計(jì)算流體力學(xué)第講差分方法

計(jì)算流體力學(xué)第講差分方法2023/6/25第一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五第0節(jié)前言(1)有限差分法研究背景(2)研究CFD的手段研究CFD的理論手段研究CFD的實(shí)驗(yàn)手段研究CFD的計(jì)算手段2023/6/25第二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25傳統(tǒng)計(jì)算方法：有限差分法，有限體積法，有限元法，譜方法（譜元法）等；最近發(fā)展的方法:基于粒子的算法（格子-Boltzmann,BGK），無網(wǎng)格優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)適用范圍有限差分法簡單成熟，可構(gòu)造高精度格式處理復(fù)雜網(wǎng)格不夠靈活相對簡單外形的高精度計(jì)算有限體積法守恒性好，可處理復(fù)雜網(wǎng)格不易提高精度（二階以上方法復(fù)雜）復(fù)雜外形的工程計(jì)算有限元法基于變分原理，守恒性好對于復(fù)雜方程處理困難多用于固體力學(xué)等譜方法精度高外形、邊界條件簡單簡單外形的高精度計(jì)算LBM方法算法簡單，可處理復(fù)雜外形精度不易提高復(fù)雜外形的工程計(jì)算(1)有限差分法研究背景3CopyrightbyLiMingjun第三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/254流體力學(xué)理論研究實(shí)驗(yàn)研究數(shù)值研究

計(jì)算流體力學(xué)（數(shù)值計(jì)算技術(shù)、計(jì)算方法研究）理論研究：格式推導(dǎo)、穩(wěn)定性分析，精度及誤差分析，……數(shù)值實(shí)驗(yàn)：采用實(shí)際問題考核方法的正確性數(shù)值研究：采用數(shù)值計(jì)算推導(dǎo)格式、考察精度/穩(wěn)定性/分辨率……“計(jì)算流體力學(xué)”作為一個學(xué)科，其研究手段依然包括理論、實(shí)驗(yàn)及數(shù)值模擬。CopyrightbyLiMingjun第四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25與的依賴關(guān)系5(2)研究CFD的手段例：Fourier分析線性系統(tǒng)：線性方程+線性格式

任意函數(shù)都可分解為三角函數(shù)的疊加差分系統(tǒng)(解差分方程)初始值數(shù)值解（特定時刻離散的函數(shù)值）記為：是差分算子，把離散函數(shù)（有限點(diǎn)列）映射為另一個離散函數(shù)

{vi}與{ui}的依賴關(guān)系線性系統(tǒng)，可大為簡化波數(shù)空間單一的依賴關(guān)系：原理：線性系統(tǒng)，輸入一個波，只能輸出一個波（且波數(shù)不變）。非線性系統(tǒng)會產(chǎn)生多個諧波線性差分系統(tǒng)：針對一個單波，研究經(jīng)過差分系統(tǒng)后的變化就可以了解該系統(tǒng)。Fourier誤差分析；Fourier穩(wěn)定性分析理論分析的局限性：對于復(fù)雜系統(tǒng)（非線性方程、非線性格式）非常困難CopyrightbyLiMingjun研究CFD的理論手段第五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/256研究CFD的實(shí)驗(yàn)手段:例：精度分析思想：通過具體算例來研究（考核，分析…）差分方法典型的文章：提出方法+理論分析+算例驗(yàn)證差分離散理論方法，Taylor展開，求余項(xiàng)。對于復(fù)雜（如非線性）格式，難度大。實(shí)驗(yàn)方法，通過算例考核精度精確解:為該離散函數(shù)的模計(jì)算誤差:分析誤差對網(wǎng)格步長的依賴關(guān)系斜率為精度的階數(shù)（通常用最小二乘法計(jì)算）斜率為精度的階數(shù)nCopyrightbyLiMingjun常用的模：1模：2模：無窮模：第六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/257常用的驗(yàn)證算例（“實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證”）

考核方法通常找一些難度大的（條件苛刻、極端）的算例。否則，無法突出方法的優(yōu)越性。1維算例：Shu-OsherSod激波管，方波/尖波……Shu-Osher問題的計(jì)算結(jié)果（Lietal.Init.J.Num.Fluid.2005)航空領(lǐng)域權(quán)威的考核算例——DPW標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算模型CopyrightbyLiMingjun2維算例：前/后臺階、雙馬赫反射、二維Riemann問題、RT不穩(wěn)定性問題、翼型擾流、圓柱繞流3維復(fù)雜算例：各向同性湍流的DNS,槽道湍流的DNS,激波-邊界層干擾的DNS第七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/258研究CFD的計(jì)算手段例：差分格式構(gòu)造理論方法：手工推導(dǎo)系數(shù)（工作量大）

