2023年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷含答案解析

2023年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)

1.集合A={-2,-1},B={-1,2,3},那么ACB=.

2.復(fù)數(shù)z滿足z?1-i)=2,其中i為虛數(shù)單位，那么z=.

3.方程lg(x-3)+lgx=l的解x=.

4.fix)=logax(a>0,aWl),且f)(-1)=2,那么f"(x)=.

5.假設(shè)對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,不等式x2Wl+a恒成立，那么實(shí)數(shù)x的最小值為.

26

6.假設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓工+丫2=1的右焦點(diǎn)重合，那么p=.

5

7.中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2023,那么該數(shù)列的首項(xiàng)

為.

8.如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形,

如果直角三角形的直角邊成為1,那么這個(gè)幾何體的外表積是.

9.互異復(fù)數(shù)mnWO,集合{m,n}={m2,n2},那么m+n=.

10.等比數(shù)列{aj的公比q,前n項(xiàng)的和工，對(duì)任意的ndN*,Sn>0恒成立，

那么公比q的取值范圍是.

11.參數(shù)方程范fcos^l,ee[Of2兀)表示的曲線的普通方程是.

y=l+sin9

12.函數(shù)f(x)=sin(ox+coscox(co>O),xGR,假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,

(o)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=co對(duì)稱，那么s的值為.

二.選擇題(本大題共4題，每題5分，共20分)

13.“mn<0”是方程"mx2+ny2=l表示雙曲線”的()

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

14.假設(shè)方程f(x)-2=0在1-8,0)內(nèi)有解，那么y=f(x)的圖象是()

k

D.

-\o\12X

(Ji>o

15.函數(shù)f(x)=?x二;(ae[0,2兀))是奇函數(shù)，那么a=()

2x<0

l-x+cos(x+a)

A.0B.—C.KD.—

22

16.假設(shè)正方體AiA2A3A4-B1B2B3B4的棱長(zhǎng)為1,那么集合{x[x=A]B；AB；

ie{1,2,3,4),jei,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

三.解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.圓錐母線長(zhǎng)為5,底面圓半徑長(zhǎng)為4,點(diǎn)M是母線PA的中點(diǎn)，AB是底面

圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)；

(1)求三棱錐P-ACO的體積；

(2)求異面直線MC與PO所成的角.

18.函數(shù)￡3=1。82(&"+0'-2)(a>0),且f⑴=2；

(1)求a和f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)f(x+1)-f(x)>2.

19.一艘輪船在江中向正東方向航行，在點(diǎn)P觀測(cè)到燈塔A、B在一直線上，并

與航線成角a(0°VaV90°),輪船沿航線前進(jìn)b米到達(dá)C處，此時(shí)觀測(cè)到燈塔A

在北偏西45°方向，燈塔B在北偏東p(00<p<90°)方向，0°Va+p<90°,求CB；

(結(jié)果用a,p,b表示〕

2

20.過(guò)雙曲線*2譽(yù)=1的右支上的一點(diǎn)P作一直線1與兩漸近線交于A、B兩點(diǎn),

其中P是AB的中點(diǎn)；

(1)求雙曲線的漸近線方程；

(2)當(dāng)P坐標(biāo)為(xo,2)時(shí)，求直線1的方程；

(3)求證：[OA|?|OB|是一個(gè)定值.

21.設(shè)數(shù)列{即}的前n項(xiàng)和為Sn,假設(shè)看<王1<2(nGN*),那么稱{aj是“緊

2an

密數(shù)列”；

⑴假設(shè)ai=l,a3=x,a4=4,求x的取值范圍；

⑵假設(shè){an}為等差數(shù)列,首項(xiàng)ai,公差d,且OVdWa”判斷{aj是否為“緊

密數(shù)列”；

(3)設(shè)數(shù)列瓜力是公比為q的等比數(shù)列，假設(shè)數(shù)列瓜力與{SJ都是“緊密數(shù)列”，

求q的取值范圍.

