2023年上海高考數(shù)學(xué)(理科)試卷答案解析

2023年上海高考數(shù)學(xué)〔理科〕試卷

一、填空題(本大題共有14題，總分值56分)

1.計算：±1=(i為虛數(shù)單位).

1+Z

2.假設(shè)集合4={如21+1>0},B={x\\x-^<2},那么AC15二.

2cosx

3.函數(shù)/(x)=的值域是.

sin%—1

4.假設(shè)7=(—2,1)是直線/的一個法向量，那么/的傾斜角的大小為(結(jié)果用反三角

函數(shù)值表示).

5.在(X-±)6的二項展開式中，常數(shù)項等于.

X

6.有一列正方體，棱長組成以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，體積分別記為

Vi,V2,???,Vn,???,那么limM]+匕H---1-V?)=.

7.函數(shù)=卜為常數(shù)).假設(shè)在區(qū)間口,+8)上是增函數(shù),那么。的取值范

圍是.

8.假設(shè)一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2兀的半圓面，那么該圓錐的體積為.

9.y=/(x)+/是奇函數(shù)，且/⑴=1.假設(shè)g(x)=/(x)+2,那么g(—1)=.

10.如圖，在極坐標(biāo)系中，過點M(2,0)的直線/與極軸的夾角

a=?假設(shè)將I的極坐標(biāo)方程寫成p=于⑹的形式，那么

f@=.

11.三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球工程的比賽.假設(shè)每人都選擇其中兩個工程，那么有且僅有

兩人選擇的工程完全相同的概率是(結(jié)果用最簡分數(shù)表示).

12.在平行四邊形A8C￡)中，NA=母，邊A3、的長分別為2、1.假設(shè)M、N分別

是邊BC、CD上的點，且滿足幽1=只1,那么而?麗的取值范圍是.

18cl\CD\

13.函數(shù)y=/(x)的圖像是折線段48C,假設(shè)中A(0,0),仇十,5),C(l,0).

函數(shù)y=4(x)(04x41)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為.

14.如圖，AQ與BC是四面體A8CQ中互相垂直的棱，BC=2.\

假設(shè)4O=2c,且AB+BO=AC+C￡)=2a,其中a、c為

常數(shù)，那么四面體ABCQ的體積的最大值是.

二、選擇題(本大題共有4題，總分值20分)

B

A

15.假設(shè)1+行，是關(guān)于x的實系數(shù)方程/+法+。=0的一個復(fù)數(shù)根，那么)

(A)b=2,c=3.(B)b=-2,c=3.(C)b=-2,c=-\.(D)b=2,c=—1.

16.在A43C中，假設(shè)sir?A+sin?8<sin?C,那么AA8C的形狀是()

(A)銳角三角形.(B)直角三角形.(C)鈍角三角形.(D)不能確定.

4

17.設(shè)10M玉<龍2<馬<Z410,七=105.隨機變量芻取值X］、X2,與、X4、匕的

概率均為02隨機變量統(tǒng)取值空、等、空、空、空的概率也為02

假設(shè)記。息分別為卷、42的方差，那么

(A］山)DJi=D虞.(C).

(D)與的大小關(guān)系與匹、》2、/、％的取值有關(guān).

18.設(shè)4=^sin詈，Sn=al+a2+---+an.在SpS2,…,S10G中，正數(shù)的個數(shù)是(

(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.

三、解答題(本大題共有5題，總分值74分)

19.如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面ABCZ)是矩形,

PA_L底面ABC。，E是PC的中點.AB=2,

AD=20,PA=2.求：

(1)三角形PC。的面積；(6分)

(2)異面直線BC與4E所成的角的大小.(6分)

20.函數(shù)/(x)=lg(x+l).

(1)假設(shè)0</(1-2x)—/(x)<l,求x的取值范圍；［6分)

(2)假設(shè)g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)OWxWl時，有g(shù)(x)=/(x),求函數(shù)

y=g(x)(xe[l,2])的反函數(shù).[8分)

21.海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點，以正北方向為y軸

正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長度)，那么救援船恰在失事船的正南方向12海

里A處，如圖.現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動路徑可視為拋物線

y=^x2；②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救J)

援船出發(fā)f小時后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7J

(1)當(dāng)/=0.5時，寫出失事船所在位置戶的縱坐標(biāo).假設(shè)此時0匕/*

兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；(6分)/

(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？(8分)V

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線G:2/一>2=］.

