2020-2021北京市密云水庫中學(xué)高中必修二數(shù)學(xué)下期中第一次模擬試題(及答案)

2020-2021北京市密云水庫中學(xué)高中必修二數(shù)學(xué)下期中第一次模擬試題 (及答案)一、選擇題在長方體

ABCD

AB BC

2AC1

BB1C1C所成的角為30o，則該長方體的體積為（ ）A．8 6 2 82 8 3m、n及平面，其中mn，那么在平面內(nèi)到兩條直線m、n距離相等的點的集合可能是：（1）一條直線；（2）一個平面；（3）一個點；（4）的是（）A．（1）（2）（3）B．（1）（4）C．（1）（2）（4）D．（2）（4）球表面積為（）A．3 23 43 12用一個平面去截正方體，則截面不可能是（）A．直角三角形等邊三角形正方形 正六邊形

x

2)2

(y 2)2

1引切線，則切線長的最小值 ( )A．2 6 5 26 4 2正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點，AB＝4，則過B，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長為（ ）A．6 2 4 5 6 2 2 5 3 2 4 5 3 2 2 53已知點2和取值范圍是( )

,0 3

l:ax y

1 0a

0的兩側(cè)，則直線 l的傾斜角的A． ,

,2

2 ,54 3 3 3 3 630, ,3 4一錐體的三視圖如圖所示 ,則該棱錐的最長棱的棱長為 ( )A． 若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為A．2 B．1∶1∶5 D．3∶2如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：①BM與ED平行 ②CN與BE是異面直線③CN與BM成60角 ④DM與BN是異面直以上四個命題中，正確命題的個數(shù)是（ ）A．1 2 3 4某幾何體的三視圖如圖所示（單位： cm），其俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的體積（單位：

）是（ ）10A．4 3 33

823 3 3如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 粗實（虛）線畫出的是某多面體的三視圖，該多面體的體積為（ ）64A．64 3二、填空題

1616 3(5,2到直線m

x

(2m

1)y m

5的距離的最大值為 .已知一束光線通過點

A

，經(jīng)直線l：x y

0反射，如果反射光線通過點B2,5，則反射光線所在直線的方程是 .已知圓O：x2

y2 4, O

A(1, 3)處的切線的方程是 .已知n為直線， , 為空間的兩個平面，給出下列命題：①m

m, n// ；m n②n ,//

m//n；③m , /m

m；④ ,n

m//n．其中的正確命題為 ．已知正方體

ABCD 的棱長為E

的中點，則點

B1到平面ADE的距離為 .2x2

y2 1上的點到直線4y

25 0的距離的最小值是 ．已知棱長等于2 3的正方體

ABCD ，它的外接球的球心為 O﹐點E是AB的中點，則過點E的平面截球O的截面面積的最小值為 .如圖，已知圓錐的高是底面半徑的 2倍，側(cè)面積為 ，若正方形ABCD內(nèi)接于底面圓O，則四棱錐P ABCD側(cè)面積為 ．三、解答題在三棱錐S ABC中，平面SAB 平面SBC，AB BC，AS AB，過AAF SB，垂足為F，點E，G分別是棱SC的中點．（1）求證：平面 EFG∥平面ABC．（2）求證：BC 如圖，在直三棱柱

ABC 中，D是BC的中點．AB AC，AB AC 2．（Ⅰ）求直線

AC1與平面

BCC1B1所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角

A C的余弦值．如圖，在RtVAOB中，

OAB

30，斜邊AB

4AOC可以通過RtVAOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且平面 AOB 平面AOC．動點D在斜邊AB上．求證：平面COD 平面AOB；當(dāng)D為AB的中點時，求異面直線 AO與CD所成角的正切值．如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE 平面ABCD，AF 平面ABCD，DE 3AF 3.證明：平面

ABF//平面DCE；在DE上是否存在一點G，使平面FBG將幾何體ABCDEF分成上下兩部分的體比為3:11？若存在，求出點 G的位置；若不存在，請說明理由 .已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均是邊長為2的等邊三角形，△ABC腰長為3的等腰三角形，平面 CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點 F與E的連線EF均與平面ABC行，并給出證明；求三棱錐E－ABC.如圖，在四棱錐P ABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD是菱形．求證：BD PC；若平面PBC與平面PAD的交線為l