2023年上海市奉賢區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一.填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)

1.集合A={-2,-1},B={-1,2,3},那么ACB={-1}.

【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算.

【分析】利用交集的定義求解.

【解答】解：???集合A={-2,-1},B={-1,2,3},

，AnB={-1}.

故答案為：{-1}.

2.復(fù)數(shù)z滿足z?(1-i)=2,其中i為虛數(shù)單位，那么z=1+i.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】復(fù)數(shù)方程兩邊同乘1-i的共貌復(fù)數(shù)，然后化簡(jiǎn)即可.

【解答】解:由z?(1-i)=2,可得z?(1-i)(1+i)=2(1+i),

所以2z=2(1+i),

z=l+i.

故答案為：1+i.

3.方程1g(x-3)+lgx=l的解x=5.

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

【分析】在保證對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0的前提下由對(duì)數(shù)的和等于乘積的對(duì)數(shù)去掉對(duì)

數(shù)符號(hào)，求解一元二次方程得答案.

【解答】解：由lg(x-3)+lgx=l,得：

'x-3>0

x>3

-x>0,即、，解得：x=5.

x(x-3)=10

lgx(x-3)=l

故答案為：5.

4.f(x)=logax(a>0,aWl),且C(-1)=2,那么f"(x)=號(hào))x.

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.

【分析】由題意可得f⑵=loga2=-1；從而得到2=當(dāng)再寫反函數(shù)即可.

【解答】解:由題意，???「(-1)=2,

Af⑵=loga2=-1；

故a=~

故「(x)=c1)x；

故答案為：g)x.

5.假設(shè)對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,不等式x2Wl+a恒成立，那么實(shí)數(shù)x的最小值為-1.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】由恒成立轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，由此得到二次函數(shù)不等式，結(jié)合圖象得到x

的取值范圍.

【解答】解：?.?對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,不等式x2Wl+a恒成立，

二等價(jià)于a^x2-1,

?.aNmax

02(X~-1)max

-IWxWl

實(shí)數(shù)x的最小值為-1.

2門

6.假設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓—+y2=i的右焦點(diǎn)重合，那么p=4.

5

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】求出橢圓的右焦點(diǎn)，得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解p即可.

22

【解答］解:橢圓—+y2=i的右焦點(diǎn)⑵①，拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓—+y2=i

55

的右焦點(diǎn)重合，

可得：1=2.

解得p=4.

故答案為:4.

7.中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2023,那么該數(shù)列的首項(xiàng)

為5.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列.

【分析】由題意可得首項(xiàng)的方程，解方程可得.

【解答】解：設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a,

由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得2023+a=1010X2

解得a=5

故答案為：5

8.如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形,

如果直角三角形的直角邊成為1,那么這個(gè)幾何體的外表積是竺聲.

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.

【分析】由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是三棱錐，正方體的一個(gè)角，根據(jù)三視

圖的數(shù)據(jù)，求出三棱錐的外表積即可.

【解答】解：由題意可知三視圖復(fù)原的幾何體是三棱錐，正方體的一個(gè)角，

所以幾何體的外表積為：3個(gè)等腰直角三角形與一個(gè)等邊三角形的面積的和，

即：3x|xiXl+^.X（收2=苧?

故答案為：空叵.

2

9.互異復(fù)數(shù)mnWO,集合{m,n}={m2,n2},那么m+n=-1.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)相等的充要條件.

【分析】互異復(fù)數(shù)mnWO,集合{m,n}={m2,n2},可得：m=m2,n=n2；n=m2,

m=n2,mnWO,mWn.解出即可得出.

【解答】解：互異復(fù)數(shù)mnWO,集合{m,n}={m2,n2},

/.m=m2,n=n2,或n=m2,m=n2,mnWO,m#n.

由m=m2,n=n2,mnWO,mWn,無(wú)解.

由n=m2,m=n2,mnWO,mWn.可得n-m=m2-n2,解得m+n=-l.

故答案為：-1.

