高等數(shù)學(xué)方明亮 曲面及其方程

高等數(shù)學(xué)方明亮曲面及其方程2023/6/261第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距離的點的化簡得即說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.引例:1:顯然在此平面上的點的坐標(biāo)都滿足此方程,2:不在此平面上的點的坐標(biāo)不滿足此方程.解:設(shè)軌跡上的動點為軌跡方程.

（EquationsforaSurface)2023/6/262第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).定義12023/6/263第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六故所求方程為方程.特別,當(dāng)M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.例1

求動點到定點2023/6/264第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.的曲面.（課本例3）表示怎樣半徑為的球面.球心為例2研究方程2023/6/265第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六定義2

一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線.例如:(SurfaceofRevolution)2023/6/266第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:2023/6/267第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六求旋轉(zhuǎn)曲面方程時,平面曲線繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn),則該坐標(biāo)軸對應(yīng)的變量不變,而曲線方程中另一變量寫成該變量與第三變量平方和的正負(fù)平方根.思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？2023/6/268第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六的圓錐面方程.（課本例4）

解:

在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方例3試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為2023/6/269第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六分別繞x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為例4求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線(旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面）(旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面）（習(xí)題6-35）2023/6/2610第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六三、柱面引例

分析方程表示怎樣的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上表示圓C,沿曲線C平行于z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標(biāo)都滿足此方程,(Cylinder;CylindricalSurface)的曲面?2023/6/2611第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六平行定直線并沿定曲線C移動的直線l

形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于z軸;準(zhǔn)線為xoy面上的拋物線.

z軸的橢圓柱面.z軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C叫做準(zhǔn)線,l叫做母線.定義32023/6/2612第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3:H(z,x)=0.母線柱面,準(zhǔn)線

xoy

面上的曲線l1

:F(x,y)=0.母線準(zhǔn)線

yoz面上的曲線l2

:G(y,z)=0.母線一般地,在三維空間2023/6/2613第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法

其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數(shù)不全為0)(QuadricSurface;SurfaceofSecondOrder)2023/6/2614第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x或y方向的伸縮變換得到,見書P202)1.橢圓錐面(EllipticCone)2023/6/2615第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓2.橢球面(Ellipsoid)2023/6/2616第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c時為球面.(3)截痕:為正數(shù))2023/6/2617第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六3.拋物面(Paraboloid)(1)橢圓拋物面(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）特別,當(dāng)a=b時為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.xyzxyz2023/6/2618第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六(1)單葉雙曲面(HyperboloidofOneSheet)橢圓.時,截痕為(實軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:4.雙曲面(Hyperboloid)2023/6/2619第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六虛軸平行于x軸）時,截痕為時,截痕為(實軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:2023/6/2620第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面:系數(shù)二項正,一項為負(fù).雙葉雙曲面:系數(shù)一項正,二項負(fù).圖形(2)雙葉雙曲面(HyperboloidofTwoSheets)（a、b、c是正數(shù)）2023/6/2621第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2023/6/2622第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:2.二次曲面2023/6/2623第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六課外練習(xí)P204習(xí)題6－31；3(2)(4);4;6（奇數(shù)題）；7；8（2）（3）；92023/6/2624第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期六斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y軸的直線平行于yoz面的平面圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平