新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)

新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)第五章計(jì)數(shù)原理TOC\o"1-5"\h\z\u1計(jì)數(shù)原理 -1-1.1計(jì)數(shù)原理 -1-1.2計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 -4-2排列 -7-2.1排列與排列數(shù) -7-2.2排列數(shù)公式 -7-3組合 -11-3.1組合 -11-3.2組合數(shù)及其性質(zhì) -11-4二項(xiàng)式定理 -15-4.1二項(xiàng)式定理 -15-4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) -20-1計(jì)數(shù)原理1.1計(jì)數(shù)原理1．分類加法計(jì)數(shù)原理(1)定義：完成一件事，可以有n類辦法，在第1類辦法中有m1種方法，在第2類辦法中有m2種方法，……在第n類辦法中有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱“加法原理”)(2)分類加法計(jì)數(shù)原理的理解分類加法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事有n類辦法”，是指完成這件事的所有方法可以分為n類，即任何一類中的任何一種方法都可以完成任務(wù)，n類中沒有相同的方法，且完成這件事的任何一種方法都在某一類中．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理(1)定義：完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不可，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事共有N＝m1·m2·…·mn種方法．(也稱“乘法原理”)(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理的理解新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。分步乘法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事需要n個(gè)步驟”，是指完成這件事的任何一種方法，都需要分成n個(gè)步驟．在每一個(gè)步驟中任取一種方法，然后相繼完成這兩個(gè)步驟就能完成這件事，即各個(gè)步驟是相互依存的，每個(gè)步驟都要做完才能完成這件事．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。如何區(qū)分“分類”還是“分步”？[提示]如果完成這件事，可以分幾種情況，每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù)，則是分類；而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù)，且只有依次完成各種情況，才能完成這件事，則是分步．疑難問題類型1分類加法計(jì)數(shù)原理【例1】設(shè)有5幅不同的油畫，2幅不同的國(guó)畫，7幅不同的水彩畫．從這些油畫、國(guó)畫、水彩畫中只選一幅布置房間，有幾種不同的選法？[思路點(diǎn)撥][解]選一幅畫布置房間分三類計(jì)數(shù)：第一類：選油畫，有5種不同的選法；第二類：選國(guó)畫，有2種不同的選法；第三類：選水彩畫，有7種不同的選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有N＝5＋2＋7＝14種不同的選法．分類時(shí)，首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時(shí)要注意滿足兩條基本原理：1完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。2分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.,前者保證完成這件事的方法不遺漏，后者保證不重復(fù)，即分類要做到不重不漏.新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。類型2分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】某大學(xué)食堂備有6種葷菜，5種素菜，3種湯．現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，問可以配制成多少種不同的品種？[思路點(diǎn)撥][解]完成這件事是配制套餐，選一個(gè)葷菜，選一個(gè)素菜，選一個(gè)湯，因此需分三步完成此事，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：配制成不同的套餐品種共有6×5×3＝90種．解決分步乘法計(jì)數(shù)問題的思考過程是1明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，怎樣才算是完成這件事；2完成這件事如何進(jìn)行分步，每一步中有多少種方法；3完成這件事共有多少種方法.類型3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【例3】已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從兩個(gè)集合中任取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．18B．16C．14D．10[思路點(diǎn)撥]新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。C[完成這件事是確定第一、二象限內(nèi)的總的坐標(biāo)，確定點(diǎn)的坐標(biāo)可分兩步完成，一是先確定橫坐標(biāo)，二是確定縱坐標(biāo)；而哪個(gè)集合中的元素作橫坐標(biāo)，哪個(gè)集合中的元素作縱坐標(biāo)，需要分兩類完成．因此，完成此事可分兩類辦法．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。第一類，以集合M中的元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，集合N中的元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)．在集合M中任取一個(gè)元素，有3種不同的方法，而適合題意的點(diǎn)在第一、二象限，必須且只需從集合N中的5，6中取1個(gè)，有2種不同的取法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3×2＝6個(gè)不同的點(diǎn)．第二類，以集合N中的元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，集合M中的元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)．