BC//l．***試卷處理標(biāo)記，請不要刪除一、選擇題1．CC【解析】【分析】首先畫出長方體

ABCD ，利用題中條件，得到

AC1B

30o，根據(jù)AB 2，求得2 3，可以確定

2

，之后利用長方體的體積公式求出長方體的體積 .【詳解】在長方體

ABCD 中，連接

BC1，根據(jù)線面角的定義可知

AC1B

o30，因為AB

2

23，從而求得

CC1 2 2，所以該長方體的體積為 V【點睛】

2 2 2 2 8 2，故選C.該題考查的是長方體的體積的求解問題，在解題的過程中，需要明確長方體的體積公式為長寬高的乘積，而題中的條件只有兩個值，所以利用題中的條件求解另一條邊的長就顯得尤為重要，此時就需要明確線面角的定義，從而得到量之間的關(guān)系，從而求得結(jié)果 2．CC【解析】【分析】根據(jù)題意，對每一個選項進行逐一判定，不正確的只需舉出反例，正確的作出證明，即可得到答案.【詳解】如圖（1）所示，在平面內(nèi)不可能由符合題的點；如圖（合題意的點；如圖（

a,b到已知平面的距離相等且所在平面與已知平面垂直，則已知平面為符a,b所在平面與已知平面平行，則符合題意的點為一條直線，綜上可知（1）（2）（4）是正確的，故選C.【點睛】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，其中熟記空間中點、線、面的位置關(guān)系是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題 .3．CC【解析】【分析】由三視圖知幾何體是一個側(cè)棱與底面垂直的三棱錐，底面是斜邊上的高為 2的等腰直三角形，與底面垂直的側(cè)面是個等腰三角形，底邊長為 2，高為2，故三棱錐的外接球與以棱長為2的正方體的外接球相同，由此可得結(jié)論【詳解】由三視圖知幾何體是一個側(cè)棱與底面垂直的三棱錐，底面是斜邊上的高為 2的等腰直角三角形，與底面垂直的側(cè)面是個等腰三角形，底邊長為 2，高為2，故三棱錐的外接球與以棱長為 2的正方體的外接球相同，其直徑為 2 3，半徑為 3三棱錐的外接球體積為 43故選C【點睛】

33 4 3本題主要考查了三視圖，幾何體的外接球的體積，考查了空間想象能力，計算能力，屬于中檔題．4．AA【解析】【分析】【詳解】畫出截面圖形如圖顯然A正三角形C正方形：D正六邊形可以畫出三角形但不是直角三角形；故選A．用一個平面去截正方體，則截面的情況為：①截面為三角形時，可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不可能是鈍角三角形、直角三角形；②截面為四邊形時，可以是梯形（等腰梯形）、平行四邊形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面為五邊形時，不可能是正五邊形；④截面為六邊形時，可以是正六邊形．故可選A．5．AA【解析】【分析】設(shè)切線長為d,則d2數(shù)的最小值得解.【詳解】

2(m 2)

2 25 1 (m 2)

24再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求函設(shè)切線長為d,則d2故選:A.【點睛】

(m 2)2

52 1 (m

2)2

24,

dmin

2 6.本題主要考查圓的切線問題 考查直線和圓的位置關(guān)系 意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水和分析推理能力.6．AA【解析】【分析】利用線面平行的判定與性質(zhì)證明直線

BC1為過直線EF且過點B的平面與平面

BCC1B1的從而證得【詳解】作圖如下:

BEFC1四點共面然后在正方體中求等腰梯形

BEFC1的周長即可.因為E,F是棱AD,DD1的中點,EF//AD1//,因為EF 平

BCC1B1,

平面BCC1B1,

//

BCC1B1，由線面平行的性質(zhì)定理知 ,過直線EF且過點B的平面與平面

BCC1B1的交線l平行于直線EF,結(jié)合圖形知,l即為直線BC1,過B，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面即為等腰梯因為正方體的棱長 AB＝4,

BEFC1,所以EF

2 2,BE

2 5,

4 2,所以所求截面的周長為 6 2 4 5,故選:A【點睛】本題主要考查多面體的截面問題和線面平行的判定定理和性質(zhì)定理；重點考查學(xué)生的空間想象能力;屬于中檔題.7．DD【解析】設(shè)直線l的傾斜角為∈[0,).點A(1,-2),B( 3

