2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)17圓（上海）（解析版）

專題17圓

忸命題趨勢

圓的有關(guān)方礎(chǔ)概念及位置關(guān)系是選填題的熱門，大題出現(xiàn)的幾率依然很大，特別是壓

軸題；圓周角定理、切線長的性質(zhì)等已經(jīng)不在教材范圍之內(nèi)，而是增加兩個特色性質(zhì)：相

交圓連心線的性質(zhì)；相切圓的連心線的性質(zhì)。

在知巧導(dǎo)圖

定義

圓有關(guān)的性質(zhì)垂徑定理及推論

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

基本性質(zhì)

圓周角定理

園內(nèi)接四邊形

相切

相交

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系相離

三點(diǎn)定圓方法

反證法

相離

判定

相切

直線和圓的位置關(guān)系百

相交弦定理及推論

相交外離

切割線定理及推論

外切

圓和圓之間的位置關(guān)系相交

內(nèi)切

.半徑、邊心距、中心角計(jì)算

內(nèi)含

“正多邊形’邊長、面積的計(jì)算

畝圓周長，弧長，組合圖形的周長

畫‘"圓面積，扇形，組合圖形的面積

正多邊形和圓

定義

圓錐弧長及面積公式

側(cè)面積、全面積的計(jì)算

存重思考向

-、圓的有關(guān)疵念垂徑定理

一、與圓有關(guān)的概念

圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成

的圖形叫圓.這個固定的端點(diǎn)0叫做圓心，線段0A叫做半徑.以0點(diǎn)為圓心的圓記作。。,

讀作圓0.

特點(diǎn)：圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形.

確定圓的條件：

⑴圓心；

⑵半徑，

⑶其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小.

補(bǔ)充知識：

1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓：

3）半徑相等的圓叫做等圓.

弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中

最長的弦.

z-

弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB,讀作弧

AB.在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧.

圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，

小于半圓的弧叫做劣弧.

弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距.

圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.

圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

三角形的外接圓

經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的

交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.

點(diǎn)與圓的位置有三種：

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>ro點(diǎn)P在0。的外部.

點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=ro點(diǎn)P在0。的圓周上.

點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<ro點(diǎn)P在0。的內(nèi)部.

三點(diǎn)定圓的方法：

1）經(jīng)過點(diǎn)A的圓：以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)0為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過點(diǎn)A

的圓，這樣的圓有無數(shù)個.

2）經(jīng)過兩點(diǎn)A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點(diǎn)0作為圓心，以0A的長為半徑，即

可作出過點(diǎn)A、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個.

3）經(jīng)過三點(diǎn)時：

情況一：過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)A、B、C共線時，過三點(diǎn)的圓不存在；

情況二：若A、B、C三點(diǎn)不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點(diǎn)，而這個交點(diǎn)0

是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個.

定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓.

二、垂徑定理

對稱性

1.圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線

2.圓是中心對稱圖形。

垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

常見輔助線做法（考點(diǎn)）：

1）過圓心，作垂線，連半徑，造RT△,用勾股，求長度；

半徑2二弦心距2十弓弦長）2

2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.

▲---------------A

一、單選題

1.下列說法：（1）長度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）

直徑是圓中最長的弦.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據(jù)等弧的定義、弦的定義、弧的定義、分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解析】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯誤；

（2）直徑是圓中最長的弦，故（2）錯誤，（4）正確；

（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯誤；

正確的只有一個，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)定義，能夠了解圓的有關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.

2.已知0A=4,以。為圓心，r為半徑作。0.若使點(diǎn)4在。。內(nèi)，則r的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

［分析］根據(jù)點(diǎn)A與。。的位置關(guān)系確定點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑大小即可.

【解析】:?已知04=4,以。為圓心，r為半徑作。。.若使點(diǎn)A在。。內(nèi)，

.?.點(diǎn)A到圓心的距離應(yīng)該小于圓的半徑，

.??圓的半徑應(yīng)該大于4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解圓的位置關(guān)系與點(diǎn)與圓心的距離

及半徑的大小關(guān)系，難度不大.

3.過。。內(nèi)一點(diǎn)M的最長弦為10cm,最短弦長為8cm,則OM的長為（）

A.9cmB.6cmC.3cmD.cm

【答案】C

【分析】先根據(jù)垂徑定理求出OA、AM的長，再利用勾股定理求0M.