在集合N中任取一個(gè)元素，有4種不同的方法，而適合題意的點(diǎn)在第一、二象限，必須且只需從集合M中的1，3中取1個(gè)，有2種不同的取法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理有4×2＝8個(gè)不同的點(diǎn)．由分類加法計(jì)數(shù)原理，得第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)共有6＋8＝14個(gè)．]應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問題的方法1分清是“分類”還是“分步”；2清楚“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么；3“分類”時(shí)，要遵循“不重、不漏”的原則；在“分步”時(shí)，要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序，注意“步”與“步”之間的連續(xù)性.歸納總結(jié)1．加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類中的各種方法相互獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事．2．乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干個(gè)步驟，每個(gè)步驟都完成了，才算完成一個(gè)事件，注意各步驟間的連續(xù)性即不漏步驟也不重步驟．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。1.2計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別：原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)完成一件事不同點(diǎn)與分類有關(guān)與分步有關(guān)每類方法都能完成這件事，它們是相互獨(dú)立的，且每一次得到的都是最后結(jié)果，只需一種方法就可以完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不可能獨(dú)立地完成這件事，缺少任何一步都不可能完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事各類方法之間是互斥的，并列的，獨(dú)立的各步之間是有關(guān)聯(lián)的，不獨(dú)立的疑難問題類型1與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題【例1】從0到9十個(gè)數(shù)字中選出4個(gè)組成一個(gè)四位數(shù)，問組成的數(shù)字不重復(fù)的四位偶數(shù)共有多少個(gè)？[思路點(diǎn)撥]本題就要根據(jù)0在末位和0不在末位的情況來解．[解]0在末位時(shí)，十、百、千分別有9、8、7種安排方法，共有9×8×7＝504個(gè)；0不在末位時(shí)，2，4，6，8中的一個(gè)在末位，有4種排法，首位有8種(0除外)，其余兩位各有8、7種排法．∴共有4×8×8×7＝1792個(gè)．由以上知，共有符合題意的偶數(shù)為1792＋504＝2296個(gè)．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。1．對(duì)于數(shù)字問題的計(jì)數(shù)：一般按特殊位置(末位或首位)由誰占分類，每類中再按特殊位置(或元素)優(yōu)先的方法分步來計(jì)數(shù)；但當(dāng)分類較多時(shí)，可用間接法．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。2．注意合理的畫出示意圖，直觀的展出問題的實(shí)質(zhì)．類型2與幾何有關(guān)的計(jì)數(shù)問題【例2】如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60B．48C．36D．24B[長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×6＝36，另含4個(gè)頂點(diǎn)的6個(gè)面(非表面)構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是36＋12＝48．]兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在解決實(shí)際問題時(shí)常采用的方法類型3涂色(種植)問題【例3】用5種不同的顏色給圖中所給出的四個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法？新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。[思路點(diǎn)撥]按1，2，3，4順序涂色時(shí)，2，3區(qū)域顏色的異同對(duì)4有影響，所以應(yīng)注意分類討論．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。[解]完成該件事可分步進(jìn)行．涂區(qū)域1，有5種顏色可選．涂區(qū)域2，有4種顏色可選．涂區(qū)域3，可先分類：若區(qū)域3的顏色與2相同，則區(qū)域4有4種顏色可選．若區(qū)域3的顏色與2不同，則區(qū)域3有3種顏色可選，此時(shí)區(qū)域4有3種顏色可選．所以共有5×4×(1×4＋3×3)＝260種涂色方法．涂色種植問題的一般思路1為便于分析問題，應(yīng)先給區(qū)域種植的品種標(biāo)上相應(yīng)序號(hào).2按涂色種植的順序分步或按顏色種植的品種恰當(dāng)選取情況分類.3利用兩個(gè)原理計(jì)數(shù).歸納總結(jié)1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)就是將“完成一件事”分解成若干個(gè)事件來完成；不同點(diǎn)是一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)．2．在解決組數(shù)問題，選(抽)問題，涂色(種植)問題時(shí)，一定要分清完成一件事是做什么？是分類還是分步？為何分類、分步等問題．2排列2.1排列與排列數(shù)2.2排列數(shù)公式新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。1．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．我們把有關(guān)求排列的個(gè)數(shù)的問題叫作排列問題．2．排列數(shù)及排列數(shù)公式排列數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)排列數(shù)表示法Aeq\o\al(m,n)排列數(shù)公式乘積式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)階乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)性質(zhì)Aeq\o\al(0,n)＝10?。?備注n，m∈N＋，m≤n兩個(gè)排列相同的條件是什么？