第四章固有特性近似計(jì)算

第四章固有特性近似計(jì)算第一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.1瑞利（Rayleigh）能量法先假設(shè)系統(tǒng)的振型，再用能量法計(jì)算其固有頻率。設(shè)有一n自由度系統(tǒng)，其質(zhì)量矩陣為[M],剛度矩陣為[K]，它的動(dòng)能與勢(shì)能為：系統(tǒng)作某階主振動(dòng)時(shí)，最大動(dòng)能與最大勢(shì)能：根據(jù)機(jī)械能守恒定律Tmax=Umax，可求：第二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五RI(A)稱(chēng)為第一瑞利商。當(dāng){A}分別取為系統(tǒng)的各階主振型{A(i)}時(shí)，即可求出各階固有頻率：注意：由于{A}是假設(shè)的振型，因此求出的各固有頻率只能是估計(jì)值；由于高階振型很難做出合理的假設(shè)，故一般只能估算最低階固有頻率。結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計(jì)算出來(lái)的w2確實(shí)接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實(shí)際值大（此即所謂的上限估值）。4.1瑞利（Rayleigh）能量法第三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計(jì)算出來(lái)的w2確實(shí)接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實(shí)際值大（此即所謂的上限估值）。證明如下：對(duì)于n自由度系統(tǒng)存在n個(gè)特征值wi2，對(duì)應(yīng)有n個(gè)特征矢量{AN(i)}(設(shè)已經(jīng)正則化），它們是相互線(xiàn)性獨(dú)立的，可以構(gòu)成n維線(xiàn)性空間的一個(gè)完備基。任何一個(gè)假設(shè)振型{A}都可以表示為n個(gè)正則振型{AN

(i)}的線(xiàn)性組合：其中c1，c2，…，cn為比例因子，表示相應(yīng)主振型在假設(shè)振型中所占比例的大小。若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，則有：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.1瑞利（Rayleigh）能量法假設(shè)上限估值結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計(jì)算出來(lái)的w2確實(shí)接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實(shí)際值大（此即所謂的上限估值）。第五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.1瑞利（Rayleigh）能量法結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計(jì)算出來(lái)的w2確實(shí)接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實(shí)際值大（此即所謂的上限估值）。第六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五將得：代入瑞利能量法也可用于由柔度矩陣[d]建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的情況：兩次導(dǎo)數(shù)代入上式，得：又因：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五同樣可以證明：對(duì)于同一假設(shè)振型{A},總存在有：即用第二瑞利商算出的固有頻率比用第一瑞利商算出的更接近真值。例4.1在如圖（例3.5）所示的三自由度系統(tǒng)，求此系統(tǒng)的固有頻率和主振型。解：前面已經(jīng)算出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣：柔度矩陣為：4.1瑞利（Rayleigh）能量法第八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五不妨先粗糙地取假設(shè)振型{A}=[111]T,由此假設(shè)振型可求得：若取{A}=[123]T,可求得：

若取{A}=[356]T,可求得：

4.1瑞利（Rayleigh）能量法第九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五第一個(gè)假設(shè)振型{A}=[111]T：相當(dāng)在質(zhì)量m1上沿坐標(biāo)方向作用一單位力時(shí)三個(gè)質(zhì)量的靜態(tài)位移的相對(duì)值。第二個(gè)假設(shè)振型{A}=[123]T：相當(dāng)在質(zhì)量m3上沿坐標(biāo)方向作用一單位力時(shí)三個(gè)質(zhì)量的靜態(tài)位移的相對(duì)值。第三個(gè)假設(shè)振型{A}=[356]T

