安徽省合肥市廬北中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

安徽省合肥市廬北中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：=1，點(diǎn)A，B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從A點(diǎn)沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的最長路程是（）A．20 B．18 C．16 D．14參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，射到左頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是2（a﹣c）；射到右頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是2（a+c）；小球從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反彈到B點(diǎn)繼續(xù)前行碰橢圓壁后回到A點(diǎn)，所走的軌跡正好是兩次橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和4a，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義可求得小球經(jīng)過的最長路程．【解答】解：依題意可知=1中，a=4，b=3，c=，設(shè)A，B分別為左、右焦點(diǎn)，則當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)，射到左頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是2（a﹣c）=2（2﹣）；射到右頂點(diǎn)，經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的路程是2（a+c）=2（2+）；小球經(jīng)兩次橢圓壁后反彈后回到A點(diǎn)，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知所走的路程正好是4a=4×4=16，小球經(jīng)過的最長路程16，故選C．2.設(shè)，則“”是“”的（

）

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A略3.某超市抽取13袋袋裝食用鹽，對(duì)其質(zhì)量（單位：g）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的莖葉圖，若從這13袋食用鹽中隨機(jī)選取1袋，則該袋食用鹽的質(zhì)量在[499,501]內(nèi)的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由題，分析莖葉圖，找出質(zhì)量在[499,501]的個(gè)數(shù)，再求其概率即可.【詳解】這13個(gè)數(shù)據(jù)中位于個(gè)數(shù)為6，故所求概率為故選B【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖得考查，熟悉莖葉圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)函數(shù)的圖象上的點(diǎn)處的切線的斜率為k，若，則函數(shù)的圖象大致為（

）參考答案：A略5.橢圓C：的左右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2,－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.參考答案：B設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，于是，故.∵∴.故選B.【考點(diǎn)定位】直線與橢圓的位置關(guān)系6.已知M(sinα,cosα),N(cosα,sinα)，直線l:xcosα+ysinα+p=0(p<–1)，若M,N到l的距離分別為m,n，則(

)

A.m≥n

B.m≤n

C.m≠n

D.以上都不對(duì)參考答案：A7.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的虛部是（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可得后，從而可得其虛部.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部是.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法及其復(fù)數(shù)的概念，注意復(fù)數(shù)的虛部是，不是，這是復(fù)數(shù)概念中的易錯(cuò)題.8.在中，角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，若滿足，的恰有兩解，則的取值范圍是

（）A．

B． C． D．參考答案：C略9.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（）A． B． C. D．參考答案：C【考點(diǎn)】Q6：極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置．【分析】利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，先將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是后化成極坐標(biāo)即可．【解答】解：由于ρ2=x2+y2，得：ρ2=4，ρ=2，由ρcosθ=x得：cosθ=，結(jié)合點(diǎn)在第二象限得：θ=，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換即得．10.某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為α的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成．該八邊形的面積為(