（i）過G的左頂點引G的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及*軸圍成

的三角形的面積；（4分）

（2）設(shè)斜率為I的直線/交C1于P、Q兩點，假設(shè)/與圓V+y2=i相切，求證：

OP1.OQ-,（6分）

（3）設(shè)橢圓。2：41+丁=1.假設(shè)壞N分別是G、G上的動點，且OMLON,

求證：。到直線A/N的距離是定值.（6分）

23.對于數(shù)集*={-1,%,工2,…,％”}，其中0<X<々<…n>2,定義向量集

Y={a\a=（s,t\seX,teX}.假設(shè)對于任意［eF,存在工€丫，使得［?￡=（）,那么稱X

具有性質(zhì)P.例如X={-1,1,2）具有性質(zhì)P.

（1）假設(shè)x>2,且{—1,1,2,x},求x的值；（4分）

（2）假設(shè)X具有性質(zhì)P,求證：leX,且當(dāng)初>1時，xrl；（6分）

（3）假設(shè)X具有性質(zhì)P,且沏=1,及刊用為常數(shù)），求有窮數(shù)列西，々，…，天的通

項公式.（8分）

2023年上海高考數(shù)學(xué)〔理科〕試卷解答

一、填空題（本大題共有14題，總分值56分）

1.計算：±l=上2。?為虛數(shù)單位）.

1+z

2.假設(shè)集合4={1|2工+1〉0},B={x||x-l|<2},那么405=（-匕3）.

2cosx

3.函數(shù)/（x）=的值域是［一3一用?

sin%—1---------

4.假設(shè)7=（-2,1）是直線/的一個法向量，那么I的傾斜角的大小為arctan2（結(jié)果用反三角

函數(shù)值表示）.

5.在（X-*）6的二項展開式中，常數(shù)項等于-160.

X

6.有一列正方體，棱長組成以1為首項，9為公比的等比數(shù)列，體積分別記為

%,七,…，匕，…，那么lim（K+匕+…+匕）=亨.

n—>oo__

7.函數(shù)/（x）=*FS為常數(shù)）.假設(shè)了（X）在區(qū)間［1,+8）上是增函數(shù)，那么〃的取值范

圍是（-8,1I.

8.假設(shè)一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2兀的半圓面，那么該圓錐的體積為坐乃.

9.y=/（x）+Y是奇函數(shù)，且/⑴=1.假設(shè)g*）=/（x）+2,那么g（-1）=_4.

10.如圖，在極坐標(biāo)系中，過點M（2,0）的直線/與極軸的夾角/

a=表假設(shè)將/的極坐標(biāo)方程寫成°=/（。）的形式，那么

八。）=七?o//-------：

11.三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球工程的比賽.假設(shè)每人都選擇其中兩個工程，那么有且僅有

兩人選擇的工程完全相同的概率是亨（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）.

12.在平行四邊形ABC。中，ZA=f,邊A8、AO的長分別為2、1.假設(shè)M、N分別

是邊BC、CD上的點，且滿足曾1=1^1,那么加?麗的取值范圍是⑵51.

\BC\\CD\

13.函數(shù)y=/(x)的圖像是折線段ABC,假設(shè)中A(0,0),8腦,5),C(l,0).

函數(shù)yn4XxNOWxWl)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為總.內(nèi)、

14.如圖，AO與8c是四面體ABCD中互相垂直的棱，18c=2.

假設(shè)AO=2c,且AB+8O=AC+C￡)=2a,其中°、c為\

常數(shù)，那么四面體的體積的最大值是大-。2-1.

--------------A

二、選擇題(本大題共有4題，總分值20分)

15.假設(shè)1+Jli是關(guān)于x的實系數(shù)方程灰+。=0的一個復(fù)數(shù)根，那么(B)

(A)b=2,c=3.(B)b=-2,c=3.(C)b=-2,c=-l.(D)b=2,c=-1.

