近代科學(xué)革命牛頓

近代科學(xué)革命牛頓第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五微積分微積分是微分和積分的合稱。微分：求變化率（斜率、瞬時速度）積分：求積（曲線長、面積、體積）跟乘法和除法一樣，微分和積分兩之間互為反運算。所以合起來一起研究，稱之為微積分而微積分的問題，尤其求積分的問題，自古希臘以來就一直吸引著數(shù)學(xué)家們的興趣第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五積分：阿基米德求圓周率（窮盡法）由圓的內(nèi)接正六邊形出發(fā)，先算其周長，做為圓周長的一個近似值，然后再由此周長計算內(nèi)接正十二邊形的周長，作為圓周長更精確的近似值，如此邊數(shù)逐次倍增，則所得周長仍小于圓周長，卻越來越接近圓周長同時阿基米德用外切正多邊形從外面逼近圓周長一般而言，如果正n邊形和正2n邊形Sn和S2n之間有代數(shù)關(guān)系，只要知道Sn，則可知S2n當(dāng)內(nèi)接及外切正多邊形的邊數(shù)為96時，阿基米德得到了他的圓周估計值第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五17世紀新問題已知物體移動的距離表示為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度；或者反過來，已知物體的加速度表示為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度，或已知物體速度表示為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的移動距離．注意，上述問題如果對于勻速直線運動來考慮，當(dāng)時的數(shù)學(xué)工具已可以解決，但當(dāng)時天文學(xué)、力學(xué)等涉及許多非勻速運動，大多數(shù)也不是直線運動，所以要求新的數(shù)學(xué)工具．已知曲線求其切線．這不僅是幾何學(xué)的問題，而且也是許多其他科學(xué)問題的要求：物體作曲線運動時，在每一瞬間的速度方向是該曲線相應(yīng)的點的切線的方向；在光學(xué)中對光的折射和反射的研究要求出界面的法線方向，法線方向是由切線方向決定的．已知函數(shù)求函數(shù)的極大值和極小值．這與天文學(xué)和力學(xué)都有關(guān)，例如求行星運行的近日點和遠日點，拋射體的最大射程和最大高度等問題都可歸結(jié)為這種類型的問題．求曲線的長度．這是以計算行星或曲線運動的物體走過的路程為背景的；求曲線圍成的面積，以計算行星掃過的面積（見前開普勒定律的計算）為代表；求物體的重心、求兩個天體之間的引力等問題．

第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五窮盡法第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五動態(tài)無窮法第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五卡瓦列利：不可分量原理（無窮?。┰O(shè)三角形ABC與三角形DEF等底等高，設(shè)B'C'、E'F'分別是平行于BC、EF的線段。且距底邊等高，則由比例可知：B'C'=E'F'注意到B'C'、E'F'是任意的，其長度一直由BC和EF一直逼近到點A和點D。既然三角形ABC三角形DEF分別由相等的線段B'C'、E'F'所組成，所以兩三角形應(yīng)該有同樣的面積第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五卡瓦列利：不可分量原理（無窮?。┤绻麅蓚€平面圖形夾在同一對平行線之間，并且被任何與這兩條平行線保持等距的直線截得的線段都相等，則這兩個圖形的面積相等。類似的，如果兩個立體圖形處于于對平行平面之間，并且被任何與這兩個平行平面保持等距的平面截得的面積都相等，則這兩個立體的體積相等以橢圓的短軸為半徑做圓，做任一直線平行于長軸而得到橢圓的截線LL'及圓的截線MM‘，由坐標的計算可知LL'與MM'比值固定，所以由卡瓦列利原理可知第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五瞬時速度瞬間速度就是瞬間的平均速度。