[提示]這兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素排列的順序也相同．疑難問題類型1排列的定義【例1】判斷下列問題是否為排列問題．(1)選2個(gè)小組分別去種樹和種菜，共有多少種選法；(2)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，共有多少選法；(3)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員、生活委員，共有多少種選法；(4)某班40名學(xué)生在假期相互通信，共需寫多少封信．[思路點(diǎn)撥]解決本題的關(guān)鍵是要明確排列的定義，看選出的元素在安排時(shí)是否與順序有關(guān)，若與順序有關(guān)，則是排列問題，否則就不是排列問題．[解](1)中種樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題；(2)中不存在順序問題，不屬于排列問題；新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。(3)中每個(gè)人的職務(wù)不同，例如甲當(dāng)班長(zhǎng)與甲當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題；新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。(4)中A給B寫信與B給A寫信是不同的，所以存在著順序問題，屬于排列問題．所以在上述各題中(1)、(3)、(4)屬于排列問題．1．保證是排列問題應(yīng)滿足兩個(gè)條件：(1)元素互異；(2)元素有序．2．判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路類型2排列數(shù)的計(jì)算或化簡(jiǎn)【例2】計(jì)算或化簡(jiǎn)下列各式：(1)Aeq\o\al(2,15)；(2)Aeq\o\al(8,8)；(3)eq\f(A\o\al(m－1,n－1)·A\o\al(n－m,n－m),A\o\al(n－1,n－1))；(4)1?。?·2！＋…＋n·n??；(5)eq\f(1,2！)＋eq\f(2,3！)＋…＋eq\f(n－1,n！)．[思路點(diǎn)撥]利用排列數(shù)公式和階乘的定義進(jìn)行計(jì)算，并考慮排列數(shù)之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)可減少運(yùn)算量．[解](1)Aeq\o\al(2,15)＝15×14＝210；(2)Aeq\o\al(8,8)＝8?。?×7×6×5×4×3×2×1＝40320；(3)eq\f(A\o\al(m－1,n－1)·A\o\al(n－m,n－m),A\o\al(n－1,n－1))＝eq\f(n－1！,[n－1－m－1]！)·(n－m)！·eq\f(1,n－1！)新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。＝eq\f(n－1！,n－m！)·(n－m)！·eq\f(1,n－1！)＝1；新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。(4)1！＋2·2?。玭·n！＝(2！－1)＋(3?。?！)＋…＋[(n＋1)?。璶！]＝(n＋1)?。?；(5)∵eq\f(n－1,n！)＝eq\f(1,n－1！)－eq\f(1,n！)，∴eq\f(1,2！)＋eq\f(2,3！)＋…＋eq\f(n－1,n！)＝eq\f(1,1！)－eq\f(1,2！)＋eq\f(1,2！)－eq\f(1,3！)＋…＋eq\f(1,n－1！)－eq\f(1,n！)＝1－eq\f(1,n！)．1．排列數(shù)的第一個(gè)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)適用于具體計(jì)算以及解當(dāng)m較小時(shí)含有排列數(shù)的方程和不等式，在運(yùn)用該公式時(shí)要注意它的特點(diǎn)．2．排列數(shù)的第二個(gè)公式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，適用于與排列數(shù)有關(guān)的證明，解不等式等，在具體運(yùn)用時(shí)，則應(yīng)注意先提取公因式，再計(jì)算，同時(shí)還要注意隱含條件“m≤n且m，n∈N＋”的運(yùn)用．3．常見技巧(1)n·n?。?n＋1)！－n?。?2)eq\f(n－1,n！)＝eq\f(1,n－1！)－eq\f(1,n！)；(3)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)．類型3簡(jiǎn)單的排列問題[探究問題]1．6個(gè)人站成一排照相，問有多少種不同的排法？新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。[提示]共有Aeq\o\al(6,6)＝6×5×4×3×2×1＝720種．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。2．6個(gè)人站成前后兩排照相，要求前排2人，后排4人，問有多少種不同的排法？[提示]共有Aeq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(4,4)＝(6×5)×(4×3×2×1)＝720種．3．6個(gè)人站成前后兩排照相，要求前排3人，后排3人，問有多少種不同的排法？[提示]共有Aeq\o\al(3,6)×Aeq\o\al(3,3)＝(6×5×4)×(3×2×1)＝720種．4．通過前面的探究，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？[提示]本題實(shí)際上和6個(gè)人站成一排照相共有多少種不同排法的問題完全相同，所以不同的排法總數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720種．因此“分排”問題可“直排”處理．【例3】(1)寫出從4個(gè)不同元素a、b、c、d中任取3個(gè)元素的所有排列，并指出有多少種不同的排列？(2)從3、5、7、8中任意選兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，能構(gòu)成多少個(gè)不同的對(duì)數(shù)值？[思路點(diǎn)撥](1)依據(jù)排列的定義，用枚舉法求解；(2)看能不能把問題歸結(jié)為排列問題，若能，進(jìn)一步確定m與n的取值．[解](1)由題意作樹形圖，如下．故所有的排列為abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．共有Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24種．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。(2)選出的任意兩個(gè)數(shù)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)時(shí)，構(gòu)成的對(duì)數(shù)值是不一樣的，因此是一個(gè)有序問題，應(yīng)用排列去解．