,0).直線laxy-1=0(a≠0)過定點P(0,-1).1 2k 1,k

1 0 3.PA PB0 1 0 33∵點(1,-2)和( 3,0)在直線l:ax-y-1=0(3∴kA<<PB∴-1<tan< 3，tan≠

兩側(cè)，解得0 ,3 .3 4本題選擇D選項.8．CC【解析】試題分析：該幾何體為一個側(cè)面與底面垂直，底面為正方形的四棱錐（如圖所示），其底面 邊長為 ，側(cè)面 平面 ，點在底面的射影為 ，所以,所以, , ,,底面邊長為 ，所以最長的棱長為 ，故選C.考點：簡單幾何體的三視圖．9．CC【解析】【分析】由已知，求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的底面面積和側(cè)面積，可得答案【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為 r，則高h＝r，∴其母線長 l＝ r．∴S側(cè)＝rl＝ r，S底＝r故選C．【點睛】本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，圓錐的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．10．B解析：B【解析】【分析】把平面展開圖還原原幾何體，再由棱柱的結(jié)構(gòu)特征及異面直線定義、異面直線所成角逐一核對四個命題得答案．【詳解】把平面展開圖還原原幾何體如圖：由正方體的性質(zhì)可知， BM由正方體的性質(zhì)可知， BM與ED異面且垂直，故①錯誤；CNBE平行，故②錯誤；連接BE，則BEPCN， EBM為CN與BM所成角，連接EM，可知BEM角形，則EBM60，故③正確；由異面直線的定義可知， DM與BN是異面直線，故④正確．∴正確命題的個數(shù)是 2個故選：【點睛】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查異面直線定義及異面直線所成角，是中檔題．11．BB【解析】由題意可知該幾何體為正三棱柱去掉一個小三棱錐，V4 312310 3.3 3故選：B.12．DD【解析】根據(jù)三視圖知幾何體是：三棱錐 D ABC為棱長為4的正方體一部分，直觀圖如圖所示：B是棱的中點，由正方體的性質(zhì)得， CD 平

ABC,

ABC的面積S 1 2 4 4，所以該多面體的體積 V 1 4 4 16，故選D.2 3 3二、填空題【解析】【分析】先判斷過定點可得點到直線的距離的最大值就是點與的距離從而可得結(jié)果【詳解】化簡可得由所以過定點點到直線的距離的最大值就是點與點的距離為故答案為【點睛】本題主要考查直線過定點問題以及兩解析：2 13【解析】【分析】先判斷 m 1x

2m 1y m

5過定點 9,4 ，可得點(5,2)到直線m 1x結(jié)果.

1y m

5的距離的最大值就是點 (5,2)與點9,4的距離，從而可得【詳解】化簡m 1x

2m 1y m

5可得m x

2y 1

x y 5 0，x 2y 1 0 x 9由 ，x y 5 0 y 4所以m 1x

2m 1y m

5過定點 9,4，(5,2到直線

m 1x

2m 1y m

5的距離的最大值就是點(5,2)與點9, 4的距離為

42 62

52 2 13，故答案為2 13.【點睛】本題主要考查直線過定點問題以及兩點間距離公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本解法將求最大值的問題轉(zhuǎn)化成了兩點間的距離的問題來解決，轉(zhuǎn)化巧妙.關(guān)于直線的對稱點為故故故反射光線為：化簡得到故答案為：【點睛】本題考查了直線的反射問題找出對稱點是解題的關(guān)鍵解析：2x 7y【解析】【分析】

31 0計算A

3,5

關(guān)于直線x y

0的對稱點為

，計算直線

A1B得到答案.【詳解】

y 5 1設(shè)A

關(guān)于直線x y

0的對稱點為

A1x,y，故

x 3x 3 y 5

，故10

5,3.2 2故反射光線為

：y

5 3x 2 5，化簡得到22 5

7y 31 0.故答案為：2x【點睛】

7y 31 0.本題考查了直線的反射問題，找出對稱點是解題的關(guān)鍵.【解析】【分析】先求出kOA=從而圓O在點處的切線的方程的斜率由此能出圓O在點處的切線的方程【詳解】kOA=∴O率∴圓OA處的切線的方程整理得即答案為【點睛】本題考查圓的解析：3x 3y【解析】【分析】

4 3 01先求出kOA= 3，從而圓O在點1, 3處的切線的方程的斜率

k ，由此能出圓O3在點A(1,

處的切線的方程．【詳解】1kOA= 3，∴圓O在點1, 3處的切線的方程的斜率 k ，31∴圓O在點A1, 3 處的切線的方程y 3

（x ，3整理，得 3x 3y即答案為 3x 3y【點睛】

4 3 0．4 3 0.本題考查圓的切線方程的求法，屬中檔題 .③④【解析】關(guān)于①也會有的結(jié)論因此不正確；關(guān)于 ②也會有異面的可的結(jié)論因此不正確；容易驗證關(guān)于③④都是正確的故應(yīng)填答案③④解析：③④【解析】關(guān)于①,也會有n 的結(jié)論,因此不正確；關(guān)于②,也會正確；容易驗證關(guān)于③④都是正確的 ,故應(yīng)填答案③④.