【解析】解：由題意知，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦，

如圖所示.直徑于點(diǎn)M,

則ED=lOcm,AB=8cm,

由垂徑定理知：點(diǎn)M為A8中點(diǎn),

?*.AA7=4cm.

,半徑0A=5cm,

，OM2=OA2-AM2=25-16=9,

0M=3cm.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理,連接半徑是解答此題的關(guān)鍵.

4.下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心

【答案】A

【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對稱軸的定義逐項(xiàng)排

查即可.

【解析】解：A.同弧或等弧所對的圓周角相等，所以A選項(xiàng)正確:

及平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以B選項(xiàng)錯誤;

C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以C選項(xiàng)錯誤;

D圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以。選項(xiàng)錯誤.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知

識點(diǎn).靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

5.如圖，在。中，于點(diǎn)。，4力的長為3cm,則弦48的長為（）

B.6cmC.8cmD.10cm

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理求出AD=BD=3cm即可.

【解析】解：為非直徑的弦，。。，回，

'.AD=BD=3cm,

AB=AD+BD=6cm.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.

6.已知。0的直徑AB=10,弦CD_LA8于點(diǎn)M,若OM：0A=3：5,則弦AC的長度（）.

A.245B.46C.3D.2亞或4亞

【答案】D

【分析】分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)M在線段0A上或點(diǎn)M在線段A0的延長線上時，分別求解即

可.

【解析】解：如圖1,弦SLAB于點(diǎn)M.若0M：04=3：5,

CM=y/oC2-OM2=4，

心yJCM2+AM2=4V5;

如圖2,,??AB=10cm,弦CD_LAB于點(diǎn)M.若。M：0A=3：5,

:,CM=JOC2-OM。=4,

，AC=yJcM2+AM2=2#＞，

綜上所述：弦AC的長為4右或2右.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查J'勾股定理，垂徑定理.解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問

題再進(jìn)行計(jì)算.

7.如圖，已知RSABC中，ZC=90°,ZA=30°,AC=6,以點(diǎn)B為圓心，3為半徑作

則點(diǎn)C與。8的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)C在。B內(nèi)B.點(diǎn)C在。B上C.點(diǎn)C在。B外D.無法確定

【答案】C

【分析】欲求點(diǎn)C與。B的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出8C,再與半徑3進(jìn)行比較.若d<r,則

點(diǎn)在圓內(nèi)；若d=r,則點(diǎn)在圓上；若d>r,則點(diǎn)在圓外.

【解析】解：\"在RSABC中,NC=90。,ZA=30°,

AB=2BC,

有勾股定理得：

AB2-BC2=AC2,即（2a17-BC2=62,

解得：8c=2石，

???以點(diǎn)B為圓心，3為半徑作。8,

r<d,

.?.點(diǎn)C在。B外.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，含30"角的直角三角形，勾股定理，熟練掌握

直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定是解題的關(guān)

鍵.

8.如圖，4B為。。的弦，點(diǎn)C在AB上，AC=4,BC=2,CDLOC交。。于點(diǎn)D,則CD

【答案】C

【分析】過點(diǎn)。作。于點(diǎn)￡,連接OA,OD,根據(jù)垂徑定理可得AE=BE=3,從而得

到CE=1,然后設(shè)OE=x,根據(jù)勾股定理可得

OC2=OE-+CE2=X2+1,OB2=OA2=OE2+AE2=X2+9,從而得至CD2=OB2-OC?=8，

即可求解.

【解析】解：如圖，過點(diǎn)。作OELAB于點(diǎn)E,連接。4,OD,

：.AE^BE=-AB,

2

'：AC=4,BC=2,

BA=6,

：.AE=BE=3,

:?CE=T,

設(shè)OE=x,

：.OC2=OE2+CE2=X2+1,OD2=OA2=OE2+AE2=x24-9,

VCD1OC,

Z.CD1=OCT-OC2=x2+9-(x2+1)=8,

二8=2板或-2正(舍去).

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個點(diǎn)4(1,一3)、8(0,—3)、C(2,—3),—確定一個圓.(填

“能”或“不能”)

【答案】不能

【分析】根據(jù)三個點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到它們共線，于是根據(jù)確定圓的條件可判斷它們不能確定

一個圓.

【解析】解：(0,-3)、C(2,-3),

；.BC〃x軸，

而點(diǎn)A(1,-3)與C、8共線，

...點(diǎn)A、B、C共線，

，三個點(diǎn)A(1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3)不能確定一個圓.