16.在AA6C中，假設(shè)s/A+sii?BvsinZc,那么AABC的形狀是(C)

(A)銳角三角形.(B)直角三角形.(C)鈍角三角形.(D)不能確定.

17.設(shè)10KX］<W<%3<ZK104，%5=105.隨機變量取值X］、%2、%3、%4、毛的

概率均為0.2,隨機變量統(tǒng)取值氣紅、等、誓、空、空的概率也為02

假設(shè)記。蜃分別為。、△的方差，那么(A)

(A)D&>D4.(B)=(C)<D^2.

(D)。。與的大小關(guān)系與王、々、￡、4的取值有關(guān).

18.設(shè)a.=^sin詈,Sn=ax+a2+---+an.在S^S2,…,S10G中，正數(shù)的個數(shù)是(D)

(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.

三、解答題(本大題共有5題，總分值74分)啰、

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是矩形，

尸4,底面ABC。，E是PC的中點.A8=2,/i

AD=2y/2,PA=2.求：///'\\D

(1)三角形PC。的面積；(6分)/\X

(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.(6分)----------*

［解］［1)因為PA_L底面ABC。，所以PA_LC￡>,又A￡>_LCD,所以C/A平面PAD,

從而CO_LPD...3分

因為PD=商+(2后＞=26,CD=2,

所以三角形PCD的面積為1x2x273=273.

(2〕［解法一］如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

那么8(2,0,0),C(2,2V2,0),E(1,V2,1),

AE=(1,42,1),BC=(0,2V2,0).……8分

設(shè)讖與前的夾角為仇那么

由此可知，異面直線BC與AE所成的角的大小是?……12分

［解法二］取尸8中點尸，連接ERAF,那么

EF//BC,從而NAEF(或其補角)是異面直線

BC與4E所成的角……8分

在AAE/7中，由EF=&、AF=拒、AE=2

知AAER是等腰直角三角形，

B

所以NAEF=?.

因此異面直線BC與AE所成的角的大小是牙……12分

20.函數(shù)/(x)=lg(x+l).

⑴假設(shè)O</(1—2x)—y(x)<l,求x的取值范圍;16分)

(2)假設(shè)g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)OWxWl時，有g(shù)(x)=/(x),求函數(shù)

y=g(x)(尤G[1,2])的反函數(shù).[8分)

[解](1)由4，得一1VXV1.

x+1>0

由0<炫(2-2%)一炮0+1)=電,<1得1<方普<10.……3分

因為x+I>0,所以x+lv2-2x<1Ox+10>—<x<；?

—1<x<1c,

由｛9[得一]<]<針...6分

I十y

⑵當(dāng)一口⑵時,2-xe[0,l],因此

y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=/(2-x)=lg(3-x)....10分

由單調(diào)性可得ye[0,1g2].

因為x=3—10v,所以所求反函數(shù)是y=3—10*,xe[0,lg2],……14分

21.海事救援船對一艘失事船進行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點，以正北方向為y軸

正方向建立平面直角坐標(biāo)系(以1海里為單位長度)，那么救援船恰在失事船的正南方向12海

里A處，如圖.現(xiàn)假設(shè)：①失事船的移動路徑可視為拋物線

y=^x2；②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；③救/

援船出發(fā)r小時后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為.J

(1)當(dāng)，=0.5時，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo).假設(shè)此時——L^/---->

兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；(6分)°/x

(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？(8分)/

[解]⑴r=0.5時，尸的橫坐標(biāo)燈=7『=9代入拋物線方程y=：1x2A-

中，得尸的縱坐標(biāo)"=3....2分

由依「|=亨，得救援船速度的大小為J的海里/時.……4分

由tan/OAP=^^，得/OAP=arctan看，故救援船速度的方向

為北偏東arctan4弧度....6分

(2〕設(shè)救援船的時速為丫海里，經(jīng)過f小時追上失事船，此時位置為(7f,12/).

