萬時(shí)，而=麗=而，故a=2b面=而成區(qū)的充分條件?

3.給出下列命題：

①若向量a〃萬，b//c,則?！ā?；

②若平面上所有單位向量的起點(diǎn)移到同一個(gè)點(diǎn)，則其終點(diǎn)在同一個(gè)圓上；

③在菱形A3CD中，一定有加=方已

其中是真命題的為.（填序號(hào)）

解析：若》=0,則向量a不一定與c平行，故①不正確.單位向量的長(zhǎng)度

為1,當(dāng)所有單位向量的起點(diǎn)在同一點(diǎn)。時(shí)，終點(diǎn)都在以。為圓心，1為半徑的

圓上，故②正確.

在菱形A3CO中，\AB\=\DC\,初與比方向相同，故屈=虎，故③正確.

答案：②③

4.

如圖，在△ABC中，ZACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D若病的模為2,沈的

模為3,屐）的模為1,則場(chǎng)的模為

解析：

C\

\B

如圖，過點(diǎn)A作BC的平行線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

因?yàn)閆ACD=/BCD=NE,

所以|危|=|通.

因?yàn)锽C〃AE,所以△AOES^B。。，

的?的m\AC\2

所以---=-----=----=],

\DB\\BC\\BC\

ik\DB\=2-

答案：|3

窗后感悟---------------------------------

平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

（1）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

（2）共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).

（3）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它

與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆.

（4）非零向量。與含的關(guān)系：號(hào)是與a同方向的單位向量.

考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算（綜合研析）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.

2.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義.

陶川（1）（鏈接常用結(jié)論1）（一題多解）（2022?合肥市第二次質(zhì)量檢測(cè)）在△ABC

中，BD=~BC,若油=a,AC=b,則屐）=（）

2,1,?1,2,

/2,1

C.QQ—葩D.QQ-Q5

⑵

AD

RFC

（2022?蕪湖第一中學(xué)高三月考）如圖所示，在等腰梯形ABC。中，A8=8C=

CQ=3A￡>,點(diǎn)￡為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)，則國(guó)

=（）

A.-B.-

11一，4fIf,5f

C.~~^AB+gACD.—^AB+^AC

【解析】

（1）通解：如圖，過點(diǎn)。分別作AC,A8的平行線交AB,AC于點(diǎn)E,F,則

四邊形AEDP為平行四邊形，所以疝=能+能.因?yàn)橥撸?g比，所以崩=|/布,

AF=^AC,所以疝=1油+自迫=；。+；。，故選A.

故選A.

優(yōu)解二：由防=軻?，得屐）一屈=；乘一初），所以屐）=屈+（（公一函

=|AB+1AC=|a4-1z>,故選A.

~~1-?,1—?

（2）FE=FC+CE=^BC+^CD

=^（AC—

=g公-卸+,（荏一/）-某

=一總布+白^屐?，故選A.

1O1O

【答案】(1)A(2)A

畫題技巧---------------------------------

向量線性運(yùn)算的解題策略

(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的

向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角

形法則.

(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一

個(gè)平行四邊形或三角形中求解.

|跟蹤訓(xùn)練|

D_____E

BA

如圖，在正六邊形ABCDEE中，BA+CD+EF=(

B.BE

C.AD

解析：選。.由于麗=鹿，故及+詼+辦=詼+無+辟=亦.

(2022?安徽省宣城市郎溪縣模擬)我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利

用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)

全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦

圖”中，若反：=a,BA=b,BE=3EF,則麗=()

A.^a+^b

解析：選B.BF=BC+&BC+^EA=BC+^(EB+BA)=BC+^

即濟(jì)=反:+1一流+礪)，解得濟(jì)=野t+會(huì)放，

即礪=￡z+^1b.

3.已知。為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足或+即+*=0,AP=XPD,

則實(shí)數(shù)X的值為.

解析：因?yàn)?。為邊BC的中點(diǎn)，所以而+元=2可)，又成+/+前=0.

所以畫=麗+無=2而，

所以崩=一2彷，所以入=-2.

答案:一2

考點(diǎn)三向量共線定理的應(yīng)用(多維探究)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：理解兩個(gè)向量共線的含義，了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意

義.

角度1判定向量共線、點(diǎn)共線

fi?T2］已知。，A,M,8為平面上四點(diǎn)，且勵(lì)=入浦+(1一入)萬九

W0,且2W1).

(1)求證：A,B,M三點(diǎn)共線；

(2)若點(diǎn)8在線段AM上，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【解】(1)證明：因?yàn)檠?%彷+(1—㈤為，

所以而=2為+為一2宓，

dM-OA=XOB-AOA,

所以贏=2荏(2dR,A*0,且AW1).

又國(guó);與屈有公共點(diǎn)A,所以A,B,M三點(diǎn)共線.

(2)由(1)知，AM=/AB,

若點(diǎn)B在線段AM上，則國(guó)7與福同向，且2W0,A=A1,所以|加]>瓜酉〉0,

所以2>1.故實(shí)數(shù)2的取值范圍為(1,+8).

角度2利用向量共線定理求參數(shù)

{?T3](鏈接常用結(jié)論3)(1)(一題多解)在△ABC中，若疝=2踮,Cb=jcA+

XCB,貝"2=

12

(2)如圖所示，在△ABC中，AN=^AC,P是BN上的一點(diǎn)，若辦=癡^+可

AC,則實(shí)數(shù)〃?的值為.

【解析】(1)方法一：由疝=2彷，知A,B,。三點(diǎn)共線.所以;+2=1,

〃工12

從而x=y

方法二：由題意知詼="+疝①，

CD=CB+BD②，

12

且疝+2防=0.①+②X2,得3&)=CX+2Ck所以&最，所

2

以入=1.

(2)注意到N,P,B三點(diǎn)共線，因此有小=01油+52京=01油+音6樂從

而m+*=l,所以m=亮.

【答案】(1)|(2-

感題技巧

共

人「

實(shí)數(shù)

存在

b,若

量a,

對(duì)于向

線：

量共

明向

線：證

向

共線

。與b

）,則

9/0

=入6

：使。

量

，則

入就

使誦=

入，

實(shí)數(shù)

存在

：若

共線

三點(diǎn)

定:證明

理

線

點(diǎn)共

,C三

的■A,B

應(yīng)

而紊

儲(chǔ)等

向量

應(yīng)i

蔽是

向量

前質(zhì)

展「

數(shù)百

■最屢

用

值

參數(shù)的

（組）求

方程

；件列

.

公共點(diǎn)

向量有

的兩個(gè)

明共線

，需說

線時(shí)

點(diǎn)共

明三

］證

［提醒

訓(xùn)練I

I跟蹤

與

則油

R）,

（m,〃G

a+b

=n

AC

mb,

=a+

，AB

共線

方不

量a與

知向

1.已

）

是（

條件

線的

流共

n=0

B.m-

O

m+n=

A.

0

n—1=

D.m

1=0

C.

a

=2（〃

+“力

，得a

）共線

￡R

（/7i,〃

a+b

=n

，AC

/T?力

=Q+

.由AB

：選D

解析

\=Xn,

0.

〃-1=

以機(jī)

i所

即J

+〃），

旦F

交于

分別

,4。

邊AB