故答案為：不能.

【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓.

10.下列說法正確的是(填序號).

①半徑不等的圓叫做同心圓；②優(yōu)弧一定大于劣?。?/p>

③不同的圓中不可能有相等的弦；④直徑是同一個圓中最長的弦.

【答案】④

【分析】利用圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解析】解：①半徑不等的圓叫做同心圓，錯誤；

②優(yōu)弧一定大于劣弧，錯誤；

③不同的圓中不可能有相等的弦，錯誤；

④直徑是同一個圓中最長的弦，正確.

故答案為：④.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)概念，難度較小

11.A,5是半徑為3的O上兩個不同的點(diǎn)，則弦A8的取值范圍是.

【答案】0<鉆46

【分析】根據(jù)直徑是圓的最長的弦，即可求解.

【解析】解：：。的半徑為3,

???。的直徑為6,

，。的最長弦為6,

VA,B是。上兩個不同的點(diǎn)，

：.0<AB<6.

故答案為：0<ABW6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，理解直徑是圓的最長的弦是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A,B,C,其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4),則該圓

弧所在圓的圓心坐標(biāo)為.

【答案】(2,0)

【解析】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心,

所以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心.

如圖所示，

則圓心是(2,0),

故答案為：(2,0).

13.如圖，ZPAC=3O°,在射線AC上順次截取仞=3cm,DB^YQcm,以。8為直徑作O

交射線針于E、尸兩點(diǎn)，則線段EF的長是cm.

【分析】過。點(diǎn)作于H,連。尸，根據(jù)垂徑定理得團(tuán)=切，在RtDAOH中,

AO=AD+O￡>=3+5=8,ZA=30°,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到

OH=1OA=4,再利用勾股定理計(jì)算出HF,由EF=2HF得到答案.

【解析】解：過。點(diǎn)作防于連OF,如圖

在RtDAOH中，AO=AD+Q￡>=3+5=8,ZA=30°,

貝1JOH=|oA=4,

在RtDOHF中，OH=4,OF=5,

則HF=yJOF2-OH2=3，

貝ljEF=2HF=6cm.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及勾股定理，熟悉相關(guān)

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在矩形A8CD中，AB=2,AD=\,以頂點(diǎn)。為圓心作半徑為「的圓.若要求另

外三個頂點(diǎn)48,C中至少有一個點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個點(diǎn)在圓外，則「的取值范圍是

【答案】l<r<75

【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來進(jìn)行判

斷.當(dāng)d>r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=i?時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d<r時，點(diǎn)在圓內(nèi).

【解析】解：在直角AABD中，CD=AB=2,AD=1,

則BD=j2，+12=5

由圖可知1<「<上，

故答案為：l<r〈石.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題要注意點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，要熟悉勾

股定理，及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

15.如圖，半圓。的半徑為2,E是半圓上的一點(diǎn)，將E點(diǎn)對折到直徑AB上(EELAB),

當(dāng)被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點(diǎn)時，則折痕CD的長度取值范圍是

.K

【答案】2>/3<CD<4

【分析】先找出折痕CD取最大值和最小值時，點(diǎn)E的位置，再利用折疊的性質(zhì)、垂徑定理、

勾股定理求解即可得.

【解析】由題意，有以下兩個臨界位置：

(1)如圖，當(dāng)被折的圓弧與直徑AB相切時，折痕CD的長度最短，此時點(diǎn)￡與圓心O重

合，

AO(E)B

連接OD,

由折疊的性質(zhì)得：。尸=EF=；OE=1,OEJ.CD,

OD=2,

在Rt/\DOF中，DF=^OEr-OF2=6，

由垂徑定理得：CD=2DF=26;

(2)當(dāng)CD和直徑AB重合時，折痕CD的長度最長，此時CD=AB=4,

又要使被折的圓弧與直徑AB至少有一個交點(diǎn)，

:.CD<4；

綜上，折痕CD的長度取值范圍是2gVCZ)<4,

故答案為：2『CD<4.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識點(diǎn)，正確找出兩個臨界位置是

解題關(guān)鍵.

出重廊考向

三、圓心角、弧:弦、弦心距之間的關(guān)系

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量

相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等

意例引布

一、單選題

1.下列說法中，正確的是()

A.等弦所對的弧相等B.等弧所對的弦相等

C.圓心角相等，所對的弦相等D.弦相等所對的圓心角相等

【答案】B

【分析】根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系判斷，注意條件.