由vf=J(7r，+(I2產(chǎn)+12)2,整理得v2=144(r+十)+337.……10分

因為『+力之2,當(dāng)且僅當(dāng)t=l時等號成立，

所以/2144x2+337=25?,Bpv>25.

因此，救援船的時速至少是25海里才能追上失事船.……14分

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線G:2d-y?=1.

(1)過G的左頂點引G的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成

的三角形的面積；(4分)

(2)設(shè)斜率為1的直線/交C1于P、Q兩點，假設(shè)/與圓V+y2=i相切，求證：

OPLOQ-.(6分)

(3)設(shè)橢圓。2：4/+丁=1.假設(shè)“、N分別是G、上的動點，且OMLOM

求證：O到直線MN的距離是定值.(6分)

[解]⑴雙曲線G：手—：/=1,左頂點A(—辛■,()),漸近線方程：y=±GX.

2N

過點A與漸近線y=平行的直線方程為丫=也(％+陰，即y=J^x+l.

解方程組［I或二得上［孚…2分

所以所求三角形的面積1為S=4|QA||yl=*.4分

(2)設(shè)直線PQ的方程是y=x+。.因直線與圓相切,

故果=1,即尸=2.……6分

V2

由()；=x：b,得/_2"_/_]=0.

2X2-/=1

X+x,=2b

設(shè)P(xi,yi)、Q(M,y2)，那么《,9,.

X(X2=-b~-1

又2,所以

^2(-b2-1)+b-2b+b2=/-2=0,

故OPA.OQ.......10分

(3)當(dāng)直線ON垂直于x軸時，

|CW|=1,|(?M=當(dāng)',那么O到直線A/N的距離為亨?.

當(dāng)直線ON不垂直于x軸時，

設(shè)直線ON的方程為y=Zx(顯然|%|>半)，那么直線OM的方程為了=—".

2

y-kxx=_1_

由,22，得2筆2,所以|0N|2=9

v2--L—4+&

4x+y=1J4+Ar2

同理10Ml2=黑.……13分

設(shè)。到直線MN的距離為d,因為(|OM|2+1ON|2)J2=|OM|2|ON『，

所以3=—二+—二=。=3,即公堂.

22

d|OM|2QN|2k+\3

綜上，O到直線MN的距離是定值.……16分

23.對于數(shù)集乂={-1,%，工2,…,NJ，其中0<%<々<…<*"，n>2,定義向量集

y={a|a=(s/),seX"eX}.假設(shè)對于任意［eY,存在/右丫，使得雇足=0，那么稱X

具有性質(zhì)P.例如X={-1,1,2)具有性質(zhì)P.

⑴假設(shè)x>2,且{-l,l,2,x},求x的值；14分)

(2〕假設(shè)X具有性質(zhì)P,求證：leX,且當(dāng)x“>l時，xi=l；(6分)

(3)假設(shè)X具有性質(zhì)P,且沏=1,X2=q用為常數(shù))，求有窮數(shù)列不，々，…，無，的通

項公式.18分)—

［解］［1］選?。?(x,2),丫中與I垂直的元素必有形式(—1,。).……2分

所以尸2匕，從而44.......4分

(2)證明：?。?(%,%)e丫.設(shè)生=(s")e丫滿足1?￡=().

由(s+f)Xi=0得$+r=0,所以s、f異號.

因為T是X中唯一的負數(shù)，所以s、f中之一為T,另一為1,

故1eX.......7分

假設(shè)&=1,其中那么

選取4=(%,X”)e丫，并設(shè)4="，，)e丫滿足［W=0，即叫+及"=0,

那么s、t異號,從而s、r之中恰有一個為T.

假設(shè)s=T,那么2,矛盾；

假設(shè)f=T,那么x“=<s4xn,矛盾.

所以X1=1.……10分

（3）［解法一］猜想玉=q"",i=\,2,--,n.......12分

記&={-1,1,w，…，X*},k=2,3,

先證明：假設(shè)4』具有性質(zhì)P,那么人也具有性質(zhì)p.

