2021-2022學(xué)年重慶肖家中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年重慶肖家中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）

參考答案：A2.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量與的夾角為（） A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】空間向量的夾角與距離求解公式． 【分析】由題意可得：，進(jìn)而得到與||，||，再由cos＜，＞=可得答案． 【解答】解：因?yàn)锳（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1）， 所以， 所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=， 所以cos＜，＞==， ∴的夾角為60° 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模，以及由向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)試題 3.復(fù)數(shù)＝（A）－1（B）1（C）－（D）參考答案：C4.如圖，設(shè)D是圖中邊長分別為1和2的矩形區(qū)域，E是D內(nèi)位于函數(shù)圖象下方的陰影部分區(qū)域，則陰影部分E的面積為A.

B.

C.

D.參考答案：D故選D.5.

給出計(jì)算

的值的一個(gè)程序框圖如右圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）．

A．

B．

C．

D．參考答案：A6.用長度分別為2、3、4、5、6（單位：cm）的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為

（A）cm2

（B）cm2

（C）cm2

（D）20cm2參考答案：B7.為了得到函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象(

) A．向右平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度 C．向左平移個(gè)單位長度 D．向左平移個(gè)單位長度參考答案：B考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題：計(jì)算題．分析：先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，再由左加右減上加下減的原則可確定函數(shù)y=sin（2x﹣）到y(tǒng)=cos2x的路線，確定選項(xiàng)．解答： 解：∵y=sin（2x﹣）=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos，∴將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長度．故選B．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的平移．三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．注意變換順序．8.已知函數(shù)，若方程有且僅有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略9.復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)等于

（

）

A．1+3i

B．1-3i

C．-1+3i

D．-1-3i參考答案：A10.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10參考答案：B【考點(diǎn)】83：等差數(shù)列；87：等比數(shù)列．【分析】利用已知條件列出關(guān)于a1，d的方程，求出a1，代入通項(xiàng)公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴a32=a1?a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（平面幾何選講）如圖，△ABC中AB=AC，∠ABC=72°， 圓0過A，B且與BC切于B點(diǎn)，與AC交于D點(diǎn)， 連BD．若BC=2，則AC=

．參考答案：12.若角終邊落在射線上，則

。參考答案：13.對(duì)于函數(shù)，有下列5個(gè)結(jié)論：①，，都有；②函數(shù)在[4,5]上單調(diào)遞減；③，對(duì)一切恒成立；④函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；⑤若關(guān)于x的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，，則.則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.參考答案：①③⑤.14.如果等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則常數(shù)參考答案：-1略15.已知a，b，c是銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，，且滿足，則a+c的取值范圍是

．參考答案：∵∴由正弦定理可得，即∵∴∵B為△ABC的內(nèi)角∴∵∴根據(jù)正弦定理可知∴∵△ABC是銳角三角形∴∴a+c的取值范圍為故答案為

16.若6x2+4y2+6xy=1，x，y∈R，則x2﹣y2的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義．【分析】令x2﹣y2=t，條件式兩邊同乘t，得到關(guān)于的方程，根據(jù)方程有解列不等式得出t的范圍．【解答】解：設(shè)x2﹣y2=t，則6tx2+4ty2+6txy=x2﹣y2，即（6t﹣1）x2+6txy+（4t+1）y2=0，若y=0，則x2=，此時(shí)t=，若y≠0，則（6t﹣1）（）2+6t?+（4t+1）=0有解∴6t﹣1=0或36t2﹣4（6t﹣1）（4t+1）≥0，解得﹣≤t≤，當(dāng)且僅當(dāng)x+3y=0且y2=時(shí)，t取得最大值．故答案為．17.已知數(shù)字發(fā)生器每次等可能地輸出數(shù)字1或2中的一個(gè)數(shù)字，則連續(xù)輸出的4個(gè)數(shù)字之和能被3整除的概率是

