高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用 理

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課件理第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十一章算法初步、推理證明、復(fù)數(shù)第四節(jié)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六[考情展望]

1.考查數(shù)學(xué)歸納法的原理和證明步驟.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明與等式、不等式或數(shù)列有關(guān)的命題．第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六主干回顧基礎(chǔ)通關(guān)固本源練基礎(chǔ)理清教材第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六[基礎(chǔ)梳理]第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六1．判斷正誤，正確的打“√”，錯誤的打“×”．(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n＝1時結(jié)論成立．(

)(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明．(

)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，歸納假設(shè)可以不用．(

)(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由n＝k到n＝k＋1時，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)．(

)(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，驗(yàn)證n＝1時，左邊式子應(yīng)為1＋2＋22＋23.(

)(6)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時，n0＝3.(

)[基礎(chǔ)訓(xùn)練]答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)√第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六解析：因?yàn)榧僭O(shè)n＝k(k≥2且k為偶數(shù))時命題成立，故下一個偶數(shù)為k＋2.第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六解析：從n到n2共有n2－n＋1個數(shù)，所以f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)．第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六4．凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和為f(k＋1)＝f(k)＋________.解析：易得f(k＋1)＝f(k)＋π.答案：π第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六答案：2k第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六試題調(diào)研考點(diǎn)突破精研析巧運(yùn)用全面攻克第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六┃考點(diǎn)一┃用數(shù)學(xué)歸納法證明等式——自主練透型第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是幾；2．由n＝k到n＝k＋1時，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．自我感悟解題規(guī)律第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六┃考點(diǎn)二┃用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式——自主練透型第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六1．用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k時成立得n＝k＋1時成立，主要方法有①放縮法；②利用均值不等式法；③作差比較法等．自我感悟解題規(guī)律第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六[調(diào)研3]用數(shù)學(xué)歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n為正整數(shù)．[思路點(diǎn)撥]

當(dāng)n＝k＋1時，把42(k＋1)＋1＋3k＋3配湊成42k＋1＋3k＋2的形式是解題的關(guān)鍵．┃考點(diǎn)三┃用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題——師生共研型第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，P(k)?P(k＋1)的整式變形是個難點(diǎn)，找出它們之間的差異，然后將P(k＋1)進(jìn)行分拆、配湊成P(k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能被p整除且P(k＋1)－P(k)能被p整除?P(k＋1)能被p整除．”名師歸納類題練熟第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六已知n為正整數(shù)，a∈Z，用數(shù)學(xué)歸納法證明：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．[好題研習(xí)]證明：①當(dāng)n＝1時，an＋1＋(a＋1)2n－1＝a2＋a＋1，能被a2＋a＋1整除．②假設(shè)n＝k時，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，那么當(dāng)n＝k＋1時，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋ak＋2－ak＋1(a＋1)2＝(a＋1)2[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－ak＋1(a2＋a＋1)能被a2＋a＋1整除．即當(dāng)n＝k＋1時命題也成立．根據(jù)①②可知，對于任意n∈N＋，an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除．第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六[思路點(diǎn)撥]

關(guān)鍵是搞清n＝k到n＝k＋1時對角線增加的條數(shù)，看頂點(diǎn)的變化可知對角線的變化從而可解．┃考點(diǎn)四┃用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題——自主練透型第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六(2)平面上有n個圓，每兩圓交于兩點(diǎn)，每三圓不過同一點(diǎn)，求證這n個圓分平面為n2－n＋2個部分．[證明]

①當(dāng)n＝1時，n2－n＋2＝1－1＋2＝2，而一個圓把平面分成兩部分，所以n＝1命題成立．②設(shè)n＝k時，k個圓分平面為k2－k＋2個部分，則n＝k＋1時，第k＋1個圓與前k個圓有2k個交點(diǎn)，這2k個交點(diǎn)分第k＋1個圓為2k段，每一段都將原來所在的平面一分為二，故增加了2k個平面塊，共有(k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2個部分．∴對n＝k＋1也成立．由①②可知，這n個圓分割平面為n2－n＋2個部分．第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個變成k＋1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析；事實(shí)上，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧．自我感悟解題規(guī)律第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六名師叮囑素養(yǎng)培優(yōu)學(xué)方法提能力啟智培優(yōu)第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六[審題視角]

(1)將n＝1,2,3代入已知等式得a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．(2)利用分析法，結(jié)合x>0，y>0，x＋y＝1，利用基本不等式可證．[規(guī)范答題]歸納、猜想、證明第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期六[答題模板]

第一步：尋找特例a1，a2，a3等．第二步：猜想an的公式．第三步：轉(zhuǎn)換遞推公式為an與an－1的關(guān)系．第四步：用數(shù)學(xué)歸納法證明an.①驗(yàn)證遞推公式中的第一個自然數(shù)n＝2.②推證ak＋1的