：相當(dāng)在各質(zhì)量上沿坐標(biāo)方向同時(shí)作用一單位力時(shí)三個(gè)質(zhì)量的靜態(tài)位移的相對(duì)值。實(shí)際振型{A(1)}=[0.4550.8011.000]T實(shí)際第三種假設(shè)振型與實(shí)際最接近，其第二瑞利商與第一階固有頻率的平方最接近。第十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.2鄧克利（Dunkerley）法瑞利能量法給出了系統(tǒng)最低階固有頻率的上限估值。鄧克利法將給出系統(tǒng)最低階固有頻率的下限估值。n自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)位移方程：設(shè)解為：將其代入振動(dòng)位移方程，并以w2除全式，得振型方程：其特征方程為：第十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣[M]為對(duì)角陣時(shí)：特征方程變?yōu)椋杭矗赫归_(kāi)得：4.2鄧克利（Dunkerley）法特征方程：第十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五其剛度為：考慮到系統(tǒng)的固有頻率：則近似地只保留第一項(xiàng)1/w12。等式左邊：等式右邊：是第i個(gè)質(zhì)量處作用單位力時(shí)，系統(tǒng)在該處的柔度系數(shù)。設(shè)想系統(tǒng)只有一個(gè)質(zhì)量mi存在，則成為單自由度系統(tǒng)，設(shè)這種假想的系統(tǒng)的固有頻率為Wi，則有：故，有：4.2鄧克利（Dunkerley）法特征方程展開(kāi)后得將各階固有頻率代入特征方程并相加得第十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)最低階固有頻率的平方值w12的倒數(shù)，近似地等于各質(zhì)量mi（i=1，2，…，n）單獨(dú)存在時(shí)所得各固有頻率平方值Wi2的倒數(shù)的和。由于上式的左邊舍去了一些正數(shù)項(xiàng)，由此求出1/w12的比實(shí)際值偏大，即w12比實(shí)際值偏小，因此，用鄧克利法將給出系統(tǒng)最低階固有頻率的下限估值。上式右邊所有各項(xiàng)的和實(shí)際上是特征方程第二個(gè)矩陣的跡，故鄧克利法又叫跡法。鄧克利法也適用質(zhì)量矩陣為非對(duì)角陣的情況，只是對(duì)應(yīng)矩陣跡的計(jì)算復(fù)雜些。4.2鄧克利（Dunkerley）法這里：n階方陣主對(duì)角線(xiàn)上元素之和稱(chēng)為矩陣的跡。第十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.2用鄧克利法估算例3.5中系統(tǒng)的第一階固有頻率。解：在例4.1中已經(jīng)求出：則：其跡為：故：實(shí)際矩陣跡的表示符號(hào)第十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.3已知一均勻懸臂梁的第一階固有頻率式中EJ為梁的抗彎剛度，M為梁的質(zhì)量，l為梁長(zhǎng)。若在梁的自由端安裝一質(zhì)量為m的激振器，試用鄧克利法估算這時(shí)系統(tǒng)的一階固有頻率。并分別計(jì)算m為M/20、M/10、M/5和M/2時(shí)的一階固有頻率，說(shuō)明激振器質(zhì)量對(duì)均勻梁的一階固有頻率的影響。解：只考慮梁的質(zhì)量：懸臂梁端點(diǎn)的柔度為：只考慮激振器的質(zhì)量：第一階固有頻率：第十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五將m/M的各值代入上式，可得下表：表中的誤差是相對(duì)于W1的。加激振器后，梁的固有頻率有明顯的下降，只有當(dāng)激振器的質(zhì)量小于梁的重量的1/20時(shí)，才可以忽略其質(zhì)量對(duì)梁的固有頻率的影響。另外，考慮到鄧克利法給出的是下限估值，實(shí)際誤差比表中給出的要小些。激振器質(zhì)量對(duì)均勻梁的一階固有頻率的影響：第十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.4設(shè)如圖所示的二自由度系統(tǒng)，其中k1=ck，c為常數(shù)。用跡法估算其基頻（一階固有頻率），并將結(jié)果與準(zhǔn)確值作比較。解：分別只考慮一個(gè)質(zhì)量的假想系統(tǒng)如圖所示：串聯(lián)并聯(lián)第十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五式中，假設(shè)模態(tài)為n階列陣，可預(yù)先選定；李茲法不是直接給出假設(shè)振型，而是把它表示為s個(gè)（1<s<=n）獨(dú)立的假設(shè)模態(tài)（即假設(shè)振型）的線(xiàn)性組合。4.3李茲（Ritz）法李茲法是瑞利法的改進(jìn)。用李茲法不僅可以算出系統(tǒng)的基頻，還可算出系統(tǒng)的前幾階頻率和模態(tài)。李茲法將對(duì)近似振型做出合理的假設(shè)，從而使算出的基頻值進(jìn)一步下降。瑞利法算出的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對(duì)第一階主振型的近似程度，而且得到的基頻總是精確值的上限。S根據(jù)需要而定，一般小于n；Cj為待定系數(shù)。第十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五將假設(shè)振型代入第一瑞利商得：由于由瑞利商得出的是系統(tǒng)的一階固有頻率的上限估值，因此，待定系數(shù)cj的選擇應(yīng)使上式給出的固有頻率為最小。