．參考答案：考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是連續(xù)輸出的4個(gè)數(shù)字，算出所有結(jié)果，滿足條件的事件是連續(xù)輸出的4個(gè)數(shù)字之和能被3整除，列舉出的結(jié)果，最后根據(jù)概率公式得到結(jié)果．解答： 解：由題意知本題是一個(gè)古典概型，∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是連續(xù)輸出的4個(gè)數(shù)字，每次等可能地輸出數(shù)字1或2中的一個(gè)數(shù)字，則有2×2×2×2=16，共有16種結(jié)果，滿足條件的事件是連續(xù)輸出的4個(gè)數(shù)字之和能被3整除，即連續(xù)輸出的4個(gè)數(shù)字中有兩個(gè)1和兩個(gè)2，表示為1，1，2，2；1，2，1，2；1，2，2，1；2，1，1，2；2，2，1，1；2，1，2，1．可知有6種結(jié)果，∴根據(jù)古典概型概率公式得到P==，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型，是一個(gè)典型的古典概型問題，本題可以列舉出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件，也可以列舉出滿足條件的事件，是一個(gè)基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在如圖所示的四邊形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2，設(shè)∠ACB=θ，點(diǎn)C到AD的距離為h．（1）當(dāng)θ=15°，求h的值；（2）求AB+BC的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】解三角形．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；解三角形．【分析】（1）由θ=15°，可得∠BAC=45°．由AB⊥AD，可得∠D=75°，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E點(diǎn)．在△ACD中，由正弦定理可得：AC．即可得出h=ACsin45°．（2）在△ABC中，可得∠BAC，于是可得∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．可得∠D=90°﹣θ．在△ACD中，由正弦定理可得：AC=4cosθ．在△ABC中，由正弦定理可得：AB，BC，化簡即可得出．【解答】解：（1）∵θ=15°，∴∠BAC=180°﹣120°﹣15°=45°，∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°﹣60°﹣45°=75°，如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E點(diǎn)．在△ACD中，由正弦定理可得：=，∴AC=+．∴h=ACsin45°=+1．（2）在△ABC中，∠BAC=60°﹣θ，∴∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°﹣60°﹣（30°+θ）=90°﹣θ．在△ACD中，由正弦定理可得：=，解得AC=4cosθ．在△ABC中，由正弦定理可得：，∴AB==，BC=2﹣．∴AB+BC=+2﹣=sin（2θ+60°）+2≤+2，∵θ∈（0°，60°），∴（2θ+60°）∈（60°，180°），∴當(dāng)2θ+60°=90°，即θ=15°時(shí)，AB+BC取最大值+2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理余弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式、誘導(dǎo)公式、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.如圖，一個(gè)小球從M處投入，通過管道自上而下落A或B或C。已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷活動(dòng)，若投入的小球落到A，B，C，則分別設(shè)為l，2，3等獎(jiǎng)．（I）已知獲得l，2，3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50％，70％，90％．記隨變量為獲得k(k=1,2,3)等獎(jiǎng)的折扣率，求隨機(jī)變量的分布列及期望；(II)若有3人次(投入l球?yàn)閘人次)參加促銷活動(dòng)，記隨機(jī)變量為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次，求．參考答案：解析：本題主要考察隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、二項(xiàng)分布等概念，同時(shí)考查抽象概括、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)。

(Ⅰ)解：由題意得ξ的分布列為ξ50％70％90％p則Εξ=×50％+×70％+90％=.（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為+=.由題意得η～（3，）則P（η=2）=()2(1-)=.20.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．（1）當(dāng)a=﹣時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）若g（x）=f（x）+a（x﹣1）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求證：x1+x2＞1．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（1）當(dāng)a=﹣時(shí)，求導(dǎo)，令f′（x）＞0求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）＜0即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即當(dāng)x=時(shí)，f（x）取極值；（2）求出個(gè)零點(diǎn)x1，x2，得到x1+x2=+=．構(gòu)造函數(shù)h（t）=t﹣﹣2lnt，（0＜t＜1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣時(shí)，f（x）=lnx+x+，（x＞0），求導(dǎo)，f′（x）=+﹣=，令f′（x）=0，解得：x=或x=﹣1（舍去），當(dāng)f′（x）＞0，解得：x＞，當(dāng)f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)取極小值，極小值為2﹣ln3；（2）證明：根據(jù)題意，g（x）=f（x）+a（x﹣1）=lnx+﹣a，（x＞0），因?yàn)閤1，x2是函數(shù)g（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，∴l(xiāng)nx1+﹣a=0，lnx2+﹣a=0，兩式相減，可得ln=﹣，即ln=，故x1x2=．那么x1=，x2=令t=，其中0＜t＜1，則x1+x2=+=．構(gòu)造函數(shù)h（t）=t﹣﹣2lnt，（0＜t＜1），則h′（t）=，∵0＜t＜1，h′（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即t﹣﹣2lnt＜0，則＞1，故x1+x2＞1．21.（本大題滿分15分）省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時(shí)刻（時(shí)）的關(guān)系為，其中是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天的最大值為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作．（Ⅰ）令，，求t的取值范圍；（Ⅱ）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？參考答案：（Ⅰ）當(dāng)x=0時(shí)，t=0

當(dāng)0<x≤24時(shí)，

故t的取值范圍是

……4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，記則……8分∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且．故.

……10分∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)時(shí)超標(biāo)．

……15分22.（本題滿分15分）如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值．

參考答案：（Ⅰ）如圖，設(shè)PA中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA中點(diǎn)，所以EF∥AD且EF=AD，又因?yàn)锽C∥AD，BC=AD，所以EF∥BC且EF=BC，即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB．（Ⅱ）分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N，連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ.因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別為PD，PA，AD的中點(diǎn)，所以Q為EF中點(diǎn)，在平行四邊形BCEF中，MQ//CE由△PAD為等腰三角形得PN⊥AD由DC⊥AD，N是AD的中點(diǎn)得BN⊥AD．所以AD⊥平面PBN，由BC//AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN．過點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH．MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．設(shè)CD=1．在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，P