任取4=（s,f）,5、/€4上.當(dāng)5、f中出現(xiàn)-1時，顯然有工滿足［.工=0；

當(dāng)SH—1且，H—1時，S、t>1.

因為4+1具有性質(zhì)P,所以有點=G"）,?、彳€4?+］,使得,W=0,

從而S1和％中有一個是-1,不妨設(shè)S1=T.

假設(shè)f］e4+［且f］任A?,那么乙=x“］.由（5,，）?（一1,x?+1）=0,得s=比《+12尤*+］,與

se4矛盾.所以八eAk.從而Ak也具有性質(zhì)P.......15分

現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：x,.=gi,i=l,2,.

當(dāng)〃=2時，結(jié)論顯然成立；

假設(shè)〃=氏時，4={-1,L巧，…,為}有性質(zhì)P，那么=i=l,2,…,A；

當(dāng)”=左+1時,假設(shè)Az={一1,1,%,…，z，々+1}有性質(zhì)P，那么4={-1,1,x2,---,xj

也有性質(zhì)P,所以4+1={T,1,q,…

取4=（x*+］,q）,并設(shè)。2=（$"）滿足［?司=0，即x*+|S+/=0.由此可得s與，中有且

只有一個為T.

假設(shè)，=—1,那么1,不可能；

kk

所以s=T,xk+i=qt<q-q^'-q,又Xg>//，所以x*+i=qt

綜上所述，七=qiX,=q'T,i=l,2,......18分

［解法二］設(shè)q=（s"）,a2=（s2,t2）,那么4?%=0等價于1=一土

記5={"sGX,feX,\s|>|/|},那么數(shù)集X具有性質(zhì)P當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集B關(guān)于

原點對稱.……14分

注意到T是X中的唯一負數(shù)，6n（9,0）={-馬，一如…，一%}共有"T個數(shù)，

所以6n（0,+8）也只有"-1個數(shù).

由于白<一_<?..<薩〈去，已有“7個數(shù)，對以下三角數(shù)陣

X"-lxn-2“2x\

注意到今>個>???>?，所以白=滬=???=資，從而數(shù)列的通項公式為

A

\項X1XA-Ixn-2x\

x*=Xi（曰）1=qi，上1,2,.......18分

2023上海高考數(shù)學(xué)試題（理科）答案與解析

一.填空題

1.計算：—=（i為虛數(shù)單位）.

1+i

【答案】l-2i

(3-i)(l-i)_2-4i

【解析】正=l-2i.

(1+iXl-i)-^-

【點評】此題著重考查復(fù)數(shù)的除法運算，首先，將分子、分母同乘以分母的共機復(fù)數(shù)，將分母實數(shù)化

即可.

2.假設(shè)集合4={幻2》+1>0},3={x||x-l|<2},那么AD5=.

【答案”一別

【解析】根據(jù)集合A2x+l>0,解得x>—g,由|x—1|-2,得至l<x<3,所以

神=（一別.

【點評】此題考查集合的概念和性質(zhì)的運用，同時考查了一元一次不等式和絕對值不等式的解法.解決

此類問題，首先分清集合的元素的構(gòu)成，然后，借助于數(shù)軸或韋恩圖解決.

2cosx

3.函數(shù)/(x)=的值域是.

sinx—1

5_3

【答案】2-2

【解析】根據(jù)題目f(x)=-sinxcosx-2=——sin2x-2因為一1Ksin2xW1,所以

53

22

【點評】此題主要考查行列式的根本運算、三角函數(shù)的范圍、二倍角公式，屬于容易題，難度較小.

考綱中明確要求掌握二階行列式的運算性質(zhì).

4.假設(shè)3=（-2,1）是直線/的一個法向量，那么/的傾斜角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.

【答案】arctan2

【解析】設(shè)直線的傾斜角為a,那么tancr=2,cr=arctan2.

【點評】此題主要考查直線的方向向量、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系、反三角函數(shù)的表示.直線的傾斜

角的取值情況一定要注意，屬于低檔題，難度較小.

2

5.在（X--）6的二項展開式中，常數(shù)項等于.