則：此式對(duì)任意待定系數(shù)cj的偏導(dǎo)數(shù)都應(yīng)等于零。4.3李茲（Ritz）法第二十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五得：由于：且：4.3李茲（Ritz）法階：1*s階：s*n階：1*n第二十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五得出：整理成矩陣方程：得：由于4.3李茲（Ritz）法第二十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.3李茲（Ritz）法第二十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五由確定的前s階固有頻率以及的逼真程度與開(kāi)始選定的s個(gè)假設(shè)模態(tài)有關(guān)。4.3李茲（Ritz）法第二十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.3李茲（Ritz）法第二十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.3李茲（Ritz）法第二十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五若將代入第二瑞利商經(jīng)過(guò)上述同樣的處理過(guò)程，可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為下述特征值問(wèn)題：4.3李茲（Ritz）法第二十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五將各段質(zhì)量等分兩半，分別置于其兩端部，各質(zhì)量之間由剛度為k的彈簧相連，k由每段桿的拉壓剛度確定為：例4.5圖為一等直桿，桿長(zhǎng)l，截面積為A，密度為r，試用聚縮質(zhì)量的方法將其離散為有限自由度系統(tǒng)，并用李茲法求桿作縱向振動(dòng)的第一階固有頻率及主振型的近似解。解：將桿分成四段，每段質(zhì)量：通過(guò)聚縮質(zhì)量將等直桿簡(jiǎn)化成四自由度系統(tǒng)。固定端處的質(zhì)量不參與振動(dòng)。第二十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五此離散系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和柔度矩陣分別為：因只求第一階固有頻率和主振型，故選取兩個(gè)假設(shè)模態(tài)：廣義質(zhì)量矩陣：第二十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五廣義剛度矩陣：特征方程：第三十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五特征方程：將代入特征矢量第三十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五同理，根據(jù)確定特征方程：特征矢量主振型第三十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五等直桿的精確解：第三十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.4矩陣迭代法n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)作用力方程:設(shè)方程的解為：代入作用力方程，消去得系統(tǒng)的主振型方程：第三十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五n自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)位移方程:設(shè)方程的解為：代入振動(dòng)位移方程，消去得系統(tǒng)的主振型方程：4.4矩陣迭代法第三十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的主振型方程：矩陣迭代法：從假設(shè)主振型出發(fā)，對(duì)上兩式進(jìn)行矩陣迭代運(yùn)算，從而算出系統(tǒng)的固有頻率和主振型。設(shè)動(dòng)力矩陣分析迭代計(jì)算：4.4矩陣迭代法第三十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五第一階固有頻率和主振型的矩陣迭代運(yùn)算方法：（1）任意選取一個(gè)經(jīng)過(guò)歸一化的假設(shè)振型用動(dòng)力矩陣[D]前乘它，并對(duì)矩陣相乘結(jié)果再進(jìn)行歸一化,得一新振型，即為新振型矢量歸一化后的系數(shù)。（2）如果就再?gòu)膡A}1開(kāi)始，重復(fù)上述步驟，得：為新振型矢量歸一化后的系數(shù)。4.4矩陣迭代法主振型方程：第三十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）如果繼續(xù)重復(fù)上述步驟。經(jīng)過(guò)k次矩陣乘法運(yùn)算后，得到：在規(guī)定的有效位數(shù)內(nèi)，當(dāng)發(fā)現(xiàn)就停止運(yùn)算。證明如下：對(duì)于n自由度系統(tǒng)存在n個(gè)特征值wi2，對(duì)應(yīng)有n個(gè)特征矢量{AN(i)}(設(shè)已經(jīng)正則化），它們是相互線(xiàn)性獨(dú)立的，可以構(gòu)成n維線(xiàn)性空間的一個(gè)完備基。任何一個(gè)假設(shè)振型{A}都可以表示為n個(gè)正則振型{AN