【解析】A中，等弦所對應(yīng)的弧可以相等也可以互補(bǔ)構(gòu)成新圓；

8中，等弧所對應(yīng)的弦相等，故選B

C中，圓心角相等所對應(yīng)的弦可能互補(bǔ)；

。中，弦相等，圓心角可能互補(bǔ)；

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角，弧，弦之間的觀，此類試題屬于難度較大的試題，其中，弦和

圓心角等一些基本知識容易混淆，從而很難把握.

2.如圖，在一個圓內(nèi)有AB、CD、EF，若AB+CD=EF，則AB+C。與EF的大小關(guān)系是

A.AB+CD=EFB.AB+CD<EFC.AB+CD<EFD.AB+CD>EF

【答案】D

【分析】在弧EF上取一點(diǎn)M,使EM=C。，推出=根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系

得到AB=FM,CD=EM,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出FM+EM>FE即可.

【解析】如圖，在弧EF上取一點(diǎn)M,使EM=C。，

則FM=AB>

所以AB=FM,CD=EM,

在AMEF中，F(xiàn)M+EM>EF,

所以AB+CD>EF,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系等知識點(diǎn)的理解和掌握，能

正確作輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.在.。中，AB,CD為兩條弦，下列說法：①若=則AB=CO;②若AB=CO,

則AB=2C。；③若AB=2C￡>,則弧AB=2弧CD；④若ZAO3=2NCOD,則AB=2C￡>.

其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解答即可.

【解析】①若鉆=8,則48=CD，正確；

②若AB=CQ，則A3=C￡）,故不正確；

③由AB=2C￡）不能得到弧AB=2弧CD,故不正確；

④若NAO8=2NCO￡>,則"=2C￡>,錯誤.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條

弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等.也考查了等腰三角形

的性質(zhì).

4.如圖，扇形OAB的圓心角為90。，點(diǎn)C、D是AB的三等分點(diǎn)，半徑OC、OD分別與弦

AB交于點(diǎn)E、F,下列說法錯誤的是（）

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.ZDFB=75°

【答案】A

【解析】試題分析：利用點(diǎn)C,D是AB的三等分點(diǎn)，得出AC=CD=DB,

NAOC=NCOD=NBOD=；NAOB=30。，再求出NOBA的度數(shù)，利用外角求出NBFD的度

數(shù)，通過證△AOE^ABOF,得出OE=OF,則EC=FD.連接AC,在4ACE中，求證AE=AC,

貝ij可證CD=AE=BF,再根據(jù)CD>EF得AE、EF、FB關(guān)系.

解：：點(diǎn)C,D是AB的三等分點(diǎn)，

AC=CD=DB,/AOC=/COD=NBOD=』ZAOB=30°,

3

選項(xiàng)B正確；

VOA=OB,ZAOB=90°,AZOAB=ZOBA=45°,

ZAEC=ZOAB+ZAOC=45o+30°=75°,同理/DFB=75°,

故選項(xiàng)D正確.

/.ZAEO=ZBFO,

在AAOE和ABOF中，ZAEO=ZBFO,ZAOC=ZBOD,AO=BO,

/.△AOE^ABOF,

/.OE=OF,

???EC=FD,故選項(xiàng)C正確.

在AAOC中，VOA=OC,.,.ZACO=ZCAO=-(180°-30°)=75°,

2

.,.ZACO=ZAEC,

，AC=AE,同理BF=BD,

又：AC=CD=BD,

；.CD=AE=BF,

?在AOCD中，OE=OF,OC=OD,

，EF<CD,

；.CD=AE=BF>EF,故A錯誤.

故選A.

5.如圖，C、D為半圓上三等分點(diǎn)，則下列說法：①AD=CO=BC;②NAOD=/DOC=

ZBOC；③AD=CD=OC：④AAOD沿OD翻折與ACOD重合.正確的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】根據(jù)“在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相等”仔細(xì)找出等量關(guān)系

即可.

【解析】；C、力為半圓上三等分點(diǎn)，

AD=CD=BC<故①正確，

???在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等，等弧對的弦相，

；.AD=CD=OC,ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°,故②③正確，

VOA=OD=OC=OB,

AAAOD^ACOD^ACOB,且都是等邊三角形，

.?.△AOD沿OD翻折與ACOD重合.故④正確，

正確的說法有：①②③④共4個，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧和弦的關(guān)系，利用了在同圓或等圓中，等弧對的圓心角相等,

等弧對的弦相等和平角的概念求解.