X

【答案】-160

2

【解析】根據(jù)所給二項式的構(gòu)成，構(gòu)成的常數(shù)項只有一項，就是7；=C江3（一一）3=760.

x

【點評】此題主要考查二項式定理.對于二項式的展開式要清楚，特別注意常數(shù)項的構(gòu)成.屬于中檔題.

6.有一列正方體，棱長組成以1為首項、；為公比的等比數(shù)列，體積分別記為K，匕，…，匕，…，

那么lim（V+匕+???+%）=.

Q

【答案】-

7

【解析】由正方體的棱長組成以1為首項，L為公比的等比數(shù)列，可知它們的體積那么組成了一個以

2

11Q

1為首項，一為公比的等比數(shù)列，因此，lim(h+匕+???+%)=--=-.

8"T817

1----

8

【點評】此題主要考查無窮遞縮等比數(shù)列的極限、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的定義.考查知識較

綜合.

7.函數(shù)=]〃為常數(shù)).假設(shè)/(x)在區(qū)間[1,+8)上是增函數(shù)，那么。的取值范圍是.

【答案】(-00,1]

e'—"xci

【解析】根據(jù)函數(shù)/(x)=/“4=，_'看出當(dāng)xNa時函數(shù)增函數(shù)，而函數(shù)/(x)在區(qū)間[1,+oo)

e~x+a,x<a

上為增函數(shù)，所以。的取值范圍為：(一8,1].

【點評】此題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，分類討論在求解數(shù)學(xué)問題中的運

用.此題容易產(chǎn)生增根，要注意取舍，切勿隨意處理，導(dǎo)致不必要的錯誤.此題屬于中低檔題目，難度

適中.

8.假設(shè)一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2乃的半圓面，那么該圓錐的體積為.

_?__J3乃

【答案】--

3

1,

【解析】根據(jù)該圓錐的底面圓的半徑為r,母線長為/,根據(jù)條件得到一用2=2萬，解得母線長/=2,

2

2%r=M=2肛尸=1所以該圓錐的體積為：錐=—S/z=—xV22—I271=n.

回1誰333

【點評】此題主要考查空間幾何體的體積公式和側(cè)面展開圖.審清題意，所求的為體積，不是其他的量,

分清圖形在展開前后的變化；其次，對空間幾何體的體積公式要記準(zhǔn)記牢，屬于中低檔題.

9.y=/(x)+,是奇函數(shù)，且/(1)=1,假設(shè)g(x)=/(x)+2,那么g(—1)=.

【答案】-1

【解析】因為函數(shù)y=/(x)+/為奇函數(shù)，所以

^(D=/(I)+2,皆⑴=1，所以，g(D=3,/(-I)=-3,g(-l)=/(一1)+2=-3+2=—1

/(-I)--/(1).

【點評】此題主要考查函數(shù)的奇偶性.在運用此性質(zhì)解題時要注意：函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，所以有

/(_x)=-/(x)這個條件的運用，平時要加強這方面的訓(xùn)練，此題屬于中檔題，難度適中.

7T

10.如圖，在極坐標(biāo)系中，過點"(2,0)的直線/與極軸的夾角a=一,

6

假設(shè)將/的極坐標(biāo)方程寫成夕=/(。)的形式，那么/(e)=.

［答案］——!——

sin(：-6)

【解析】根據(jù)該直線過點"(2,0),可以直接寫出代數(shù)形式的方程為：=2),將此化成極坐

標(biāo)系下的參數(shù)方程即可,化簡得/(6)=----i----.

sin(；_&)

【點評】此題主要考查極坐標(biāo)系，本局部為選學(xué)內(nèi)容，幾乎年年都有所涉及，題目類型以小題為主，

復(fù)習(xí)時，注意掌握根本規(guī)律和根底知識即可.對于不常見的曲線的參數(shù)方程不作要求.此題屬于中檔題，

難度適中.

11.三位同學(xué)參加跳高、跳遠、鉛球工程的比賽，假設(shè)每人都選擇其中兩個工程，那么有且僅有兩人

選擇的工程完全相同的概率是(結(jié)果用最簡分數(shù)表示).