但是瞬間到底是多短呢？如果瞬間沒有長度，則在這瞬間內(nèi)距離沒有什么變化，所以不是數(shù)，自然不能表示速度，所以此路不通。但是如果瞬間一定要有長度，但所謂的長度如果是通常觀念中的長度，那么它的一半不也是長度嗎？那么瞬間怎么還能稱作瞬間呢？此路也不通。那么瞬間是到底是什么呢？有人想出絕招說：“瞬間的長度為無窮小”第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五微積分基本定理動態(tài)無窮法雖然使得求積進了一大步，可是繁復(fù)的步驟已經(jīng)求和、求極限的困難，都限制了它的應(yīng)用范圍。無窮小的方法雖然好使，但是用起來又太靈活了，基本無固定的規(guī)則可言，數(shù)學(xué)家使用的時候，什么時候保留，什么時候削去，基本是靠直覺“猜”出來的。而微積分基本定理的發(fā)現(xiàn)，就是說求積是求變化率的反運算，所以會求變化率就能解決很多求積的問題，而微分學(xué)有系統(tǒng)的發(fā)展后，求變化率的計算就變成遠較求積簡單的一種運算。第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五牛頓的貢獻假設(shè)某曲線y=f(x)下的面積為z，z和x的關(guān)系為z=axm，如果x增加了一點，這個可以用無窮小量o來表示，則面積增加了oy，（由此亦易知，y值剛好就是面積在增加了這么一點的時候的變化率，y＝Δz/Δx），于是有z+oy=a(x+o)m。右邊以二項級數(shù)展開得z+oy=a(xm+mxm-1o+含有o2的項)消去z=axm，再去掉o，則得

y=a(mxm-1+含有o的項)再去掉含有o的項，得y=amxm-1面積z在任意點x的變化率，正是曲線在x處的y值（amxm-1）而曲線y=amxm-1下的面積是axmoy＝Δz/Δx第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五牛頓提出的這種思想有兩個新的內(nèi)容．通過考慮在x點處的面積的瞬時增量得出面積的表達式，而不采取過去的那種用無限小面積之和來求面積的表達式的方法．也就是說，牛頓把確定變化率作為基本的步驟，換言之，以導(dǎo)數(shù)作為基本概念來定義積分．他證明了過去被看成無限小面積之和的面積能夠通過一點的變化率由微分（求導(dǎo)數(shù)）的逆過程得到，這一事實就是我們現(xiàn)在所說的微積分基本定理．但是牛頓的這種方法中有一個重要的邏輯問題：瞬間是什么？瞬間是一個無限小量，不可分的量．第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五牛頓的生平簡介艾薩克·牛頓生于舊歷1642年12月25日（新歷43年1月4日），早產(chǎn)、遺腹子，喜擺弄小玩具、小機械，做過風(fēng)車、燈籠、日晷，性情孤僻。12歲進中學(xué)，因寄宿在藥劑師家里而學(xué)會了化學(xué)實驗。1661年，18歲的牛頓進入劍橋大學(xué)深造。導(dǎo)師普林盧卡斯，首任教授巴羅。在巴羅指導(dǎo)下牛頓閱讀了開普勒的《光學(xué)》、笛卡爾的《幾何學(xué)》和《哲學(xué)原理》，伽利略的《對話》，胡克的《顯微圖》。掌握了最前沿的數(shù)學(xué)知識和光學(xué)知識。第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五牛頓的生平簡介1665年初大學(xué)畢業(yè)，倫敦瘟疫，停學(xué)回家。11月，發(fā)明流數(shù)運算法（微分運算）1666年1月，顏色理論，5月反流數(shù)運算（積分運算），同年推出平方反比例公式。1667年回到劍橋，當(dāng)選為三一學(xué)院的研究員。1668年獲碩士學(xué)位1669年受巴羅教授推薦接任盧卡斯教席，27歲。發(fā)現(xiàn)太陽光并非單色光，而是多種光的合成。相信折射式望遠鏡必定會出現(xiàn)色差。第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五牛頓的生平簡介1671年向皇家學(xué)會提交反射式望遠鏡，成為會員。1672年當(dāng)選為院士（30歲）。發(fā)表論文《光與色的理論》，展開與胡克的論戰(zhàn)。