6.如圖，A2是。。的直徑，C、。是。0上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧BAO的中點(diǎn)，連接C。、

CB、OD,CO與A8交于點(diǎn)F.若NAOZ)=100。，則NA8C的度數(shù)為()

A.15°B.20°C.25°D.30。

【答案】B

【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出/BO。，再根據(jù)點(diǎn)C為弧BA。的中點(diǎn)，求出/BOC的度

數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求出NABC的度數(shù).

【解析】?.?/4?？?100。，

ZBOD=180°-ZAOD=80°,

:點(diǎn)C為弧54。的中點(diǎn)

:.NBOC=NDOC=W(360°-80°)=140°

,/OC=OB

：.ZABC=ZBCO=~(180°-140°)=20°

故選B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓內(nèi)角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知圓心角、弧的關(guān)系.

二、填空題

7.120。的圓心角是360。的分之一，它所對的弧是相應(yīng)圓周長的分之一.

【答案】三三

【分析】根據(jù)題意可知由于圓周角為360。，則圓心角是120。的圓心角所對弧長是圓周長的

120。+360。=：,所以所對的弧長是相應(yīng)的圓的周長的：，據(jù)此解答即可.

【解析】解：120°+360°=g,

它所對的弧是相應(yīng)圓周長的］,

答：120。的圓心角是360。的三分之一，它所對的弧是相應(yīng)圓周長的三分之一.

故答案為：三；三.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的弧長和圓心角，注意掌握在同一個圓中，扇形的圓心角與360度的比

等于弧長與圓的周長的比.

8.如圖，已知點(diǎn)C是。。的直徑A8上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦QE,使CO=CO.若AO的度

數(shù)為35。，則BE的度數(shù)是.

【答案】105。.

【分析】連接OD、0E,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理求出NAOD=35。，根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【解析】解：連接0E,

ZAOD=3>5°,

?：CD=CO,

：.ZODC=ZAOD=35°,

\'OD=OE,

：.ZODC=ZE=35°,

：.ZDOE^180°-ZODC-Z180°-35°-35°=110°,

/AOE=/OOE-NAO￡>=110°-35°=75°,

ZBOE=180°-ZA0E=180°-75°=105°,

???BE的度數(shù)是105。.

故答案為105°.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧

相等，所對的弦也相等.

9.已知,如圖以AB為直徑的。O,BC，AB,AC交。O于點(diǎn)D,點(diǎn)E在。0上，若NDEB=25。,

則NC=_______

【答案】65°

【解析】試題分析：因?yàn)?0=8。，所以NDEB=NDAB=25。，因?yàn)锽C_LAB,所以

ZABC=90°,所以NC+NDAB=90°,所以/C=90°-NDAB=90°-25°=65°.

考點(diǎn)：1.圓周角定理及其推論、2.直角三角形的性質(zhì).

10.如圖，在平行四邊形ABC0中，ZC=60°,點(diǎn)A,8在O。上，點(diǎn)。在優(yōu)弧AQB上，

D4=08,則ZAOD的度數(shù)為.

【分析】連接0B,先由平行四邊形的性質(zhì)得/04B=NC=6O。，再由等腰三角形的性質(zhì)得

ZOBA=ZOAB=60°,則NAO8=60。，然后證￡>A=OB，即可得出NAOO=150。.

【解析】解：連接。B,如圖所示：

?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

二/OA8=/C=60。，

■：OA=OB,

.../08A=NOAB=60。，

NA08=180°-60°-60°=60°,

'：DA=DB,

,,DA=DB‘

...N40D=NB0￡?=g（360°-60°）=150°,

故答案為：150。.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形以及圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形以及

圓的有關(guān)性質(zhì).

三、解答題

11.已知：如圖，在。。中，弦AB與半徑OE、OF交于點(diǎn)C、D,AC=BD,求證:

（1）OC=OD：

（2）AE=BF-

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）證明：連接OA,OB,證明AOACg/XOBD（SAS）即可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)△OACgAOBD,得到NAOC=NBOD,即可得到結(jié)論.

【解析】（1）證明：連接OA,OB,

VOA=OB,

.?.ZOAC=ZOBD.

在ZkOAC與ZkOBD中,

OA=OB

AC=BD

AAOAC^AOBD(SAS).

，OC=OD.