數(shù)值方法：通過數(shù)值手段推導(dǎo)系數(shù)數(shù)值求解，獲得系數(shù)

格式優(yōu)化；通過數(shù)值計(jì)算手段進(jìn)行Fourier分析;……CopyrightbyLiMingjun第八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五第1節(jié)有限差分法基本原理1.差分方法的基本概念2.時間項(xiàng)的離散3.數(shù)值算例4*.復(fù)雜網(wǎng)格的處理方法2023/6/25第九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/251.差分方法的基本概念離散點(diǎn)上利用Taylor展開，把微分轉(zhuǎn)化成差分…j-2j-1jj+1…（等距網(wǎng)格）10CopyrightbyLiMingjun第十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25多維問題

各方向獨(dú)自離散；（時間同樣考慮）比有限體積法計(jì)算量??；便于構(gòu)造高階格式；11CopyrightbyLiMingjun第十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25基本概念：截?cái)嗾`差差分表達(dá)式（1階）

精度（2階）12CopyrightbyLiXinlianga.差分表達(dá)式及截?cái)嗾`差第十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25b.前差、后差、中心差…j-2j-1jj+1…前前差中心差后差其他：向前（后）偏心差分；后13CopyrightbyLiXinliang第十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25差分方程如何確定精度？1）理論方法，給出誤差表達(dá)式2）數(shù)值方法，給出誤差對的數(shù)值依賴關(guān)系微分方程差分方程截?cái)嗾`差：14CopyrightbyLiXinliang經(jīng)差分離散后的方程，稱為差分方程第十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25d.差分方程的修正方程修正方程——差分方程準(zhǔn)確逼近（無誤差逼近）的方程差分方程截?cái)嗾`差微分方程=差分方程+截?cái)嗾`差

差分方程=微分方程-截?cái)嗾`差≡新的微分方程（修正方程）等價于修正方程15第十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25通常要求：修正方程中不出現(xiàn)時間的高價導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（便于進(jìn)行空間分析）修正方程主導(dǎo)項(xiàng)：1階；耗散型16第十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/2517e.顯格式及隱格式顯格式：無需解方程組就可直接計(jì)算n+1層的值；隱格式：必須求解方程組才能計(jì)算n+1層的值.第十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25e.守恒型差分格式基本思想：保證（整個區(qū)域）積分守恒律嚴(yán)格滿足稱為守恒型差分格式。其中：特點(diǎn)：消去了中間點(diǎn)上的值，只保留兩端物理含義：只要邊界上沒有誤差，總體積分方程不會有任何誤差。如果是準(zhǔn)確的，則也是準(zhǔn)確的（假設(shè)邊界條件沒有誤差）守恒性的例子：環(huán)形管道里的流動——總質(zhì)量保持不變早期——極為強(qiáng)調(diào)守恒性最近——重新認(rèn)識18守恒型方程定義：對于上述守恒型方程，差分格式第十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25關(guān)于守恒性格式的一些注解

注意：符號

與函數(shù)f在點(diǎn)的值無關(guān)！是j點(diǎn)周圍幾個點(diǎn)上f(或者u)值的函數(shù)，為一記號，CopyrightbyLiMingjun請勿理解為點(diǎn)的值！（1）流通量形式第十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25（2）常系數(shù)線性格式都是守恒的例如，差分格式：等價于其中20CopyrightbyLiMingjun第二十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25（3）

關(guān)于得到后，將j替換成j-1即可得到,無需單獨(dú)計(jì)算！21CopyrightbyLiMingjun（白白增加計(jì)算量）

守恒方程+守恒格式=守恒解第二十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/2522f.傳統(tǒng)型（非緊致）差分格式及緊致型差分格式傳統(tǒng)型：

運(yùn)用多個點(diǎn)函數(shù)值的組合逼近一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)…j-2j-1jj+1…緊致型：

多個點(diǎn)函數(shù)值的組合逼近多個點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值的組合例：CopyrightbyLiMingjun第二十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/2523例：聯(lián)立求解，多對角方程追趕法求解（LU分解法）緊致格式：

同樣的基架點(diǎn)，可構(gòu)造更高階格式CopyrightbyLiMingjun（最高）精度=自由參數(shù)個數(shù)-1（因?yàn)樽杂蓞?shù)更多）第二十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25CopyrightbyLiXinliang24一些”差分算子”記號約定：