故能構(gòu)成Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12個(gè)不同的對(duì)數(shù)值．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。解決簡(jiǎn)單的排列問題的方法1要看能不能把問題歸結(jié)為排列問題，也就是判斷問題是否與順序有關(guān)，如果與順序有關(guān)，就可歸結(jié)為排列問題來解；如果與順序無關(guān)，則不能用排列問題求解.2分析問題中n個(gè)不同元素指的是什么，m個(gè)元素指的是什么，從n個(gè)不同元素中每次取出m個(gè)元素的每一個(gè)排列對(duì)應(yīng)著問題里的什么事件，最后再根據(jù)排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝nn－1n－2…n－m＋1進(jìn)行計(jì)算.歸納總結(jié)1．排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”．2．有關(guān)排列數(shù)公式的應(yīng)用，應(yīng)注意選擇哪種形式的公式，還要注意其隱含條件．3組合3.1組合3.2組合數(shù)及其性質(zhì)1．組合及組合數(shù)的概念新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。(1)組合：一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)個(gè)元素為一組，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫作從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示．2．組合數(shù)公式及其性質(zhì)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)性質(zhì)1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)性質(zhì)2Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)規(guī)定Ceq\o\al(0,n)＝1從組合數(shù)的定義這個(gè)角度，怎樣理解組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)？[提示](1)對(duì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)的理解：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，剩下(n－m)個(gè)元素，也就是說，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，都對(duì)應(yīng)于從n個(gè)不同元素中取(n－m)個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合，反過來也如此，因此有Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)．(2)對(duì)Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)的理解：設(shè)a是(n＋1)個(gè)元素中的一個(gè)元素，從(n＋1)個(gè)元素取m個(gè)元素的組合可分為不含元素a和含元素a兩類．不含a這一類，從(n＋1)個(gè)元素中取m個(gè)元素的組合，相當(dāng)于從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的組合，組合數(shù)為Ceq\o\al(m,n)；含a的這一類，a必被取出，從(n＋1)個(gè)元素中取m個(gè)元素的組合，相當(dāng)于從其余的n個(gè)元素中取(m－1)個(gè)元素的組合，組合數(shù)為Ceq\o\al(m－1,n)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，有Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)．疑難問題類型1組合概念新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。【例1】判斷下列問題是排列問題還是組合問題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù)．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。(1)10個(gè)人相互寫一封信，共寫出了多少封信？(2)10個(gè)人相互通一次電話，共通了多少次電話？(3)10支球隊(duì)以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每?jī)申?duì)比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場(chǎng)次？(4)從10個(gè)人中選3人去開會(huì)，有多少種選法？(5)從10個(gè)人中選出3人擔(dān)任3個(gè)不同學(xué)科的科代表，有多少種選法？[解](1)是排列問題，因?yàn)榘l(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的，排列數(shù)為Aeq\o\al(2,10)＝90．(2)是組合問題，因?yàn)榧着c乙通一次電話，也就是乙與甲通一次電話，沒有順序區(qū)別，組合數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝45．(3)是組合問題，因?yàn)槊績(jī)芍蜿?duì)比賽一次，沒有順序的區(qū)別，組合數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝45．(4)是組合問題，因?yàn)檫x出的3個(gè)人之間沒有順序的區(qū)別，組合數(shù)為Ceq\o\al(3,10)＝120．(5)是排列問題，因?yàn)?個(gè)人擔(dān)任哪一科的科代表是有區(qū)別的，排列數(shù)為Aeq\o\al(3,10)＝720．區(qū)分排列與組合的方法是看事件是否有順序，而區(qū)分事件有無順序的方法是：把問題的一個(gè)選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置，若對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，即說明有順序，是排列問題；若對(duì)結(jié)果沒有影響，即說明無順序，是組合問題.類型2組合數(shù)公式及性質(zhì)的應(yīng)用【例2】(1)計(jì)算：①3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；②Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)；③Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋…＋Ceq\o\al(3,10)．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。