(2)VAOAC^AOBD,

.\ZAOC=ZBOD,

,?AE=BF-

【點(diǎn)睛】此題考查同圓的半徑相等的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形等邊對等

角的性質(zhì)，相等的圓心角所對的弧相等的性質(zhì)，正確引出輔助線證明40AC絲AOBD是解

題的關(guān)鍵.

12.如圖，MB,是。。的兩條弦，點(diǎn)A,C分別在弧MB,弧上，且A8=C￡>,點(diǎn)

M是弧AC的中點(diǎn).

(I)求證：MB=MD；

(2)過。作OE_LMB于E,OE=1,。。的半徑是2,求的長.

【答案】(1)見解析；(2)2G

【分析】(1)根據(jù)圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系得出即可;

(2)根據(jù)垂徑定理，勾股定理求出ME,進(jìn)而求出MB即可.

【解析】證明：(1)-：AB=CD,

AB=CD，

又??,點(diǎn)”是弧AC的中點(diǎn)，

?*-AB+AM=MC+CD^

即：M4MD，

：.MB=MDi

(2)過。作OEJ_MB于E,則例E=BE,連接0例，

在R3MOE中，OE=1,。。的半徑。M=2,

ME=yloM2-OE2=722-l3=G，

:.MD=MB=2ME=2B

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，垂徑定理、勾股定理等知識，掌握垂徑定理、

勾股定理是正確計(jì)算的前提.

13.如圖，過、。的直徑AB上兩點(diǎn)",N,分別作弦CREF,CD//EF,AC=BF.

（2）AM=BN.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【分析】（1）連接OC、OF,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA=/OCA=NBFC=NB,等量代換得至l」/BFC=NACF.根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到NAMC=NANE.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】解：（1）如圖，連接OCOF.

ZCOA=ZBOF,

：.ZCOB=ZFOA.

BC=AF-

(2)ZCOA=ZBOF,OC=OF=OA=OB,

：.ZCAB=ZOCA=ABFC=ZABF,

:.ZBFC=ZACF.

,CDHEF,

ZAMC=ZANE.

又.ABNF=ZANE.

:.ZAMC=ZBNF.

在：AMC和BNF中，

.ZAMC=4BNF,

-ZCAB=ZABF,

AC=BF,

:..AMCaBNF（AAS）,

AM=BN.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角

形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.已知是。0的直徑，點(diǎn)C在OO上，。為弧8c的中點(diǎn).

（1）如圖①，連接AC,AD,0D,求證：OO〃AC；

（2）如圖②，過點(diǎn)。作QELAB交（DO于點(diǎn)E,直徑EF交AC于點(diǎn)G,若G為AC的中點(diǎn),

。。的半徑為2,求AC的長.

圖①圖②

【答案】（1）證明見解析；（2）2夜.

【分析】（1）連接50,由。為AC的中點(diǎn)，得BD=CD，則NBAO=NC4￡>，由等腰三角

形的性質(zhì)得=推出NC4D=NA￡>0,即可得出結(jié)論；

（2）由垂徑定理得OF,AC,由平行線的性質(zhì)得DOLEV,貝hOOE是等腰直角三角形，

ZOED=45°,易證△OGA是等腰直角三角形，得BG=@OB,再由BC=28G,即可得出結(jié)

2

果.

【解析】（1）證明：。為3c的中點(diǎn)，

「?BD=CD，

：.ZDAB=ZCAD,

OD=OB,

，ZDAB=ZADO,

：.ZCAD=ZADO,

:.OD//ACi

(2)解：G為AC中點(diǎn)，

OFrAC,AC=2AG

由(1)得：OD/1AC,

:.DO±EF,

ADOE是等腰直角三角形，

NOE。=45°,

■■DEA.AB,

:.NEOB=ZAOG=45°,

是等腰直角三角形，

AG----OA-x2=^2,

22

AC=2AG=2s/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性

質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握垂徑定理和平行線的判定與性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

15.已知。的直徑/出=4,弦AC與弦交于點(diǎn)E.且O￡)J_AC,垂足為點(diǎn)凡

(1)如圖1,如果AC=B￡),求弦AC的長；

(2)如圖2,如果E為弦5。的中點(diǎn)，求

【答案】(1)AC=2g;(2)紅

2

【分析】(1)連接OC,由垂徑定理、等弦得到等弧，根據(jù)同圓中弧與圓心角的關(guān)系可求出

N,通過解直角三角形求出，利用垂徑定理求出：

(2)連接2C,根據(jù)4B為直徑，得到NAR9=NC=90。，再得到NO=NEBC,證明

DEF空一BEC(ASA),求得是的中位線，設(shè)。尸=f,則根據(jù)BC=DF,求出的值，由

勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解.

