2021年河南省鄭州市第六十中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021年河南省鄭州市第六十中學(xué)高一數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)中，在R上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）A：

B：

C：

D：參考答案：CA選項,在R上不保證一直單調(diào)遞減,故錯誤.B選項,定義域滿足,故定義域不是R,故錯誤.C選項,,故為奇函數(shù),對于,故為單調(diào)遞減,對于,故為單調(diào)遞減,對于,故為單調(diào)遞減,所以在R上為減函數(shù),故正確.D選項,不滿足奇函數(shù)的判定,故選C.

2.數(shù)列{an}的通項公式為，則{an}的第5項是（

）A．13

B．－13

C．－15

D．15參考答案：B分析:把n=5代入，即得的第5項.詳解：當(dāng)n=5時，=-13.故選B.

3.已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】令，，，作出圖象，根據(jù)圖象可求出的最大值、最小值．【解答】解：令，，，如圖所示：則，又，所以點C在以點D為圓心、半徑為1的圓上，易知點C與O、D共線時達(dá)到最值，最大值為+1，最小值為﹣1，所以的取值范圍為[﹣1，+1]．故選A．4.若函數(shù)f（x）=是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[4，8） B．（1，8） C．（4，8） D．（1，+∞）參考答案：A【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】欲使函數(shù)f（x）在R上遞增，須有f（x）在（﹣∞，1），[1，+∞）上遞增，且滿足（4﹣）?1+2≤a1，聯(lián)立解不等式組即可．【解答】解：因為函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，所以有??4≤a＜8，故選A．5.已知直線經(jīng)過點，且斜率為4，則的值為（

）A．-6

B．

C．

D．4參考答案：D由題意得，根據(jù)直線的斜率公式可得，。6.已知、為非零實數(shù)，且，則下列命題成立的是A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.設(shè)定義域為的函數(shù)若關(guān)于的方程有7個不同的實數(shù)解，則= （

） A．2 B．4或6 C．2或6 D．6參考答案：A8.如果執(zhí)行下面的程序框圖，那么輸出的（）.Ａ．-2450

Ｂ．-2550

Ｃ．-2650

Ｄ．-2652

參考答案：C9.如圖：曲線對應(yīng)的函數(shù)是：A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.兩圓和的位置關(guān)系是(

)

．相切

．相交

．內(nèi)含

．外離參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，函數(shù)的圖象恒過定點，若在冪函數(shù)的圖象上，則_________.參考答案：12.已知函數(shù)f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四個零點，則a的取值范圍是．參考答案：

【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】將方程的零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的交點問題，作出函數(shù)的圖象得到a的范圍．【解答】解：由f（x）=x2﹣|x|+a﹣1=0，得a﹣1=﹣x2+|x|，作出y=﹣x2+|x|與y=a﹣1的圖象，要使函數(shù)f（x）=x2﹣|x|+a﹣1有四個零點，則y=﹣x2+|x|與y=a﹣1的圖象有四個不同的交點，所以0＜a﹣1＜，解得：a∈故答案為：13.設(shè)扇形的周長為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是

.參考答案：214.函數(shù)是奇函數(shù)，且f（﹣2）≤f（x）≤f（2），則a=．參考答案：【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】由f（0）=0可求c，根據(jù)f（﹣2）≤f（x）≤f（2），利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)是奇函數(shù)且定義域內(nèi)有0∴f（0）=0解得c=0，故f（x）=．x＞0，a＞0，f（x）==≤（ax=時取等號）∵f（﹣2）≤f（x）≤f（2），∴2a=，∴a=．故答案為．15.右圖所示莖葉統(tǒng)計圖表示某城市一臺自動售貨機(jī)的銷售額情況，那么這組數(shù)據(jù)的極差是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略16.某工廠對一批元件進(jìn)行了抽樣檢測，根據(jù)抽樣檢測后的元件長度(單位：mm)數(shù)據(jù)繪制了頻率分布直方圖(如圖)．若規(guī)定長度在[99，103)內(nèi)的元件是合格品，則根據(jù)頻率分布直方圖估計這批產(chǎn)品的合格品率是

▲

．

參考答案：56%17.已知集合，且,則實數(shù)a=▲；集合A的子集的個數(shù)為▲.