) A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinα﹣cosα+3 C．3sinα﹣cosα+1 D．2sinα﹣cosα+1參考答案：A考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．專題：解三角形．分析：利用余弦定理求得正方形的邊長，則正方形的面積可求得．利用正弦定理分別求得小等腰三角形的面積，最后相加即可．解答： 解：正方形的邊長為=，∴正方形的面積為2﹣2cosα，等腰三角形的面積為?1?1?sinα=sinα，∴八邊形的面積為4?sinα+2﹣2cosα=2sinα﹣2cosα+2，故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了余弦定理和正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是把八邊形拆分成三角形和正方形來解決．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如右圖所示，則_______.參考答案：12.（5分）若拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為3，延長PF交拋物線于Q，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則S△OPQ=．參考答案：【考點(diǎn)】：拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：先利用拋物線的定義，求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而可求PQ的方程，代入拋物線方程，可求Q的坐標(biāo)，從而可求S△OPQ．解：拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣1．∵拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為3，∴P的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線方程，可得P的縱坐標(biāo)為±2，不妨設(shè)P（2，2），可得直線PQ的斜率為2，∴直線PQ的方程為y=2（x﹣1），代入拋物線，整理可得8（x﹣1）2=4x，即2x2﹣5x+2=0，∴x=2或，將x=代入拋物線可得y=，∴S△OPQ==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查拋物線的定義，考查三角形面積的計(jì)算，確定P，Q的坐標(biāo)是關(guān)鍵．13.雙曲線x2﹣y2=1的漸近線方程為．參考答案：y=±x【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線=1的漸近線方程為y=x，即可得到所求漸近線方程．【解答】解：由雙曲線=1的漸近線方程為y=x，則雙曲線x2﹣y2=1的漸近線方程為y=±x．故答案為：y=±x．14.已知（﹣）n的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于．參考答案：15【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】先利用展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大求出n=6，再求出其通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0，求出r，再代入通項(xiàng)公式即可求出常數(shù)項(xiàng)的值．【解答】解：（﹣）n的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大所以n=6．其通項(xiàng)公式Tr+1=C6r?（﹣1）r?x，令﹣6=0，求得r=4，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C64?（﹣1）4=15，故答案為：15．15.原命題：“設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題共有________個(gè).參考答案：1

16.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

．參考答案：17.若展開式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512，則該展開式中的系數(shù)為

（用數(shù)字作答）.參考答案：－126三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)在處取得極值2.⑴求函數(shù)的解析式；⑵若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；參考答案：(1) (2)a=4,b=1(1)∵ 2分且f(x)在x=1處取得極值2∴即

∴a=4,b=1即 6分(2)∵

∴由得-1<x<1∴f(x)在【-1,1】上單調(diào)遞增，在（-∞，1）與（1，+∞）單調(diào)遞減 8分①當(dāng)f(x)在區(qū)間（m,2m+1）上單調(diào)遞增，則有 ∴-1<m≤0②當(dāng)f(x)在區(qū)間（m,2m+1）上單調(diào)遞減，則有

∴ 即m≥1∴綜上知，-1<m≤0或m≥1 12分略19.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點(diǎn)，（垂足為H），平面FEH與側(cè)棱PC交于點(diǎn)G.（Ⅰ）求證：CD∥平面FEH;（Ⅱ）求證：平面FEH⊥平面PCD（Ⅲ）若，計(jì)算六面體EFGH-ABCD的體積.

參考答案：（Ⅰ）∵EF∥AB,AB∥CD,∴CD∥EF故CD∥平面EFH.

………………4分（Ⅱ）平面

…………6分

…………7分又平面

…………8分故平面平面

…………9分（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD∥平面EFH而GH是過CD的平面PCD平面EFH的交線CD∥GH

………………10分設(shè)四棱錐P-ABCD，P-EFGH的體積分別為則

………………11分由知直角梯形EFGH的面積為……………13分顯然平面所以

…………14分六面體EFGH-ABCD的體積

…………15分20.函數(shù)（1）若函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：（1）或．（2）【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)、然后因式分解，根據(jù)函數(shù)在在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并因式分解.對(duì)分成三種情況，利用的單調(diào)性，結(jié)合不等式在上恒成立列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知，．有得：或．（2）．①當(dāng)時(shí)，，符合題意．②當(dāng)時(shí)，令，得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．此時(shí)只需：解得：或，故．③當(dāng)時(shí)，令，得或，此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，此時(shí)只需：解得：，故，由上知實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，綜合性很強(qiáng)，屬于難題.21.已知命題p：x2﹣4x﹣5≤0，命題q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（1）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若m=5，p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】（1）求出命題p，q成立時(shí)的x的范圍，利用充分條件列出不等式求解即可．（2）利用命題的真假關(guān)系列出不等式組，求解即可．【解答】解：（1）對(duì)于p：A=[﹣1，5]，對(duì)于q：B=[1﹣m，1+m]，p是q的充分條件，可得A?B，∴，∴m∈[4，+∞）．（2）m=5，如果p真：A=[﹣1，5]，如果q