【解析】如圖，連接。C，

D.

圖1

OD±AC,

AD=CD,ZAFO=90°

又AC=BD,

AC=BDBPAD+CD=CD+BC<

AD=BC,

AD=CD=BC，

ZAOD=/DOC=/BOC=60°

AB=4,

AO=BO=2,

AF=>/3

則AC=24尸=2石；

如圖2,連接BC,

AB為直徑，

OD±AC,:.^AFO=ZC=90°,

:.OD//BC,

:.ZD=ZEBC

DE=BE、NDEF=NBEC,

DEF^BEC(ASA)

:.BC=DF,EC=EF,

又,AO=OB,

.〔OF是45C的中位線，

設(shè)OF=f,

則8C=Db=2f,DF=DO-OF=2-t,

:.2—，=2r

解得：/=：2,

則。尸=8C=4,AC=JAI-BO?=J42-3=」播

3V93

112r

:.EF=-FC=—AC=-&

243

：.EF:DF=-y/2:-=—

332

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，弧，弦，圓心角定理，以及勾股定理，還考查了全等三角形

的判定和性質(zhì)，中位線定理，熟悉并靈活運(yùn)用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

t

3重田考向

四、直線與圓、血與圓的位置關(guān)系

1、直線和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系：設(shè)。。的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d,則直線和圓的位置關(guān)系如下表：

位置

圖形定義性質(zhì)及判定

關(guān)系

相離空直線與圓沒有公共點(diǎn)d>r=直線1與。。相離

直線與圓有唯一公共點(diǎn),直線叫

相切d=r=直線1與O0相切

做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)

直線與圓有兩個公共點(diǎn),直線叫

相交d<r=直線1與0。相交

做圓的割線

x/1

切線的性質(zhì)及判定

切線的性質(zhì)：

定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

切線的判定

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2、圓和圓的位置關(guān)系

圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定：設(shè)?！?、0°2的半徑分別為R、r（其中R>r）,

兩圓圓心距為d,則兩圓位置關(guān)系如下表：

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且每個

r■d>R+r<=>兩圓外

外離I,」1?二?圓上的點(diǎn)都在另一個圓的外

?，4離

部.

兩個圓有唯一公共點(diǎn)，并且除

d=R+ro兩圓外

外切了這個公共點(diǎn)之外，每個圓上

切

的點(diǎn)都在另一個圓的外部.

R-r<d<R+r<=>

相交兩個圓有兩個公共點(diǎn).

兩圓相交

兩個圓有唯一公共點(diǎn)，并且除

內(nèi)切了這個公共點(diǎn)之外，一個圓上d=R-r=兩圓內(nèi)切

的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部.

兩個圓沒有公共點(diǎn)，并且一個

圓上的點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)0Wd<R-r=兩圓

內(nèi)含

部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一內(nèi)含

種特例.

【說明】圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共

點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況.

定理1:相交圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

定理2：相切圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)。

總例引頷

一、單選題

1.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）已知圓01、圓。2的半徑不相等，圓。?的半徑長為5,

若圓。2上的點(diǎn)A滿足4a=5,則圓。與圓。2的位置關(guān)系是（）

A.相交或相切B.相切或相離C.相交或內(nèi)含D.相切或內(nèi)含

【答案】A

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，分類討論.

【解析】解：如圖所示：

A

°。a

當(dāng)兩圓外切時，切點(diǎn)A能滿足A。=5,當(dāng)兩圓相交時，交點(diǎn)A能滿足A01=5,

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，切點(diǎn)A能滿足A0I=5,當(dāng)兩圓相離時，圓。2上的點(diǎn)A不能滿足A。1=5,

所以，兩圓相交或相切，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法.

2.（2022春?上海青浦?九年級?？计谥校┤绻麅蓤A的半徑長分別為6與2,圓心距為4,那

么這兩個圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.外切D.相交

【答案】B

【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,且圓

心距為山外離，則d>R+r：外切，則"=/?+-；相交，則R-r<d<R+r；內(nèi)切，則d=R-r；

內(nèi)含，則d<R—r.

