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文檔簡介
上海市華東師大二附中2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A,B=,則A∩B=A. B. C. D.2.已知,,分別是三個內(nèi)角,,的對邊,,則()A. B. C. D.3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.124.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9605.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.下圖為一個正四面體的側(cè)面展開圖,為的中點,則在原正四面體中,直線與直線所成角的余弦值為()A. B.C. D.8.函數(shù),,則“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無廣,高二丈,問:積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w,下底面寬3丈,長4丈,上棱長2丈,高2丈,問:它的體積是多少?”已知l丈為10尺,該楔體的三視圖如圖所示,其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1,則該楔體的體積為()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺10.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸11.已知向量,,若,則()A. B. C. D.12.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1,2},B={x|x2﹣4x﹣5<0},則A∩B=()A.{﹣2,﹣1,0} B.{﹣1,0,1,2} C.{﹣1,0,1} D.{0,1,2}二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生,6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作,每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士,其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地,共有__________種選派方法.14.的展開式中的常數(shù)項為__________.15.在數(shù)列中,,,曲線在點處的切線經(jīng)過點,下列四個結(jié)論:①;②;③;④數(shù)列是等比數(shù)列;其中所有正確結(jié)論的編號是______.16.的展開式中的常數(shù)項為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在三棱柱中,是邊長為2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,點在線段上移動(不與重合),是的中點.(1)當(dāng)四面體的外接球的表面積為時,證明:.平面(2)當(dāng)四面體的體積最大時,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.18.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,連接,并延長交直線于,兩點,已知,求證:直線恒過定點,并求出定點坐標(biāo).19.(12分)已知的內(nèi)角,,的對邊分別為,,,且.(1)求;(2)若的面積為,,求的周長.20.(12分)如圖中,為的中點,,,.(1)求邊的長;(2)點在邊上,若是的角平分線,求的面積.21.(12分)為了保障全國第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行,國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇,從中部選擇河北、湖北,從西部選擇寧夏,從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū),然后再逐級確定普查區(qū)域,直到基層的普查小區(qū),在普查過程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn),然后確定對象,最后入戶登記,由于種種情況可能會導(dǎo)致入戶登記不夠順利,這為正式普查提供了寶貴的試點經(jīng)驗,在某普查小區(qū),共有50家企事業(yè)單位,150家個體經(jīng)營戶,普查情況如下表所示:普查對象類別順利不順利合計企事業(yè)單位401050個體經(jīng)營戶10050150合計14060200(1)寫出選擇5個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法;(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關(guān)”;(3)以該小區(qū)的個體經(jīng)營戶為樣本,頻率作為概率,從全國個體經(jīng)營戶中隨機(jī)選擇3家作為普查對象,入戶登記順利的對象數(shù)記為,寫出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.82822.(10分)已知數(shù)列,其前項和為,若對于任意,,且,都有.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列(2)若數(shù)列滿足,且等差數(shù)列的公差為,存在正整數(shù),使得,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】
先解A、B集合,再取交集。【題目詳解】,所以B集合與A集合的交集為,故選A【題目點撥】一般地,把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。2、C【解題分析】
原式由正弦定理化簡得,由于,可求的值.【題目詳解】解:由及正弦定理得.因為,所以代入上式化簡得.由于,所以.又,故.故選:C.【題目點撥】本題主要考查正弦定理解三角形,三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,屬于中檔題.3、A【解題分析】
由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項,列出方程,即可求出的值.【題目詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項.對于等差數(shù)列,一般用首項和公差將已知量表示出來,繼而求出首項和公差.但是這種基本量法計算量相對比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計算量大大減少.4、B【解題分析】
先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【題目詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選:B.【題目點撥】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,在分類時,要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.5、C【解題分析】,令解得當(dāng),的圖像如下圖當(dāng),的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫法.6、C【解題分析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點,得到答案.詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C.點睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.7、C【解題分析】