10.等比數(shù)列｛an｝的公比q,前n項(xiàng)的和Sn,對(duì)任意的n￡N*,Sn>0恒成立，

那么公比q的取值范圍是（-1,0）U（0,+8）.

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【分析】qWl時(shí)，由Sn>0,知ai>0,從而上3_>0恒成立，由此利用分類討

1-Q

論思想能求出公比q的取值范圍.

【解答】解：qWl時(shí)，有S—dl-a，,

1-q

VSn>0,.*.ai>0,

rn

那么上&_>0恒成立，

1-q

①當(dāng)q>l時(shí)，l-qn〈0恒成立，即qn>l恒成立，由q>l,知qn>l成立；

②當(dāng)q=l時(shí)，只要由>0,Sn>0就一定成立；

③當(dāng)q<l時(shí)，需l-qn>0恒成立，

當(dāng)OVqVl時(shí)，l-qn>0恒成立，

當(dāng)-IVqVO時(shí)，1-q11〉。也恒成立，

當(dāng)qV-1時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1-qn>0不成立，

當(dāng)q=-l時(shí)，l-qn>0也不可能恒成立，

所以q的取值范圍為（-1,0）U（0,+8）.

故答案為：（-1,0）U（0,+8）.

，|?8_0_1

11.參數(shù)方程范-I,2M表示的曲線的普通方程是x2=y

y=l+sin9

（OWxW后，0WyW2）.

【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程.

【分析】把上面一個(gè)式子平方，得到x2=l+sin0,代入第二個(gè)參數(shù)方程得到x2=y,

根據(jù)所給的角的范圍，寫出兩個(gè)變量的取值范圍，得到普通方程.

【解答】解：卜二歸知花fcos彳|

vee[0,2無(wú))，

|cos-^-+sin-|-=|V2sin[0,亞]

AA

l+sin0=(cos—+sin—)[0,2]

故答案為：x2=y(0WxW&,0WyW2)

12.函數(shù)f(x)=sincox+coscox(co>O),x￡R,假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-3,

s)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，那么3的值為叵.

【考點(diǎn)】由y=Asin(cox+(p)的局部圖象確定其解析式.

【分析】由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)解析式可得f(x)=V2sin?x+子)，由

2k兀-半Wcox+?W2k7i+手，k?Z可解得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合可

3兀兀

得：-3》竺二^①，四:二“②，kez,從而解得k=0,又由

W(0

7T

kK+

wx+A=kn+A,可解得函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為：x=T,kez,結(jié)合可得:

42-------

3

82=：,從而可求3的值.

4

TT

【解答】解:Vf(x)=sin(Dx+cossx=&sin(cox+—),

?.?函數(shù)f(x)在區(qū)間(-co,3)內(nèi)單調(diào)遞增，w>0

.-.2k7t--y^a)x+-y<2k7T+-y,kGZ可解得函數(shù)f(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為：

3兀JT

[竺二工，絲魚(yú)],kez,

33

3兀兀

二可得：_322k兀一^~①,sw2k兀+?、?kez,

CO(0

???解得：0Va)2<等_2k兀且0〈0?忘21<兀4，kez,

解得:-kEZ,

oo

???可解得：k=0,

TT

又?；由sx+^kTi+l,可解得函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為：x=k兀守，kez,

42—----

...由函數(shù)y=f（X）的圖象關(guān)于直線X=3對(duì)稱，可得：“2=看,可解得：3=吁.

故答案為：耳.

2

二.選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）

13.“mnVO”是方程"mx2+ny2=l表示雙曲線”的（）

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；充要條件.

x2y21

【分析】先證明充分性，把方程化為丁+丁=1,由“mnVO”,可得!、工異號(hào),

n

mn

可得方程表示雙曲線，由此可得“mnV0〃是方程“mx2+ny2=l表示雙曲線〃的充

X2y211

分條件；再證必要性，先把方程化為丁+丁=1,由雙曲線方程的形式可得工、1

——inn

mn

異號(hào)，進(jìn)而可得mnVO,由此可得“mn<0”是方程"mx2+ny2=l表示雙曲線”的

必要條件；綜合可得答案.