(i)}的線(xiàn)性組合：4.4矩陣迭代法第三十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)初始假設(shè)振型{A}0表示為系統(tǒng)主振型{A(i)}的線(xiàn)性組合：假設(shè)振型{A}0經(jīng)過(guò)第一次迭代后：4.4矩陣迭代法第三十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五經(jīng)過(guò)第二次迭代后：4.4矩陣迭代法第四十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.4矩陣迭代法第四十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.6用矩陣迭代法求例3.5中系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型。解：系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和柔度矩陣分別為：

系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣為：

第四十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣為：

取{A}0={111}T,進(jìn)行第一次迭代：

進(jìn)行第二次迭代：

第四十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五繼續(xù)重復(fù)迭代運(yùn)算，得：這時(shí)，有：第一階主振型為：第四十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五在例3.5中通過(guò)解頻率方程求出的三個(gè)固有頻率和主振型為：例4.6用矩陣迭代法求系統(tǒng)的第一階固有頻率和主振型。例4.1中通過(guò)瑞利能量法，在假設(shè)振型{A}=[111]T，求得：第四十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的主振型方程：4.4矩陣迭代法第四十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五在矩陣迭代法的證明中，設(shè)初始假設(shè)振型{A}0表示為系統(tǒng)主振型{A(i)}的線(xiàn)性組合：4.4矩陣迭代法第四十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五假設(shè)振型用前乘上式，根據(jù)主振型的正交性，可得：第

i

階主質(zhì)量?。杭纯稍诩僭O(shè)振型{A}0中清除前s階主振型分量，使迭代結(jié)果收斂于第s+1階固有頻率和主振型。4.4矩陣迭代法第四十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五S階清型矩陣（n*n階）4.4矩陣迭代法第四十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)力矩陣：清型變換后的動(dòng)力矩陣：4.4矩陣迭代法第五十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五需求第二階固有頻率和主振型時(shí)，每次迭代前須乘以動(dòng)力矩陣：需求第三階固有頻率和主振型時(shí)，每次迭代前須乘以動(dòng)力矩陣：動(dòng)力矩陣的遞推公式為：此種方法適用于正定系統(tǒng)。4.4矩陣迭代法第五十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五半正定系統(tǒng)：因不存在柔度矩陣，故不能用上述方法求其固有頻率和主振型。半正定系統(tǒng)的主振型方程：變成：再改為：4.4矩陣迭代法系統(tǒng)的主振型方程第五十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.7用矩陣迭代法求例3.5中系統(tǒng)的第二階和第三階固有頻率及主振型。（繼續(xù)例4.6）解：在例4.6中已求得系統(tǒng)的第一階固有頻率的平方值和主振型為：系統(tǒng)的第一階主質(zhì)量為：系統(tǒng)的第二階固有頻率和主振型：第五十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五動(dòng)力矩陣：在例4.6已求出第五十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五選取第二階初始振型為：第一次迭代，得：第二次迭代，得：迭代公式第五十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五如此繼續(xù)下去，得：第五十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五有系統(tǒng)的第二階主振型為：系統(tǒng)的第二階固有頻率的平方為：第五十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)的第三階固有頻率和主振型：第二階主質(zhì)量為：因選取第三階初始振型為：第五十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五各次迭代運(yùn)算的結(jié)果為：系統(tǒng)的第三階主振型為：系統(tǒng)的第三階固有頻率的平方為：第五十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3.5的結(jié)果：與例3.5的結(jié)果相比：頻率值相同，振型稍有不同，是計(jì)算的舍入誤差造成的。另外，由于第三假設(shè)振型較接近實(shí)際振型，迭代次數(shù)少。第六十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五