一階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)一階精度前差上面兩個算子表示的差分格式形式可以任意，包括線性/非線性、低階/高階、普通/緊致……二階中心下面三個一階偏導(dǎo)數(shù)的差分算子有固定含義。一階精度后差…j-1jj+1…第二十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/252.時間項(xiàng)的離散(1)直接離散法——把時間導(dǎo)數(shù)直接差分離散1階Euler顯格式1階Euler隱格式2階Crank-Nicolson格式守恒方程第二十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25(2)Runge-Kutta格式這是目前最常使用的3步3階TVD型R-K方法。推薦！時間離散算子為：第二十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25在某一點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開，構(gòu)造格式(3)時-空耦合離散n+1nj-1jj+1(i)蛙跳格式n,j(ii)Lax-Wandrof格式第二十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25(iii)半隱錯點(diǎn)格式(iv)MacCormack格式第二十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25CopyrightbyLiMingjun算例1：有限差分法求解拋物型方程

一維非定常熱傳導(dǎo)方程

初始條件

t=0,T=T0(x)

邊界條件

既可以采用顯示法也可以采用隱式法。顯示格式:(a)(b)(c1)(c2)3.數(shù)值算例第二十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25CopyrightbyLiMingjunx=0x=L第三十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25CopyrightbyLiMingjun第三十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25CopyrightbyLiMingjun表1有限差分法計(jì)算結(jié)果(FDS)與解析解(AS)在x=0.3的對比數(shù)據(jù)(r=0.10)

第三十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25CopyrightbyLiMingjun表2有限差分法計(jì)算結(jié)果(FDS)與解析解(AS)在x=0.3的對比數(shù)據(jù)(r=0.50)

第三十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25CopyrightbyLiMingjun表3在不同空間位置有限差分法計(jì)算的結(jié)果(r=1)第三十四頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25CopyrightbyLiMingjun(d1)(d2)在i=0點(diǎn)，式(a)表述為如果選用中心差分公式，式(d1)可寫為

由式(e1)和式(e2)聯(lián)立消掉得

(e1)(f1)注：考慮以下邊界條件的情況第三十五頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25CopyrightbyLiMingjun在i=K點(diǎn)，式(a)表述為根據(jù)中心差分公式，在i=K點(diǎn)邊界條件可寫為第三十六頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/254*.復(fù)雜網(wǎng)格的處理方法(1)一維情況：

非均勻網(wǎng)格…j-2j-1jj+1…非均勻網(wǎng)格[0,1]的均勻網(wǎng)格

將方程由物理空間變到計(jì)算空間（以x為自變量變?yōu)橐詾樽宰兞浚┢渲袨橐阎瘮?shù)37物理坐標(biāo)計(jì)算坐標(biāo)

CopyrightbyLiMingjun…j-2j-1jj+1…方法1（常用）：

網(wǎng)格（Jacobian）變換第三十七頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25常用的一維坐標(biāo)變換函數(shù)：38要求：(1)

坐標(biāo)變換必須足夠光滑，否則會降低精度(2)網(wǎng)格間距變化要緩慢，否則會帶來較大誤差CopyrightbyLiMingjun網(wǎng)格非光滑、間距劇烈變化不會降低精度；隨機(jī)網(wǎng)格都可保證精度指數(shù)函數(shù)雙曲正切函數(shù)第三十八頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25方法2：

在非等距網(wǎng)格上直接構(gòu)造差分格式…j-2j-1jj+1…原理：直接進(jìn)行Taylor展開，構(gòu)造格式格式系數(shù)是坐標(biāo)（或網(wǎng)格間距）的函數(shù)解出系數(shù)注：系數(shù)隨網(wǎng)格點(diǎn)(j)變化！39CopyrightbyLiMingjun第三十九頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25(2)二維/三維情況坐標(biāo)變換均勻的直角網(wǎng)格40控制方程第四十頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25……三個方向共需計(jì)算9次導(dǎo)數(shù)，計(jì)算量大對流項(xiàng)可組合，求3次導(dǎo)數(shù)即可41第四十一頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/25RAE2822翼型周圍的網(wǎng)格42第四十二頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五第2節(jié)差分方法理論基礎(chǔ)2.差分格式穩(wěn)定性分析方法1.相容、收斂、穩(wěn)定性與Lax等價定理2023/6/25第四十三頁，共四十七頁，編輯于2023年，星期五

2023/6/251）相容性：2）收斂性：L2模：

模：44當(dāng)時間與空間步長均趨近于0時，差分方程的解趨近于微分方程的解，則稱差分方程的解收斂于原微分方程的解。注意！方程互相趨近解互相趨近（多值性、奇異性……）不一定等于只有連續(xù)函數(shù)才滿足（根據(jù)Lax等價定理，只有穩(wěn)定性條件滿足的情況下，方程趨近才能保證解趨近）含義：方程趨近含義：解趨近（更強(qiáng)）分別為差分方程和微分方程的解1.相容、收斂、穩(wěn)定性與Lax等價定理相似的例子：當(dāng)差分方程中，時間與空間步長均趨近于0時，差分方程的截?cái)嗾`差也趨近于