“笛卡兒（的光學(xué)研究）邁出了很好的一步。你在一些方面又增添了許多，特別是對薄板顏色進行了哲學(xué)考慮。如果我看得更遠一點的話，是因為我站在巨人的肩膀上?！?676年因萊布尼茨發(fā)展微積分，而開始了兩人在信件往返與在期刊中公開論戰(zhàn)，一直持續(xù)到1716年萊布尼茨去世為止。1684年8月哈雷請教牛頓在與距離平方反比的力作用下行星做何運動。11月牛頓給出透徹數(shù)學(xué)證明《論運動》。1686年完成《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，1687年7月以拉丁文初版問世。第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五牛頓的生平簡介1689年擔(dān)任國會議員1695年接受皇家造幣廠督辦新職，遷居倫敦。1699年升任皇家造幣廠總監(jiān)。1701年11月再度擔(dān)任國會議員，12月正式辭去盧卡斯講座教授。1703年當(dāng)選為皇家學(xué)會主席。1704年出版《光學(xué)》。1705年賜封為爵士。1724年放棄造幣廠總監(jiān)與皇家學(xué)會主席職務(wù)。1727年3月20日睡夢中去世。第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》導(dǎo)論：包括定義（質(zhì)量、動量、慣性、力）、運動的三定律及相關(guān)的說明。絕對時空概念、運動合成法則、力的合成與分解法則、伽利略相對性原理。第一編：運用前面確定的基本定律研究引力問題第二編：討論物體在介質(zhì)中的運動第三編：“論宇宙體系”第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五導(dǎo)論:質(zhì)量與力定義一：物質(zhì)的量是物質(zhì)的度量，可由其密度和體積共同求出（質(zhì)量）牛頓發(fā)現(xiàn)一切物體在運動中都有某種共同的不變的東西，不管怎樣運動，受到怎樣的里，它的體積與密度的成績都是保持不變的，這個不變的東西就是物質(zhì)的量，研究物體的運動時，必須要考慮到它。定義二：運動的量是運動的度量，可由速度和物質(zhì)的量共同求出（動量）定義三：VisInsita，或物質(zhì)固有的力，是一種起抵抗作用的力，它存在于每一種物體當(dāng)中，大小與該物體相當(dāng)，并使之保持其現(xiàn)有的狀態(tài)，或是靜止，或是勻速直線運動（慣性）定義四：外力是一種對物體的推動作用，使其改變靜止的或勻速直線運動的狀態(tài)（力）第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五導(dǎo)論:絕對時間與絕對空間絕對時間：均勻地流逝著而同任何外部事物無關(guān)絕對空間：始終保持相同和不動絕對運動：一個物體從一個絕對位置向另一個絕對位置的平移慣性參照系：存在一組既不加速也不旋轉(zhuǎn)的參照系。沒有受到外力的物體相對于慣性參照系做勻速直線運動。在慣性參照系中，以及在兩個處于相對勻速運動中的參照系之間轉(zhuǎn)換時，牛頓定律是普遍適用的。第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五導(dǎo)論:運動三定律第一定律：每個物體都保持靜止、或勻速直線運動的狀態(tài)，除非有外力作用于它迫使它改變那個狀態(tài)第二定律：運動的變化正比于外力，變化的方向沿外力作用的直線方向第三定律：每一種作用都有一個相等的反作用；或者，兩個物體間的相互作用總是相等的，并且指向相反第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五第一編:萬有引力蘋果落地啟發(fā)了牛頓什么？把蘋果拉向地面的力可能和維持月球在其閉合軌道上運動的力是同一種力。檢驗的方法：根據(jù)什么定律，重力隨著與地球距離的增加而減少？根據(jù)這一定律和測得的在地球表面上的物體的加速度來計算，月球軌道處的重力加速度應(yīng)該有多大?假設(shè)月球的軌道是以地球為圓心的圓，計算月球的實際向心加速度是多少?確定由2.和3.