2010年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析版

ln(xa)(xb)

x(xa)(xb) 1、 x(xa)(xb)

lime

lime abxab x(xa)(x

abx2(xa)(

x2(xa)(xb)lim

lim x a)(xb)

x

(xa)(x

(xa)(xb)(ab)xab (ab)xab

(ab)xab(ab)xab(xa)(

x

a)(xb)

x

(xa)(xb)lim(ab)xabex(xa)(

（2）FdyFdz0 x x 即FxdyydxFxdzzdx0F(xdyydxF(xdzzdx yFzF dz 2dx1 F 所以有 1 xzyzyF所以有 1

yzF F F （31mln1mln2(1 nmln2(1n1mln2(112n1

dx0

dx

mmln2(1n

22

12對(duì)于0

mln2mln2(1n

mmln2(1n

lnm(1

n等價(jià)于(1)mxmn，而2xmndx01mln2(1（因m,n是正整數(shù) 1），故2

dx收斂；對(duì)于

dx的瑕點(diǎn)x1，當(dāng) mln2(1nmln2(1n

x2x1mln1mln2(112nx(1,1)(0

2

2nlnm(1x)2n(1x)m，而1(1x)mdx顯然收斂，故 2

1

4、lim

2

0

2x

j1(n

j

ni1(1i)nj1

j2

(1x)(1yABR(AB)

() （5）又RAB)mmin(RAR(B)),即R(AmR(B而RAmR(BR(A)m,R(B)ArA2A02即(100或又RA3A1 A~

0所以正確答案為 P{x1F(1F(11e111e1 0評(píng)注：本題實(shí)際上是考查分布函數(shù)的性質(zhì)，即對(duì)任意隨量X，均有P(Xx)F(x)F(x)，這樣的問(wèn)題在輔0

f(x)dx

f1(x)dx

(x)dx1a(0)

31dx01a3b12a3b4A 12

yt

dy

ddy

ddydt

xt

dxdx

dtdx

xt2tetln1t21t2

e2t(

d2d2td2d2t2（10

etx

xdx

1t2x【解析與點(diǎn)評(píng)】 t,原式x x xdx20

costdt2

sint|002tsintdt40tsintdt4tcost|00costdt（11L

xydxx2dy L:

x

1t

L:

x

0t1y1 2y1 xydxx2dyxydxx2dyxydxx2dyt1tt2dtt1tt 2

t2

233t2123t0 （12、設(shè){(x,y,z)x2y2z1},則的形心坐標(biāo)z 3

z 0 3 1111

0

0

r2 （13）設(shè)(1,2,1,0)T,(1,1,0,2)T,(2,1,1,)T,若由形成的向量空間維數(shù)是2，則 2

2 22r1 3r3 r3r1 0 0

60（14）設(shè)隨量X概率分布為p{Xk}

C,k0,1,K

，則EX2 【解析與點(diǎn)評(píng)】由概率密度的性質(zhì)

P{Xk1，有

C1C

k0k

EX1,DXP{Xk

,k0,1,k

為參數(shù)為1

EX2DX(EX)2（15（y3y2y2xex y3y2y0r23r20r2r1 YCe2xC yaxbyax22ab)x)exyax24ab)x2aa1,b2 yCe2xCexx(x （16（x2xf(x

tet2dtf(x2xx2etdt0x01x(,01f000f減增減增f(x的單調(diào)增加區(qū)間為(10及(1，單調(diào)減少區(qū)間為(1及(0,1f1f10f(0)1tet2dt1(1 （17（比較1lnt[ln(1t)]ndt與1tnlntdt,n1,2,的大小，說(shuō)明理 1設(shè)u lnt[ln(1t)]ndt(n1, )，求極限lim

n（Ⅰ）ftln1t當(dāng)0t1ft

1

10，故當(dāng)0t1ftf0)當(dāng)0t1時(shí)0ln1tt1ln1tntn(n1) 得1lntln(1t)ndt1tnlntdt(n12

lnt（Ⅱ）方法一，由（Ⅰ）0un

0

1tnlntdt01tnlntdt1tnlntdtlnt

1tn111

tndt 1nlim0tlntdt1n

n 0n

nlimlntln(1t)ndt1由準(zhǔn)則得n

01tnlntdt1tnlntdt11tndt 準(zhǔn)則的lim1tnlntdt

n1

nn方法 又因?yàn)閘imtln11

0，所以M0tlntM,t所以0

1lnt[ln(1t)]ndt0

M0

M,n2,n 0u lnt[ln(1t)]ndt 因?yàn)閘im

0，所以limun

n（18（(1)n1求冪級(jí)數(shù)2n1

x2x2n22nx2n2nu因?yàn)閘imn1

x2x21即1x1x1n 2n1，顯然收斂，故原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇1,1(1)n1

(1)n1因?yàn)?n1

x2n1

2n1

f(x),xfx

(1)n1x2n1 10f00fxxftdtf0arctan0x[1,1s(xxarctan（19（1）Fx2xFy2yzFz2zyxOy所以2x02yz02zy10z2x2y2z2yz 所以軌跡為y （2）dS

1z2z2dxdy

4x254x25y25z2

{(x,y)x23y223423xdxdy

3 （20（【解析與點(diǎn)評(píng)（I）設(shè),Axb2

Ax0A1)210 于是1或當(dāng)1r(Ar(AbAxb無(wú)解，舍去當(dāng)1Axb的增廣矩陣施以初等行變化 1a

3 2 (Ab) 01 1 2 11 Axba（II）當(dāng)1a2

312

3 1 B 01，Axbx11k0，其中k2 2

0 1 從而求出參數(shù)的值。利用方程組有解的條件，判斷（21

（Ⅰ）由題意知QTAQ,其中

AQQT，設(shè)Q00 2x

x x

2002

2x33

x2

x

Q

3

2 2x1x302 212 12

2 210，21把1單位化1 0 21 0

1

2

1

1Q

2

0 QT2 022 2 22

2 22 122

1 2 1 1

11 1

22AQQT2

0

20 2

1 0 1

1

2（II）證明：(AE)TATEA AE為實(shí)對(duì)稱矩

AE特征值為22,1，都大于

AE（22（設(shè)二維隨量(X,Y)的概率密度為f(x,y)Ae2x2xyy,x，求常數(shù)A及條件概率密度

YX(y【解析與點(diǎn)評(píng)】由概率密度的性質(zhì)f(xy)dxdy1又知ex2dx

Ae2x22xyy2dxdyAex2dxe(xy)2dy1 ，有ex2dxe(xy)2dy A1f(xy1e2x22xy Xf(x)1

e(xy)2dy1ex2

1ex2,x

1e2x22xyfYX(yx)

f(x,y)fX

1e

e(xy)2,x