【解析】解：???兩圓半徑之差=6-2=4=圓心距，

兩個圓的位置關(guān)系是內(nèi)切.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了由兩圓位置關(guān)系的知識點(diǎn)，利用了兩圓內(nèi)切時，圓心距等于兩圓半徑的

差求解.

3.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）已知同一平面內(nèi)有。。和點(diǎn)A與點(diǎn)8,如果。0的半徑

為6cm,線段O4=10cm,線段。8=6cm,那么直線AB與。0的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

【答案】D

【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑大小的關(guān)系進(jìn)行判斷，即當(dāng)圓心到直線的距離小

于半徑時，直線與圓相交；圓心到直線的距離等于半徑時，直線與圓相切；圓心到直線的距

離大于半徑時，直線與圓相離.

【解析】解：的半徑為10cm,線段O4=10cm,線段O8=6cm,

...點(diǎn)A在以。為圓心，10cm長為半徑的圓上，點(diǎn)8在以。圓心，6cm長為半徑的。。上

當(dāng)A8_LOB時，如左圖所示，由。8=6cm知，直線AB與。。相切；

當(dāng)48與OB不垂直時，如右圖所示，過點(diǎn)O作于點(diǎn)。，則OD<OB,所以直線A3

與。。相交；

直線AB與。。的位置關(guān)系為相交或相切

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，要確定直線與圓的位置關(guān)系，要比較圓心到

直線的距離與半徑的大小，從而可確定位置關(guān)系.

4.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,6），圓P的半徑

為2,下列說法正確的是（）

A.圓尸與x軸有一個公共點(diǎn)，與），軸有兩個公共點(diǎn)

B.圓P與x軸有兩個公共點(diǎn)，與y軸有一個公共點(diǎn)

C.圓P與x軸、y軸都有兩個公共點(diǎn)

D.圓P與x軸、），軸都沒有公共點(diǎn)

【答案】B

【分析】點(diǎn)P到x軸的距離是G，到），軸的距離為2,圓P的半徑是2,所以可判斷圓P與

x軸相交，與y軸相切，從而確定答案即可.

【解析】解：：尸（2,73）.圓P的半徑為2,2=2,73<2,

...以P為圓心，以2為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相交，與y軸的位置關(guān)系是相切，

,該圓與x軸的交點(diǎn)有2個，與），軸的交點(diǎn)有1個.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，一般是利用圓心到直線的距離與半徑比較來

判斷.若圓心到直線的距離是比半徑是廣，則①d>r,直線和圓相離，沒有交點(diǎn)；②心r,

直線和圓相切，有一個交點(diǎn)；③dVr,直線和圓相交，有兩個交點(diǎn).

5.（2022春?上海閔行?九年級?？计谥校┤鐖D，在RtaAfiC中，ZC=9O°,AC=4,BC=1,

點(diǎn)。在邊BC上，8=3,4的半徑長為3,。與A相交，且點(diǎn)8在。外，那么：D

的半徑長，的取值范圍是（）

A

CDB

A.l<r<4B.2<r<4C.l<r<8D.2<r<8

【答案】B

【分析】連接AO,根據(jù)勾股定理得到4>=5,根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到r>5-3=2,

由點(diǎn)8在（力外，于是得到r<4,即可得到結(jié)論.

【解析】解：連接AO,

；AC=4,8=3,ZC=90°,

?*-AD=\/32+42=5

：A的半徑長為3,D與A相交，

r>5—3=2,

BC=7,

?*-BD=4）

1點(diǎn)8在（。外，

r<4,

/.力的半徑長，?的取值范圍是2<r<4,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d,則當(dāng)

d=r時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d>r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時，點(diǎn)在圓內(nèi).

6.（2022?上海?九年級專題練習(xí)）在四邊形43C3中，AD//BC,N48c=90。，AB=4,

3c=4,A￡>=1（如圖）.點(diǎn)。是邊8上一點(diǎn)，如果以。為圓心，為半徑的圓與邊BC

有交點(diǎn)，那么?！?gt;的取值范圍是（）

D

BC

A.2<OD<5B.2。。二

92

C.型4。旌笠D.絲484史

926926

【答案】C

【分析】分別畫出半徑最小和最大時的圖形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及切線的性質(zhì)列

方程求解即可.

【解析】解：如圖1,過點(diǎn)。作。于H,

圖1

則4?=3"=1,AB=DH=4,WC=4-1=3,

在Rt^EWC中，8="+42=5,

當(dāng)(。與BC相切時，此時。與線段BC有一個公共點(diǎn)，此時半徑最小,