2

【答案】-

3

【解析】一共有27種取法，其中有且只有兩個人選擇相同的工程的取法共有18種，所以根據(jù)古典概

2

型得到此種情況下的概率為一.

3

【點評】此題主要考查排列組合概率問題、古典梭型.要分清根本領(lǐng)件數(shù)和根本領(lǐng)件總數(shù).此題屬于中

檔題.

77

12.在平行四邊形A5CD中，44二一，邊AB、AO的長分別為2、1,假設(shè)M、N分別是邊NC、

3

上的點，且滿足曾^=呸!那么而?麗的取值范圍是.

\BC\\CD\

【答案】［2,5］

【解析】以向量A8所在直線為x軸，以向量AO所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖，因

為AB=2,AD=1,所以4(0,0),B(2,0),C(-,1)D(-,1).設(shè)

22

CN,CN=--x,BM=---x,M(2+---x,(---x)sin-).

22224284423

L工rt,,.21x5A/3-2y/3x.

根據(jù)題意，有AN=(x,l),AM=(--------,----------------).

848

“工，Z21x、5A/3-2V3Xf1,,5、..c六，_

所以A"?A/V=x(--------)H------------------<x<—,所以2WA/VW5.

848<22)

【點評】此題主要考查平面向量的根本運算、桃念、平面向量的數(shù)量積的運算律.做題時，要切實注意

條件的運用.此題屬于中檔題，難度適中.

13.函數(shù)y=/(x)的圖象是折線段48C,其中4(0,0)、嗎,5)、C(l,0),

函數(shù)y=4(x)(0<x<l)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為.

【答案】-

4

11

1Ox,0<x<—10x2,70<x<—

【解析】根據(jù)題意得到，/*)=<2從而得到y(tǒng)=4Xx)=,2

-10x+10,^-x<l-10x2+10x,^<x<l

所以圍成的面積為5=110您拄+，(-10/+10幻必:=3,所以圍成的圖形的面積為2.

【點評】此題主要考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的解析式的求解方法、定積分在求解平面圖形中的運

用.突出表達數(shù)再結(jié)合思想，此題綜合性較強，需要較強的分析問題和解決問題的能力，在以后的練習(xí)

中加強這方面的訓(xùn)練，此題屬于中高檔試題，難度較大.D

14.如圖，與8c是四面體A8CO中互相垂直的棱，BC=2,假設(shè)

且A6+BO=AC+8=2a,其中a、c為常數(shù)，那么四面體ABCD的體積的靛\

大值是?2,_V

［答案］^cy/a2-c2-l上工匚修

【解析】據(jù)題A6+8O=AC+CD=〃，也就是說，線段A3+8。與線段4C+CO的長度是定

值，因為棱AO與棱6C互相垂直，當(dāng)BC_L平面A3。時，此時有最大值，此時最大值為：

-cy/a2-c2-l.

3

【點評】此題主要考查空間四面體的體積公式、空間中點線面的關(guān)系.此題主要考慮根據(jù)條件構(gòu)造體積

表達式，這是解決問題的關(guān)鍵，此題綜合性強，運算量較大.屬于中高檔試題.

二、選擇題(20分)

15.假設(shè)1+"是關(guān)于x的實系數(shù)方程無2+云+。=0的一個復(fù)數(shù)根，那么()

A.b=2,c=3B.h=—2,c=3C.h=-2,c=—1D.b=2,c=—1

【答案】B

【解析】根據(jù)實系數(shù)方程的根的特點l-0i也是該方程的另一個根，所以

1+V2z+1-V2z=2=-/?,即Z?=—2,(1-V2z)(l+V2z)=3=c,故答案選擇B.

【點評】此題主要考查實系數(shù)方程的根的問題及其性質(zhì)、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四那么運算，屬于中檔題，

注重對根本知識和根本技巧的考查，復(fù)習(xí)時要特別注意.