【解答】解：假設(shè)“mnVO”,那么m、n均不為0,方程mx2+ny2=h可化為

xi/

1+1=1，

mn

工、工異號(hào)，方程S++

假設(shè)“mnVO",=1中，兩個(gè)分母異號(hào)，那么其表示雙

inn——

in

曲線,

故"mn<0”是方程"mx2+ny2=l表示雙曲線”的充分條件；

22

反之，假設(shè)mx2+ny2=l表示雙曲線，那么其方程可化為亍++=1,

mn

此時(shí)有工、工異號(hào)，那么必有mnVO,

inn

故"mnVO”是方程"mx2+ny2=l表示雙曲線”的必要條件；

綜合可得：“mn<0〃是方程“mx2+ny2=l表示雙曲線”的充要條件;

應(yīng)選C.

14.假設(shè)方程f（x）-2=0在（-8,0）內(nèi)有解，那么y=f（x）的圖象是（）

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化.

【分析】根據(jù)方程f(X)-2=0在(-8,0)內(nèi)有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)的圖

象和直線y=2在1-8,o)上有交點(diǎn).

【解答】解：A：與直線y=2的交點(diǎn)是(0,2),不符合題意，故不正確；

B：與直線y=2的無(wú)交點(diǎn)，不符合題意，故不正確；

C：與直線y=2的在區(qū)間(0,+8)上有交點(diǎn)，不符合題意，故不正確；

D：與直線y=2在(-8,0)上有交點(diǎn)，故正確.

應(yīng)選D.

15.函數(shù)可(ae[0,2無(wú)))是奇函數(shù)，那么a=()

2x<0

l-x+cos(x+a)

A.0B.—C.7tD.—

22

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)系式求解.

【解答】解：由題意可知，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，即f(-x)+f(x)=0,

不妨設(shè)xVO,那么-x>0.

那么有：f(x)=-x2+cos(x+a),

f(-x)=x2-sinx

那么：-x2+cos(x+a)+x2-sinx=O

解得：a=T+2k九(kwz)

Vae[O,2n)

._3幾

,e亍

應(yīng)選：D.

16.假設(shè)正方體AiA2A3A4-B1B2B3B4的棱長(zhǎng)為1,那么集合{x|x=AiB；AB；,

i《{l,2,3,4),jei,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】子集與真子集.

【分析】A”；i,jG{1,2,3,4),由此能求出集合

{x|x=A1BfAiBie{1,2,3,4},jei,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù).

【解答】解：???正方體AiA2A3A4-B1B2B3B4的棱長(zhǎng)為1,

A1Bj±A1Byi，j￡{l，2,3,4),

A】B「A”『A”「[A]Ai+A[B[+B[B?

...2..

=A1B1?AjA1+A1B1+A1B1-B1Bj=l.

集合{x|x=A[B；?AiB；,ie{1,2,3,4),jei,2,3,4}}中元素的個(gè)數(shù)為1.

應(yīng)選：A.

三.解答題(本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分)

17.圓錐母線長(zhǎng)為5,底面圓半徑長(zhǎng)為4,點(diǎn)M是母線PA的中點(diǎn)，AB是底面

圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)；

(1)求三棱錐P-ACO的體積；

(2)求異面直線MC與P0所成的角.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；異面直線及其所成的角.

【分析】(1)由得AB=8,0C=4,0C1AB,PO=3,由此能出三棱錐P-ACO

的體積.

(2)以。為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

利用向量法能求出異面直線MC與PO所成的角.

【解答】解：(1)?.?圓錐母線長(zhǎng)為5,底面圓半徑長(zhǎng)為4,點(diǎn)M是母線PA的中

點(diǎn)，

AB是底面圓的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),

，AB=8,0C=4,OC±AB,

P0=Jp產(chǎn)-AOJA/25T6=3?