第四章

多自由度系統(tǒng)固有特性的近似計(jì)算固有特性的近似計(jì)算方法：瑞利能量法；鄧克利法；李茲法；矩陣迭代法；子空間迭代法；（略）傳遞矩陣法。第六十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法4.6.1軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)如圖為一鏈?zhǔn)捷S盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，各軸段的質(zhì)量不計(jì)，其扭轉(zhuǎn)剛度分別為k1、k2、…、kn，各圓盤(pán)的彈性變形不計(jì)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為I1、I2、…、In。分析第i個(gè)圓盤(pán)：鏈?zhǔn)捷S盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，用傳遞矩陣法計(jì)算其固有頻率和主振型。約定：（按右手螺旋規(guī)則），各圓盤(pán)的轉(zhuǎn)角矢朝右為正；作用于圓盤(pán)右端面的扭矩矢朝右為正；作用于圓盤(pán)左端面的扭矩矢朝左為正。將每個(gè)端面的轉(zhuǎn)角和扭矩組成一個(gè)狀態(tài)矢量{Z}，反映該處的運(yùn)動(dòng)與受力狀態(tài)。第i個(gè)圓盤(pán)右端面的狀態(tài)矢量第i個(gè)圓盤(pán)左端面的狀態(tài)矢量第六十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五第i個(gè)圓盤(pán)分離體的動(dòng)力學(xué)方程：設(shè)軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)：代入動(dòng)力學(xué)方程，得：圓盤(pán)左右兩端面轉(zhuǎn)角相等（忽略圓盤(pán)的彈性）：}第i個(gè)圓盤(pán)右端面的狀態(tài)矢量第i個(gè)圓盤(pán)左端面的狀態(tài)矢量4.6傳遞矩陣法第六十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五分析第i段軸：}4.6傳遞矩陣法第六十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五{第i段軸左右端狀態(tài)傳遞關(guān)系第i個(gè)圓盤(pán)左右端面狀態(tài)傳遞關(guān)系[C]i稱(chēng)為第i個(gè)傳遞矩陣4.6傳遞矩陣法點(diǎn)矩陣場(chǎng)矩陣第六十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第六十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五在上圖的鏈?zhǔn)捷S盤(pán)扭轉(zhuǎn)自由振動(dòng)系統(tǒng)中的邊界條件：第i個(gè)圓盤(pán)右端面的狀態(tài)矢量4.6傳遞矩陣法邊界條件：自由端:固定端：第六十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4.9用傳遞矩陣法求圖示三圓盤(pán)扭振系統(tǒng)的固有頻率和主振型。第一個(gè)圓盤(pán)左右端的點(diǎn)矩陣第二個(gè)傳遞矩陣第三個(gè)傳遞矩陣第六十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五第六十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五系統(tǒng)為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)第七十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五主鏈系統(tǒng)：支鏈系統(tǒng)：分支結(jié)構(gòu)的軸盤(pán)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，用傳遞矩陣法計(jì)算其固有頻率和主振型。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的三個(gè)圓盤(pán)所在的A軸。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的圓盤(pán)所在的B軸。4.6傳遞矩陣法第七十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法傳遞矩陣[C]i第七十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第七十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五{建立了1點(diǎn)左右兩端面的狀態(tài)矢量的關(guān)系4.6傳遞矩陣法第七十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五}4.6傳遞矩陣法第七十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6.2梁的彎曲振動(dòng)將梁結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成帶有若干集中質(zhì)量的彈性梁。4.6傳遞矩陣法第七十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第七十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第七十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法且：有：第七十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第八十頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五質(zhì)量mi梁li4.6傳遞矩陣法第八十一頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第八十二頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法第八十三頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.6傳遞矩陣法邊界條件：自由端:

邊界條件：固定端：第八十四頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五第八十五頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五

第四章

多自由度系統(tǒng)固有特性的近似計(jì)算1。瑞利能量法第一瑞利商RI(A)：第二瑞利商RII(A)：結(jié)論：若假設(shè)的{A}接近于第一階主振型{A(1)}，由瑞利能量法計(jì)算出來(lái)的w2確實(shí)接近于第一階固有頻率的平方值w12，而且比實(shí)際值大（此即所謂的上限估值）。第八十六頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五2。鄧克利法瑞利能量法給出了系統(tǒng)最低階固有頻率的上限估值。鄧克利法將給出系統(tǒng)最低階固有頻率的下限估值。振動(dòng)微分方程：特征方程：振型方程：第八十七頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五特征方程化為：系統(tǒng)最低階固有頻率的平方值w12的倒數(shù)，近似地等于各質(zhì)量mi（i=1，2，…，n）單獨(dú)存在時(shí)所得各固有頻率平方值Wi2的倒數(shù)的和。上式右邊所有各項(xiàng)的和實(shí)際上是特征方程中的第二個(gè)矩陣的跡，故鄧克利法又叫跡法。這里：n階方陣主對(duì)角線(xiàn)上元素之和稱(chēng)為矩陣的跡。第八十八頁(yè)，共一百零一頁(yè)，編輯于2023年，星期五式中，假設(shè)模態(tài)為n階列陣，可預(yù)先選定；李茲法不是直接給出假設(shè)振型，而是把它表示為s個(gè)（1<s<=n）獨(dú)立的假設(shè)模態(tài)（即假設(shè)振型）的線(xiàn)性組合。3。李茲（Ritz）法李茲法是瑞利法的改進(jìn)。用李茲法不僅可以算出系統(tǒng)的基頻，還可算出系統(tǒng)的前幾階頻率和模態(tài)。瑞利法算出的基頻的精度取決于假設(shè)的振型對(duì)第一階主振型的近似程度，而且得到的基頻總是精確值的上限。S根據(jù)需要而定，一般小于n；Cj為待定系數(shù)。第八十九頁(yè)，共一百零一頁(yè)，