高等數(shù)學(xué)第一

高等數(shù)學(xué)第一課件第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.列舉法描述法一、集合

第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六2.集合的運(yùn)算設(shè)A.B是兩個(gè)集合第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合，則有下列法則成立：（1）交換律（2）結(jié)合律例如：第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六（3）分配律（4）對(duì)偶律證明（僅證對(duì)偶律的第一式）所以反之，因?yàn)榈诹?，共四十頁，編輯?023年，星期六設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合,稱為集合A與集合B的直積例如:于是所以第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六3、區(qū)間和鄰域設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)且a<b.數(shù)集第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六鄰域:1).數(shù)集2).數(shù)集第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六1、映射概念二、映射其中y稱為元素（在映射下）的像，并記作,即定義設(shè)X、Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則，使得對(duì)X中每個(gè)元素，按法則，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱為從X到Y(jié)的映射，記作第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六而元素稱為元素y（在映射下）的一個(gè)原像;集合X稱為映射的定義域，第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六（2）注意：（1）構(gòu)成一個(gè)映射必須具備以下三個(gè)要素：集合X，即定義域第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例1例2第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例3注：在幾何上映射表示將平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間[-1，1]。對(duì)于中的元素，除=（1，0）或（-1，0）外，它的原像不唯一。第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六注：1）2）設(shè)是從集合X到集合Y的映射.3）若既是單射，又是滿射，則稱為一一映射。例1中的映射，既非單射，又非滿射；例2中的映射是滿射，但不是單射；例3中的映射為一一映射。第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六2.逆映射

由于只有單射才存在逆映射，所以，在例1、2、3中只有例3中的映射才存在逆映射第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六3.復(fù)合映射設(shè)有兩個(gè)映射注：１.由復(fù)合映射的定義可知，映射g和構(gòu)成復(fù)合映射的條件是：2.映射和的復(fù)合是有順序的.有意義，第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例４第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六１.函數(shù)概念定義設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D上的函數(shù)，通常簡記為其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域,記為三、函數(shù)函數(shù)值的全體所構(gòu)成的數(shù)集第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六函數(shù)的兩要素：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的,或者就是不同的.約定：用算式表達(dá)的函數(shù)，其定義域是使得算式有意義的自變量所能取的一切實(shí)數(shù)值.例如例如在函數(shù)定義中,對(duì)每個(gè)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的，這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù)。如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，按照這個(gè)法則，對(duì)每個(gè)總有確定的實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，但y值不總是唯一的，則稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù)。第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例如變量x和y之間的對(duì)應(yīng)法則由方程給出，根據(jù)故所給定方程確定了一個(gè)多值函數(shù)。第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例5例6第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例7函數(shù)1-1xyo第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例8

設(shè)x為任一實(shí)數(shù).不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x].12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyoY=[x]第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例9函數(shù)

第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六2.函數(shù)的幾種特性(1).函數(shù)的有界性注:第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六(2)．函數(shù)的單調(diào)性:xyo第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六xyo第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六(3)．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x奇函數(shù)yxox-x第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六(4)．函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)注第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六復(fù)合函數(shù)第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六注：復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.例如4.函數(shù)的運(yùn)算和（差）積商第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六例11證先分析如下：假若這樣的g(x)、h(x)存在，使得且于是有（1）（2）利用（1）、（2）式，就可作出g(x)、h(x).這就啟發(fā)我們作如下證明：作第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六則證畢.5.初等函數(shù)第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六以上這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).例如都是初等函數(shù).第三十七頁，