16.在A46C中，假設(shè)six?A+sii^^vsii?。，那么A46C的形狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【答案】C

ClhCrce

【解析】由正弦定理，得——=sinA,——=sinB,——=sinC,代入得到。?+b“<c”,

2R2R2R

由余弦定理的推理得cosC=6±^二一<0,所以C為鈍角，所以該三角形為鈍角三角形.應(yīng)選擇

2ab

A.

【點評】此題主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的運用.主要抓住所給式子的結(jié)構(gòu)來選擇定理，如

果出現(xiàn)了角度的正弦值就選擇正弦定理，如果出現(xiàn)角度的余弦值就選擇余弦定理.此題屬于中檔題.

17.設(shè)104X]<<%3<*4<1°"，苫5=1。5,隨機變量機取值X]、彳2、％3、匕、鼻的概率均為

0.2,隨機變量與取值"三上、"^、"^、石旦的概率也均為02,假設(shè)記

222222

D。、。星分別為芻、玄的方差，那么()

A.D&>DJB.D&="2

C.D&<D.。當(dāng)與的大小關(guān)系與匹、/、與、的取值有關(guān)

【答案】A

—1

【解析】由隨機變量。42的取值情況，它們的平均數(shù)分別為：X]=J(X|+々+工3+Z+&)，，

1(x,+x?W+xJ

2x2+玉I匹+4?4+4

X,+-2-X],

222)

且隨機變量。42的概率都為02,所以有。。>。多.應(yīng)選擇A.

【點評】此題主要考查離散型隨機變量的期望和方差公式.記牢公式是解決此類問題的前提和根底，此

題屬于中檔題.

Irijr

18.設(shè)Q〃=—sin—,S〃=q+&+???+?！?，在516,???田00中，正數(shù)的個數(shù)是()

n25

A.25B.50C.75D.100

【答案】C

【解析】依據(jù)正弦函數(shù)的周期性，可以找其中等于零或者小于零的項.

【點評】此題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和間接法解題.解決此類問題主要找到規(guī)律，從題目出發(fā)

可以看出來相鄰的14項的和為0,這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題的能力.

三、解答題(本大題共有5題，總分值74分)

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是矩形，

PA_L底面ABC。，E是PC的中點.48=2,

AD=2y/2,PA=2.求：

(1)三角形PC。的面積；(6分)

⑵異面直線BC與AE所成的角的大小.(6分)

［解］［1)因為P4_L底面A8C。，所以又AD_LC￡),所以C￡>J_平面PA。,

從而CDLPD.3分

因為PD=百+(2后)=,CD=2,

所以三角形PCD的面積為4x2x2g=2g.……6分

⑵［解法一］如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

那么8(2,0,0),C(2,272,0),E(l,6,1),

AE=(1,V2,1),BC=(0,272,0).8分

設(shè)彳后與元的夾角為。，那么y

cos"虢=+=乎，氏，

X

由此可知，異面直線BC與AE所成的角的大小是f……12分

［解法二］取PB中點尸，連接EEAF,那么

EF//BC,從而NAE/(或其補角)是異面直線

BC與AE所成的角8分

在AA￡F中，由EF=后、AF=Ji、AE=2

知△AEF是等腰直角三角形，

所以

因此異面直線8C與AE所成的角的大小是千……12分

【點評】此題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力.綜

合考查空間中兩條異面直線所成的角的求解，同時考查空間幾何體的體積公式的運用.此題源于？必修

2?立體幾何章節(jié)復(fù)習(xí)題，復(fù)習(xí)時應(yīng)注重課本，容易出現(xiàn)找錯角的情況，要考慮全面，考查空間想象能

力，屬于中檔題.

20.函數(shù)/(x)=lg(x+l).

(1)假設(shè)0</(l-2x)—/(x)<l,求x的取值范圍；(6分)

(2)假設(shè)g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)OWxWl時，有g(shù)(x)=/(x),求函數(shù)

y=g(x)(xe［l,2］)的反函數(shù).(8分)

2-2x>Q,

［解］⑴由<f得一1VXV1.

x+1>0

由0<lg(2—2x)-lg(x+l)=lg黃<1得1〈黃<10.3分

因為x+l>0,所以x+1<2—2x<10x+10,--j<x<j.

—1<X<1

由《91得.