(2)證明：Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＋2Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋2)．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。[解](1)①3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＝148．②∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(38－n≤3n，,3n≤21＋n，))∴9.5≤n≤10.5，∵n∈N*，∴n＝10，∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝eq\f(30！,28！×2！)＋eq\f(31！,30！)＝466．③法一：原式＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(4,5)－Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(4,5)＋…＋Ceq\o\al(4,11)－Ceq\o\al(4,10)＝Ceq\o\al(4,11)＝330．法二：原式＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,10)＝…＝Ceq\o\al(4,10)＋Ceq\o\al(3,10)＝Ceq\o\al(4,11)＝330．(2)證明：法一：左邊＝eq\f(n！,m＋1！n－m－1！)＋eq\f(n！,m－1！n－m＋1！)＋eq\f(2n！,m！n－m！)＝eq\f(n！,m＋1！n－m＋1！)[(n－m)(n－m＋1)＋m(m＋1)＋2(m＋1)(n－m＋1)]＝eq\f(n！,m＋1！n－m＋1！)(n＋2)(n＋1)＝eq\f(n＋2！,m＋1！n－m＋1！)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋2)＝右邊，原結(jié)論得證．法二：利用公式Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n－1)＋Ceq\o\al(m－1,n－1)推得左邊＝(Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n))＋(Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n))＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＋Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋2)＝右邊．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。1．組合數(shù)的兩個(gè)公式的應(yīng)用范圍新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))一般偏向于具體組合數(shù)的計(jì)算；公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)常用于有關(guān)組合數(shù)的恒等式的證明．2．關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)1(Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n))(1)該性質(zhì)反映了組合數(shù)的對(duì)稱性，即從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，都對(duì)應(yīng)著剩下的n－m個(gè)元素的一個(gè)組合，反過來也一樣，這是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．(2)當(dāng)m＞eq\f(n,2)時(shí)，通常不直接計(jì)算Ceq\o\al(m,n)，而改為計(jì)算Ceq\o\al(n－m,n)．3．關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)2(Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n))(1)形式特點(diǎn)：公式的左端下標(biāo)為n＋1，右端下標(biāo)為n，相差1，上標(biāo)左端與右端的一個(gè)相同，右端的另一個(gè)比它們少1；(2)作用：常用于有關(guān)組合數(shù)式子的化簡(jiǎn)或組合數(shù)恒等式的證明．應(yīng)用時(shí)要注意公式的正用、逆用和變形用．正用是將一個(gè)組合數(shù)拆成兩個(gè)，逆用則是“合二為一”，使用變形Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)，為某些項(xiàng)前后抵消提供了方便，在解題中要注意靈活應(yīng)用．類型3簡(jiǎn)單的組合問題【例3】現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。[思路點(diǎn)撥]第(1)小題選2名教師不考慮男女，實(shí)質(zhì)上是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)的組合問題，可用直接法求解．第(2)小題必須選男、女教師各2名，才算完成所做的事，因此需要分兩步進(jìn)行，先從6名男教師中選2名，再?gòu)?名女教師中選2名，可用直接法求解．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。[解](1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(種)．(2)從6名男教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,6)種，從4名女教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,4)種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，因此共有不同的選法Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(6×5,2×1)·eq\f(4×3,2×1)＝90(種)．解簡(jiǎn)單的組合問題的方法1先判斷它是不是組合問題，取出的元素只是組成一組，與順序無關(guān)則是組合問題；取出元素排成一列，與順序有關(guān)則是排列問題.2由上面得出組合排列數(shù)，然后用公式計(jì)算.歸納總結(jié)1．組合的定義中包括兩個(gè)內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“組成一組”是與順序無關(guān)的問題．2．與組合數(shù)有關(guān)的計(jì)算或證明，要合理地選擇公式，計(jì)算時(shí)，一般用Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1…n－m＋1,m！)