m,n異面的可能的結(jié)論,因此不面利用等面積法求得點到平面的距離也即點到平面的距離【詳解】由于是的中點故點到平面的距離等價于點到平面的距離過作交于由于故平面在直角三角解析：55【解析】【分析】點到平面ADE的距離等價于點B到平面ADE的距離，過B作BF AE，交AE于F，證得BF 平面ADE，利用等面積法求得點 B到平面ADE的距離，也即面ADE的距離.【詳解】

B1到平由于E是BB1的中點，故點 B1到平面ADE的距離等價于點B到平面ADE的距離，過B作BF AE，交AE于F，由于BF AD，AD AE E，故BF 平面ADE.在直角三角形ABE中，AB

1,BE

1,AE

5 1，所以

ABBE

1 AEBF解得BF 5.5

2 2 2 2【點睛】本小題主要考查點到面的距離，考查等面積法求高，考查線面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題 .18．4【解析】試題分析：圓的圓心為圓心到直線的距離為所以點到直線的距離的最小值是5-1=4考點：直線和圓的位置關(guān)系4【解析】試題分析：圓的圓心為 0,0,r25

1，圓心到直線3x 4y

25 0的距離為d42

5，所以點到直線 3x

y 25 0的距離的最小值是 5-1=4考點：直線和圓的位置關(guān)系徑即可求出過點的平面截球的截面面積的最小值【詳解】解：棱長等于的正方體它的外接球的半徑為3當(dāng)過點的平面與垂直時截面面積最小故答案為：【解析：3.【解析】【分析】當(dāng)過球內(nèi)一點E的截面與OE垂直時，截面面積最小可求截面半徑，即可求出過點 E的面截球O的截面面積的最小值．【詳解】解：棱長等于2 3的正方體ABCD ，它的外接球的半徑為 |OE| 6當(dāng)過點E的平面與OE垂直時，截面面積最小， r故答案為：3 ．

9 6 3，S

3 3 ，【點睛】本題考查過點E的平面截球O的截面面積的最小值及接體問題，找準(zhǔn)量化關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．合利用三角形面積公式可得結(jié)果詳解：設(shè)圓錐底面半徑為則高為母線長為因為圓錐側(cè)面積為設(shè)正方形邊長為則正四棱錐的斜高為正四棱錐的側(cè)面積為故答解析：6 5.5【解析】分析：設(shè)圓錐底面半徑為 r，則高為，母線長為 5r，由圓錐側(cè)面積為 ，可

r2 55

，結(jié)合a

2r，利用三角形面積公式可得結(jié)果 .詳解：設(shè)圓錐底面半徑為 r，則高為h因為圓錐側(cè)面積為 ，2 5

2r，母線長為 5r，r 5r ，r ，5設(shè)正方形邊長為a，則

2a2

4r2,a

2r，正四棱錐的斜高為

h2 a 3 ，24 221 3 2 6 5正四棱錐的側(cè)面積為 4

a 2r ，故答案為6 5.5

2 2 5點睛：本題主要考查圓錐的性質(zhì)、正四棱錐的性質(zhì)，以及圓錐的側(cè)面積、正四棱錐的側(cè)面積，屬于中檔題，解答本題的關(guān)鍵是求得正四棱錐底面棱長與圓錐底面半徑之間的關(guān)系 .三、解答題（見解析（見解析【解析】[證明]（AS AB，AF SB，垂足為F，∴F是SB的中點，又因為E是中點，∴EF∥AB，∵EF 平面ABC，AB 平面ABC，∴EF∥平面ABC同理EG∥平面ABC.又EF EG E，∴平面EFG∥平面ABC.（2）∵平面SAB 平面SBC，且交線為SB，又AF 平面SAB，AF SB，∴AF 平面SBC，∵BC 平面SBC，∴AF BC，又因為AB BC，AF AB A，AF、AB 平面SAB，∴BC 平面SAB，∵SA 平面SAB，∴BC SA.【考點定位】本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考空間想象能力和推理論證能力 .（Ⅰ） 10