三棱錐P-ACO的體積VP.ACO=±XSAAOCXOP

J

=VX9X4X4X3=8-

OC

(2)以。為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

A[0,-4,0),P(0,0,3),M[0,-2,-|),C(4,0,0),O(0,0,0),

MC=(4,2,-y),PQ=(0,0,-3〕,

設(shè)異面直線MC與PO所成的角為e,

__1—

cosO-再現(xiàn)=三=婚,

IMCI-IP0I(89.389

故異面直線MC與PO所成的角為arccos漢甌.

89

18.函數(shù)￡6)=1082仁.+2*-2)(a>0),且f⑴=2；

(1)求a和f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵f(x+1)-f(x)>2.

【考點(diǎn)】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化.

【分析】(1)代值計(jì)算并根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義

域，

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式，解得即可.

【解答】解:⑴函數(shù)f(x)=l:g2(產(chǎn)+aX-2)(a>0),且f(1)=2,

Iog2(a2+a-2)=2=log2%

.a2+a-2>。

a2+a-2=4'

解得a=2,

2XX

：.f(x)=log2(2+2-2L

設(shè)t=22x+2x-2>0,解得x>0,

Af(x)的遞增區(qū)間(0,+8);

(2)f(x+1)-f(x)>2,

2x+2x+12xx

.,.log2(2+2-2)-log2(2+2-2)>2=log24,

2V2X-I(22X+2X

A2+2_2>4-2),

.".2X<3,

/.X<log23,

Vx>0

/.0<x<log23

，不等式的解集為(0,<log23)

19.一艘輪船在江中向正東方向航行，在點(diǎn)P觀測(cè)到燈塔A、B在一直線上，并

與航線成角a(0°VaV90°),輪船沿航線前進(jìn)b米到達(dá)C處，此時(shí)觀測(cè)到燈塔A

在北偏西45°方向，燈塔B在北偏東p(00<p<90°)方向，0°Va+BV90°,求CB；

(結(jié)果用a,p,b表示)

【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用.

【分析】由題意，ZB=90°-(a+B),aPBC中，運(yùn)用正弦定理可得結(jié)論.

【解答】解：由題意，ZB=90°-(a+p),

△PBC中，PC=b,由正弦定理可得CB=嚕邛

costa+Q)

2

20.過(guò)雙曲線*2譽(yù)=1的右支上的一點(diǎn)P作一直線1與兩漸近線交于A、B兩點(diǎn),

其中P是AB的中點(diǎn)；

(1)求雙曲線的漸近線方程；

(2)當(dāng)P坐標(biāo)為(xo,2)時(shí)，求直線1的方程；

(3)求證：|OA|?|OB|是一個(gè)定值.

【考點(diǎn)】直線與雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】(1)求出雙曲線的a,b,由雙曲線的漸近線方程為y=±±x,即可得到

a

所求；

(2)令y=2代入雙曲線的方程可得P的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)A(m,

2m),B(n,-2n),可得A,B的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，即可得到所求直線

方程；

(3)設(shè)P(xo,yo),A(m,2m),B(n,-2n),代入雙曲線的方程，運(yùn)用中

點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得m,n,運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可得到定值.

2

【解答】解：11)雙曲線乂2毛=1的a=l,b=2,

可得雙曲線的漸近線方程為y=±-x,

a

即為y=±2x；

⑵令y=2可得蠟=1+*=2,

解得xo=J^,(負(fù)的舍去)，

設(shè)A(m,2m),B(n,-2n),

由P為AB的中點(diǎn)，可得m+n=2?,2m-2n=4,

解得m=V2+l，n=V2-1，

即有A(揚(yáng)1,2料+2),

_2揚(yáng)2-2=

可得PA的斜率為k2瓜

企+13

那么直線1的方程為y-2=2血

即為丫=2折-2；

2

(3)證明：設(shè)P(xo,yo),即有x02-也_=1,