，而證明時(shí)，一般用Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用組合數(shù)性質(zhì)Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(y,n)解題時(shí)，易誤認(rèn)為一定有x＝y(tǒng)，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤．事實(shí)上，Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(y,n)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y(tǒng)或x＝n－y,x≤n，y≤n,x，y∈N))．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。4二項(xiàng)式定理4.1二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫作二項(xiàng)式定理．2．相關(guān)概念(1)公式右邊的多項(xiàng)式叫作(a＋b)n的二項(xiàng)展開式；(2)各項(xiàng)的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k∈{0，1，2，…，n})叫作二項(xiàng)式系數(shù)；(3)展開式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫作二項(xiàng)式通項(xiàng)，記作Tk＋1，它表示展開式的第k＋1項(xiàng)；(4)在二項(xiàng)式定理中，如果設(shè)a＝1，b＝x，則得到公式(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn．(1＋2x)n的二項(xiàng)展開式是什么？其第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和第5項(xiàng)的系數(shù)各是什么？[提示](1＋2x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)2x＋Ceq\o\al(2,n)(2x)2＋Ceq\o\al(3,n)(2x)3＋…＋Ceq\o\al(n,n)(2x)n．其第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(4,n)，第5項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(4,n)·24＝16Ceq\o\al(4,n)．疑難問題類型1二項(xiàng)式定理的正用與逆用【例1】(1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)的展開式；(2)求值Ceq\o\al(1,n)＋3Ceq\o\al(2,n)＋9Ceq\o\al(3,n)＋…＋3n－1Ceq\o\al(n,n)．[思路點(diǎn)撥](1)直接利用二項(xiàng)式定理展開，也可以先化簡(jiǎn)再展開；(2)先化成二項(xiàng)展開式的形式，然后逆用二項(xiàng)式定理求解．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第18頁(yè)。[解](1)法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3eq\f(1,\r(x))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(2)＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(3)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2)．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第18頁(yè)。法二：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x＋1,\r(x))))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,x2)(1＋3x)4＝eq\f(1,x2)[1＋Ceq\o\al(1,4)3x＋Ceq\o\al(2,4)(3x)2＋Ceq\o\al(3,4)(3x)3＋Ceq\o\al(4,4)(3x)4]＝eq\f(1,x2)(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝eq\f(1,x2)＋eq\f(12,x)＋54＋108x＋81x2．(2)原式＝eq\f(1,3)(3Ceq\o\al(1,n)＋32Ceq\o\al(2,n)＋33Ceq\o\al(3,n)＋…＋3nCeq\o\al(n,n))＝eq\f(1,3)(Ceq\o\al(0,n)×1n＋Ceq\o\al(1,n)×1n－1×31＋Ceq\o\al(2,n)×1n－2×32＋…＋Ceq\o\al(n,n)3n－1)＝eq\f(1,3)[(1＋3)n－1]＝eq\f(4n－1,3)．1．(a＋b)n的二項(xiàng)展開式有n＋1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是：(1)各項(xiàng)的次數(shù)都等于n；(2)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n．2．逆用二項(xiàng)式定理，可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想．注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開式的特點(diǎn)靠攏．類型2利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)【例2】已知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(eq\s\up12(n))的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第19頁(yè)。(1)求n；新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第19頁(yè)。(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng)．[思路點(diǎn)撥]利用展開式中的通項(xiàng)公式求出當(dāng)x的次數(shù)為0時(shí)n的值，再求解(2)(3)問．[解](1)由通項(xiàng)公式知，展開式中第k＋1項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)·(eq\r(3,x))n－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,n)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up8(\f(1,3))))eq\s\up12(n－k)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)·xeq\s\up8(－\f(1,3))))eq\s\up12(k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)·Ceq\o\al(k,n)xeq\s\up12(eq\f(n－2k,3))．∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，∴k＝5，且n－5×2＝0，∴n＝10．(2)由(1)知Tk＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)·Ceq\o\al(k,10)·xeq\s\up12(eq\f(10－2k,3))．令eq\f(10－2k,3)＝2，則k＝2．∴x2的系數(shù)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)·Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(1,4)×45＝eq\f(45,4)．(3)當(dāng)Tk＋1為有理項(xiàng)時(shí)，eq\f(10－2k,3)為整數(shù)，0≤k≤10，且k∈N*．令eq\f(10－2k,3)＝z，則k＝5－eq\f(3,2)z，因?yàn)閦為偶數(shù)，從而求得當(dāng)z＝2，0，－2時(shí)，k＝2，5，8符合條件．∴有理項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,10)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)x2＝eq\f(45,4)x2，T6＝Ceq\o\al(5,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(5)＝－eq\f(63,8)，T9＝Ceq\o\al(8,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(8)x－2＝eq\f(45,256)x－2．求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題，一般需要建立方程求k，再將k的值代回通項(xiàng)求解，注意k的取值范圍k＝0，1，2，…，n.新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第20頁(yè)。1第m項(xiàng)：此時(shí)k＋1＝m，直接代入通項(xiàng)；新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第20頁(yè)。2常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)保钔?xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程；3有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程.,特定項(xiàng)的系數(shù)問題及相關(guān)參數(shù)值的求解等都可依據(jù)上述方法求解.求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的系數(shù)【例3】(1)(多項(xiàng)式是積的形式)(1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為()A．12B．16C．20D．24(2)(多項(xiàng)式是和的形式)已知(1＋ax)3＋(1－x)5的展開式中含x3的系數(shù)為－2，則a等于()A．2eq\r(3)B．2C．－2D．－1(3)(三項(xiàng)展開式問題)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A．10B．20C．30D．60(1)A(2)B(3)C[(1)展開式中含x3的項(xiàng)可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數(shù)為1×Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(1,4)＝12．(2)(1＋ax)3＋(1－x)5的展開式中x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,3)a3＋Ceq\o\al(3,5)(－1)3＝a3－10＝－2，則a3＝8，解得a＝2．(3)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項(xiàng)為T3＝Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3·y2．其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Ceq\o\al(1,3)x4·x＝Ceq\o\al(1,3)x5．所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30．法二：(x2＋x＋y)5表示5個(gè)x2＋x＋y之積．∴x5y2可從其中5個(gè)因式中，兩個(gè)取因式中x2，剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取x，其余因式取y，因此x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝30．]新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第21頁(yè)。1．求幾個(gè)多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)：可先分別化簡(jiǎn)或展開為多項(xiàng)式和的形式，再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的每一種情形，求出相應(yīng)的特定項(xiàng)，最后進(jìn)行合并即可．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第21頁(yè)。2．求幾個(gè)多項(xiàng)式和的特定項(xiàng)：先分別求出每一個(gè)多項(xiàng)式中的特定項(xiàng)，再合并，通常要用到方程或不等式的知識(shí)求解．3．三項(xiàng)展開式特定項(xiàng)：(1)通常將三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式積的形式，然后利用多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問題的處理方法求解；(2)將其中某兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，直接利用二項(xiàng)式展開，然后再分類考慮特定項(xiàng)產(chǎn)生的所有可能情形．類型3利用二項(xiàng)式定理解決整除問題【例4】求證：32n＋2－8n－9(n∈N＋)能被64整除．[思路點(diǎn)撥]可將32n＋2寫成(8＋1)n＋1，然后利用二項(xiàng)式定理展開．