；（Ⅱ）2.3【解析】【分析】（Ⅰ）由題意結(jié)合線面垂直的判定可得 AD 平

，則

AC1D即為直線

AC1與平所成的角，求得AD

2，AC12

后即可得解；（Ⅱ）作

AE B，垂足為E

，CE，由題意可得 BE

5，由余弦定理5可得CE2 9，進而可得5

BEC

90o，則 AEC即為二面角

A C的平面角，再由余弦定理即可得解.【詳解】（Ⅰ）Q三棱柱ABC 是直三棱柱，

平面ABC，

AD，QAB AC，D是BC的中點， AD BC，又I

BC B， AD

BCC1B1，AC1D

AC1與平面

BCC1B1所成的角，QAB AC

1，2， AD2

2，AC121

1 22 5，sin

ADAC1

2 10，5 10直線AC1與平面

所成角的正弦值為 10.（Ⅱ）作

AE ，垂足為E

10，CE，QAB AC

1，

2，

5，BC 2，VABE∽VA1BABE

5，5AB2

AEBC2

2 55AC2

2 10

cos

1 12A1BBC

，210 10

CE

BE

BC2

2BE

cos

EBC

95

3 5，5CE

BE

BC2即

BEC

90o，AEC

A C的平面角，4 9AE2

CE

AC

5 5 1 2VAEC

cos

AEC

2AECE

.2 2 5 35 35 5二面角

AB C的余弦值為 2.131【點睛】本題考查了線面角和面面角的求解，考查了空間思維能力和計算能力，屬于中檔題 .（證明見解析；（15.3【解析】【分析】平面AOB 平面AOC，OC OA，可證OC 平面AOB，即可證明結(jié)論；取OB中點E，連DE，則DE//AO， CDE（或補角）為異面直線 AO與CD所成的角，解RtCDE，即可求出結(jié)論.【詳解】平面AOB 平面AOC，平面AOBI平面AOC OA，OC OAOC

AOC,

OC 平面AOB，QOC

COD

平面COD 平面AOB；OBEDEDAB的中點，DE//AO， CDE（或補角）為異面直線 AO與CD所成的角，QOA OB,OA OC,OBI

OC O, OA

平面BOC，DE 平面BOC，CE 平

BOC

DE CE，在RtVAOB中， OAB

30，斜邊AB 4，

2 OB2OA 2 3,OB

2, DE 3,CE OC

( ) 5，2tan

CDE CEDE

15，3所以異面直線 AO與CD所成角的正切值為 15.3【點睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明直線與平面垂直，注意空間垂直間的相互轉(zhuǎn)化，求異面直線所成的角，要掌握空間角的解題步驟，“做”“證”“算”缺一不可，考查直觀想象能力，屬于中檔題.（見解析（存在點GEG【解析】

1滿足條件.試題分析：（1）根據(jù)

//AF,

//CD，結(jié)合面面平行的判定定理可知兩個平面平行；（先求出整個幾何體的體積 .假設(shè)存在一點G，過G作MG//BF交EC于M，連接BG,BM，設(shè)EG t，求得幾何體GFBME的體積，將其分割成兩個三棱錐EFGB EGM，利用tt的值.試題解析：解：∵DE 平面ABCD，AF 平面ABCD，∴

//AF

AF//

平面DCE，∵ABCD是正方形，

AB//CD

AB//平面DCE，∵AB AF A，AB 平面ABF，AF 平面ABF，∴平面ABF//平面DCE.假設(shè)存在一點GG

MG//BFECM

BG,BM，1 1 3

1 3 3 21VABCDEF

VBADEF

VBCDE

3 3 ，3 2 3 2 2設(shè)EG t，

VBEFG VBEGMh EM

21 3 9，2 14 43 32MED的距離為h，則3 EC

，h t3 1 2

SEGM 4∴1 3 3t2 1 3 3t

9，解得t

1，即存在點G且EG

1滿足條件.3 4 3 2 4點睛：本題主要考查空間點線面的位置關(guān)系，考查幾何體體積的求法，考查探究性問題的解決方法交直線和另一個平面的兩條相交直線平行即可 .第二問要對幾何體進行分割，先假設(shè)存在，接著計算出總的體積，然后再次利用分割法用體積來列方程組，求解出 G的位置的值.（取DC的中點N，取BD的中點M，連接MNMN即為所求，證明見解析（2） 63【解析】【分析】（1）取DC的中點N，取BD的中點M，連接MN，則MN即為所求，證明EN∥AH，MN∥BC可得平面EMN∥平面ABC即可（因為點E到平面ABC的距離與點N到平ABC的距離相等，求三棱錐 E－ABC的體積可轉(zhuǎn)化為求三棱錐 N－ABC的體積，根據(jù)體積公式計算即可.【詳解】如圖所示，取 DC的中點N，取BD的中點M，連接MN，