參考答案：－1；4

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，△ABC中，O是BC的中點，AB=AC，AO=2OC=2．將△BAO沿AO折起，使B點與圖中B'點重合．（Ⅰ）求證：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B'﹣AOC的體積取最大時，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問在線段B′A上是否存在一點P，使CP與平面B′OA所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定；MI：直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）證明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直線與平面垂直的判定定理證明AO⊥平面B'OC．（Ⅱ）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點D，判斷當(dāng)D與O重合時，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，解法一：過O點作OH⊥B'C于點H，連AH，說明∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角，然后就三角形即可得到結(jié)果．解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量為，求出平面AB'C的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且為線段AB'的中點，證明設(shè)，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空間向量的距離公式求解即可．解法二：連接OP，因為CO⊥平面B'OA，得到∠OPC為CP與面B'OA所成的角，通過就三角形即可求出即P為AB'的中點．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中點，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（Ⅱ）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點D，則由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱錐B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以當(dāng)D與O重合時，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，…解法一：過O點作OH⊥B'C于點H，連AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C?平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，∴∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值為…解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)平面B'OC的法向量為，可得設(shè)平面AB'C的法向量為，由…，故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值為：．…（Ⅲ）解法一：存在，且為線段AB'的中點證明如下：設(shè)…又平面B'OA的法向量，依題意得…解得舍去）…解法二：連接OP，因為CO⊥平面B'OA，所以∠OPC為CP與面B'OA所成的角，…故，，∴…又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，∴即P為AB'的中點…19.（本小題滿分10分）設(shè)集合，.（Ⅰ）若，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：20.若對定義域內(nèi)任意x，都有（a為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“a距”增函數(shù).（Ⅰ）若，是“a距”增函數(shù)，求a的取值范圍；（Ⅱ）若，，其中，且為“2距”增函數(shù)，求k的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）根據(jù)題干條件得到恒成立，故只需要判別式小于0即可；（II）原題等價于恒成立，恒成立，分和兩種情況得結(jié)果即可.【詳解】（I）.因為是“距”增函數(shù)，所以恒成立，由，所以.（II）因為，，其中，且為“2距”增函數(shù)，即時，恒成立，所以，當(dāng)時，即，當(dāng)時，，所以.綜上所述，得.【點睛】這個題目考查了恒成立求參的問題，恒成立有解求參常見的方法有：變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，或者直接將不等式化為一邊為0的式子，使得函數(shù)最值大于或者小于0即可.21.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，在數(shù)列{bn}中，，，且.（1）設(shè)，求證：{cn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{bn}的通項公式.參考答案：（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）先根據(jù)和項與通項公式得遞推關(guān)系式，再根據(jù)等比數(shù)列定義證明，（2）先根據(jù)等比數(shù)列通項公式求，得，代入得數(shù)列的通項公式．【詳解】（1）因為

①，所以

②，②?①得，所以，所以，所以，所以是等比數(shù)列．因為首項，，所以，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）可知，所以．故當(dāng)時，．又代入上式也符合，所以．【點睛】給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.應(yīng)用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.22.（15分）在每年的春節(jié)后，某市政府都會發(fā)動公務(wù)員參與到植樹綠化活動中去．林業(yè)管理部門在植樹前，為了保證樹苗的質(zhì)量，都會在植樹前對樹苗進(jìn)行檢測．現(xiàn)從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗，量出它們的高度如下（單位：厘米）：甲：37，21，31，20，29，19，32，23，25，33；乙：10，30，47，27，46，14，26，10，44，46．（1）畫出兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對甲、乙兩種樹苗的高度作比較，寫出兩個統(tǒng)計結(jié)論；（2）設(shè)抽測的10株甲種樹苗高度平均值為，將這10株樹苗的高度依次輸入，按程序框（如圖）進(jìn)行運算，問輸出的S大小為多少？并說明S的統(tǒng)計學(xué)意義．參考答案：（1）統(tǒng)計結(jié)論：①甲種樹苗的平均高度小于乙種樹苗的平均高度；②甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊；③甲種樹苗的中位數(shù)為27，乙種樹苗的中位數(shù)為28.5；④甲種樹苗的高度基本上是對稱的，而且大多數(shù)集中在均值附近，乙種樹苗的高度分布比較分散．（2）35，S表示10株甲種樹苗高度的方差．是描述樹苗高度離散程度的量，S越小表越整齊，相反參差不齊．考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差．專題：計算題．分析：（1）畫出莖葉圖，通過圖能判斷甲，乙兩種樹苗的平均高度、分散情況、中位數(shù)的值．（2）