[解]32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝Ceq\o\al(0,n＋1)8n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)8n＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)·82＋Ceq\o\al(n,n＋1)·8＋Ceq\o\al(n＋1,n＋1)－8n－9＝Ceq\o\al(0,n＋1)8n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)8n＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)·82＋8(n＋1)＋1－8n－9＝Ceq\o\al(0,n＋1)8n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)8n＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)82，該式每一項(xiàng)都含因式82，故能被64整除．整除性問題或求余數(shù)的處理方法(1)構(gòu)造一個(gè)與題目條件有關(guān)的二項(xiàng)式；(2)用二項(xiàng)式定理處理整除問題時(shí)，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項(xiàng)式定理展開，只需考慮后面(或者是前面)一、兩項(xiàng)就可以了；(3)要注意余數(shù)的范圍，若a＝cr＋b，其中b為余數(shù)，b∈[0，r)，r是除數(shù)．利用二項(xiàng)式定理展開、變形后，若剩余部分是負(fù)數(shù)，則要注意轉(zhuǎn)化．新教材北師大版高新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第22頁(yè)。歸納總結(jié)1．二項(xiàng)式定理主要解決了三類問題，一類是求二項(xiàng)式的展開式；二是求二項(xiàng)式的某些特定項(xiàng)；三是利用二項(xiàng)式定理解決整除或求余數(shù)問題．2．要注意在二項(xiàng)式的展開式中某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系．4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)楊輝三角的特點(diǎn)(1)每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n)．(2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即Ceq\o\al(k,n＋1)＝Ceq\o\al(k－1,n)＋Ceq\o\al(k,n)．(3)在(a＋b)n的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n．若一個(gè)集合有n個(gè)元素，則它有多少個(gè)子集？為什么？[提示]由分類加法原理知，其子集個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n．疑難問題類型1與楊輝三角有關(guān)的問題新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第23頁(yè)?！纠?】在楊輝三角中，每個(gè)數(shù)值是它肩上的兩個(gè)數(shù)之和，這個(gè)三角形中開頭幾行如圖所示．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第23頁(yè)。試求在楊輝三角中的某一行會(huì)出現(xiàn)相鄰的三個(gè)數(shù)，它們的比是3∶4∶5嗎？[思路點(diǎn)撥]楊輝三角可直觀地得出二項(xiàng)式系數(shù)的值，但它僅適用于(a＋b)n中n值較小時(shí)．[解]楊輝三角的第n行是二項(xiàng)式(a＋b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，即Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，Ceq\o\al(2,n)，…，Ceq\o\al(k,n)，…，Ceq\o\al(n,n)．如果第n行中有三個(gè)連續(xù)的系數(shù)之比為3∶4∶5，那么就有一個(gè)正整數(shù)k，使得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＝\f(C\o\al(k－1,n),C\o\al(k,n))，,\f(4,5)＝\f(C\o\al(k,n),C\o\al(k＋1,n)).))從而有即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＝\f(\f(n！,k－1！n－k＋1！),\f(n！,k！n－k！))＝\f(k,n＋1－k)，,\f(4,5)＝\f(\f(n！,k！n－k！),\f(n！,k＋1！n－k－1！))＝\f(k＋1,n－k).))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋3＝7k，,4n－5＝9k.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝62，,k＝27.))∴在第62行中存在連續(xù)的三個(gè)數(shù)Ceq\o\al(26,62)，Ceq\o\al(27,62)，Ceq\o\al(28,62)它們的比為3∶4∶5．新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第24頁(yè)。新教材北師大版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第五章計(jì)數(shù)原理-知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)解題規(guī)律歸納總結(jié)全文共28頁(yè)，當(dāng)前為第24頁(yè)。1．本題的突破口在于找到了(a＋b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，Ceq\o\al(2,n)，…，Ceq\o\al(k,n)，…，Ceq\o\al(n,n)．2．解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路是：通過觀察，找出每一行數(shù)據(jù)間的相互聯(lián)系，以及行與行間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系，然后對(duì)數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式子將它表達(dá)出來，使問題得解．注意觀察方法，橫看、豎看、連續(xù)看、偏行看，從多角度觀察．類型2賦值法求多項(xiàng)式的系數(shù)和【例2】若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a7＋a6＋…＋a1；(2)a7＋a5＋a3＋a1；(3)a6＋a4＋a2＋a0；(4)|a7|＋|a6|＋…＋|a1|．[思路點(diǎn)撥]所求結(jié)果與各項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，可以考慮用“賦值法”解題．[解](1)令x＝0，則a0＝