將正四面體的展開圖還原為空間幾何體,三點重合,記作,取中點,連接,即為與直線所成的角,表示出三角形的三條邊長,用余弦定理即可求得.【題目詳解】將展開的正四面體折疊,可得原正四面體如下圖所示,其中三點重合,記作:則為中點,取中點,連接,設(shè)正四面體的棱長均為,由中位線定理可得且,所以即為與直線所成的角,,由余弦定理可得,所以直線與直線所成角的余弦值為,故選:C.【題目點撥】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角,將展開圖折疊成空間幾何體,余弦定理解三角形的應(yīng)用,屬于中檔題.8、B【解題分析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】設(shè),若函數(shù)是上的奇函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以,“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對稱”;若函數(shù)是上的偶函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以,“的圖象關(guān)于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此,“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B.【題目點撥】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.9、A【解題分析】由題意,將楔體分割為三棱柱與兩個四棱錐的組合體,作出幾何體的直觀圖如圖所示:
沿上棱兩端向底面作垂面,且使垂面與上棱垂直,
則將幾何體分成兩個四棱錐和1個直三棱柱,
則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【題目點撥】本題考查三視圖及幾何體體積的計算,其中正確還原幾何體,利用方格數(shù)據(jù)分割與計算是解題的關(guān)鍵.10、B【解題分析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點:1.實際應(yīng)用問題;2.圓臺的體積.11、A【解題分析】
利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【題目詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【題目點撥】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標(biāo)運算,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】
解一元二次不等式化簡集合,再由集合的交集運算可得選項.【題目詳解】因為集合,故選:D.【題目點撥】本題考查集合的交集運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、24【解題分析】
先求出每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù),再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【題目詳解】解:每地一名醫(yī)生,3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有,若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有,則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為:.【題目點撥】本題考查利用間接法求排列組合問題,正難則反,是基礎(chǔ)題.14、31【解題分析】
由二項式定理及其展開式得通項公式得:因為的展開式得通項為,則的展開式中的常數(shù)項為:,得解.【題目詳解】解:,則的展開式中的常數(shù)項為:.故答案為:31.【題目點撥】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式,求某項的導(dǎo)數(shù),考查計算能力.15、①③④【解題分析】
先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點處的切線方程,由此求得與的遞推關(guān)系式,進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此判斷出四個結(jié)論中正確的結(jié)論編號.【題目詳解】∵,∴曲線在點處的切線方程為,則.∵,∴,則是首項為1,公比為的等比數(shù)列,從而,,.故所有正確結(jié)論的編號是①③④.故答案為:①③④【題目點撥】本小題主要考查曲線的切線方程的求法,考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項公式和前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】
寫出展開式的通項公式,考慮當(dāng)?shù)闹笖?shù)為零時,對應(yīng)的值即為常數(shù)項.【題目詳解】的展開式通項公式為:,令,所以,所以常數(shù)項為.
故答案為:.【題目點撥】本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解,難度較易.解答問題的關(guān)鍵是,能通過展開式通項公式分析常數(shù)項對應(yīng)的取值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解題分析】
(1)由題意,先求得為的中點,再證明平面平面,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)由題意,當(dāng)點位于點時,四面體的體積最大,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量運算即可.【題目詳解】(1)證明:當(dāng)四面體的外接球的表面積為時.則其外接球的半徑為.因為時邊長為2的菱形,是矩形.,且平面平面.則,.則為四面體外接球的直徑.所以,即.由題意,,,所以.因為,所以為的中點.記的中點為,連接,.則,,,所以平面平面.因為平面,所以平面.(2)由題意,平面,則三棱錐的高不變.當(dāng)四面體的體積最大時,的面積最大.所以當(dāng)點位于點時,四面體的體積最大.以點為坐標(biāo)原點,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.所以,,,.設(shè)平面的法向量為.則令,得.設(shè)平面的一個法向量為.則令,得.設(shè)平面與平面所成銳二面角是,則.所以當(dāng)四面體的體積最大時,平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查平面與平面的平行、線面平行,考查平面與平面所成銳二面角的余弦值,正確運用平面與平面的平行、線面平行的判定,利用好空間向量是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)(2)證明見解析;定點坐標(biāo)為【解題分析】
(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【題目詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時滿足∴∴直線恒過定點【題目點撥】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.19、(1);(2).【解題分析】
(1)利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角,結(jié)合倍角公式,即可整理化簡求得結(jié)果;(2)由面積公式,可以求得,再利用余弦定理,即可求得,結(jié)合即可求得周長.【題目詳解】(1)由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴,所以或.當(dāng),(舍)故,解得.(2),從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長為.【題目點撥】本題考查由余弦定理解三角形,涉及面積公式,正弦的倍角公式,應(yīng)用正弦定理將邊化角,屬綜合性基礎(chǔ)題.20、(1)10;(2).【解題分析】
(1)由題意可得cos∠ADB=﹣cos∠ADC,由已知利用余弦定理可得:9+BD2﹣52+9+BD2﹣16=0,進(jìn)而解得BC的值.(2)由(1)可知△ADC為直角三角形,可求S△ADC6,S△ABC=2S△ADC=12,利用角平分線的性質(zhì)可得,根據(jù)S△ABC=S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值.【題目詳解】(1)因為在邊上,所以,在和中由余弦定理,得,因為,,,,所以,所以,.所以邊的長為10.(2)由(1)知為直角三角形,所以,.因為是的角平分線,所以.所以,所以.即的面積為.【題目點撥】本題主要考查了余弦定理,三角形的面積公式,角平分線
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