得出的加速度在數(shù)值上是否相等，從而可以認為兩者是否由于同一種力的作用而引起第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五平方反比例定律圓周勻速運動的物體線速度是v，周期為T，半徑為r，向心加速度為a，則有a＝v2/rv＝2πr/T又根據(jù)開普勒第三定律，有：T2/r3＝kk為開普勒常數(shù)，于是有a＝4π2/kr2牛頓嘗試用它來計算月球的軌跡，可惜當(dāng)時測定的地球半徑是錯的，未能獲得滿意的計算結(jié)果，于是放棄萬有引力第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五萬有引力胡克、哈雷、里恩的咖啡館聚會牛頓的回答：在平方反比例定律的力的作用下的軌道是一個以吸引體為焦點的橢圓。如果圍繞引力中心的運動是橢圓運動，而此引力中心是橢圓的一個焦點，那么該力一定是平方反比例的力哈雷的鼓勵+精確的地球半徑值+牛頓的微積分技術(shù)一個所有與球心等距離的點上的密度都相等的球體在吸引一個外部質(zhì)點時，形同其全部質(zhì)量都集中在球心。因此可以把太陽系各天體看作是有質(zhì)量無體質(zhì)的質(zhì)點。結(jié)論：存在著一種與所有物體相關(guān)的地心引力，這一引力與它們包含的物質(zhì)的量成比例第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五萬有引力的本質(zhì)笛卡爾：力是一個物體對另一個物體的擠壓（基于微粒碰撞的理念）牛頓的力的概念：抽象的概念，對力的數(shù)學(xué)性質(zhì)的描述牛頓用抽象的力的概念統(tǒng)一了天上地下伽利略以來的自然數(shù)學(xué)化傳統(tǒng)對萬有引力的質(zhì)疑：超距作用牛頓：萬有引力只是數(shù)學(xué)描述，不是物理層面的原因機械論：超距作用無法還原成機械論模型自然數(shù)學(xué)化與機械論哲學(xué)的張力第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五牛頓的方法：數(shù)學(xué)和實驗的統(tǒng)一一切哲學(xué)困難似乎都在于這一點：從運動的現(xiàn)象來分析自然之力，再從自然之力來證明其他現(xiàn)象。通過實驗對現(xiàn)象進行簡化，抓住并精確確定一些基本概念（比如質(zhì)量的概念），以及發(fā)現(xiàn)一些關(guān)于運動和力的比較簡單的命題。（歸納方法）對這些命題進行數(shù)學(xué)闡釋。（演繹方法）必須做出進一步嚴格的實驗（經(jīng)驗主義），以便證實這些推論在任何新領(lǐng)域中的可應(yīng)用性，并且把它扔歸結(jié)到最普遍的形式在比較復(fù)雜的現(xiàn)象的情形中，檢驗可以得到定量處理的額外原因的出現(xiàn)并確定他們的值在這些額外原因的本質(zhì)依舊模糊的情形中，提出發(fā)展我們目前的數(shù)學(xué)工具的建議，以便更好的處理它們第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五“我不杜撰假說”我認為這些原理不是神秘的屬性，它們并不是從事物的特殊形式總結(jié)出來的，而是從自然界的普遍定律，事物自身也正是依據(jù)這些原理形成的；透過現(xiàn)象，我們可以看到它們的真理所在，盡管還不能發(fā)現(xiàn)它們的起因。因為這些現(xiàn)象是明顯的屬性，而它們的起因是神秘的。告訴我們每一物種天生具有一種神秘的具體屬性，等于沒有告訴我們?nèi)魏螙|西。但是從現(xiàn)象總結(jié)出二三個運動的普遍原理，然后告訴我們一切物體的性質(zhì)和作用是如何人遵循這些明確的原理的，這將是哲學(xué)上極大的進步，雖然我們并不知道這些原理的起因。因此我毫不猶豫地提出上述的運動原理，它們之涉及了一般的范圍，而它們的起因留待進一步去探討第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期五“我不杜撰假說”但至今我還沒能從現(xiàn)象種找到萬有引力屬性的起因，我并沒有杜撰任何假說；因為只有不是根據(jù)現(xiàn)象推導(dǎo)出來的才稱為假說；而且無論是形而上學(xué)的或是物理的假說，也無論是神秘屬性或機械論的假說，在實驗哲學(xué)中都是站不住腳的實驗哲學(xué)=自然數(shù)學(xué)化機械論哲學(xué)實驗