湖南省益陽市沅江茶盤洲鎮(zhèn)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

湖南省益陽市沅江茶盤洲鎮(zhèn)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.從區(qū)間內(nèi)任取一個數(shù),則這個數(shù)小于的概率是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C2.已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b對一切x＞﹣1都成立，則的最小值是（）A．e﹣1 B．e C．1﹣e﹣3 D．1參考答案：C【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，求出導(dǎo)數(shù)，分類討論，進(jìn)而得到b≥﹣lna+a+2，可得≥，通過導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，進(jìn)而得到的最小值．【解答】解：令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，則y′=﹣a，若a≤0，則y′＞0恒成立，x＞﹣1時函數(shù)遞增，無最值．若a＞0，由y′=0得：x=，當(dāng)﹣1＜x＜時，y′＞0，函數(shù)遞增；當(dāng)x＞時，y′＜0，函數(shù)遞減．則x=處取得極大值，也為最大值﹣lna+a﹣b﹣2，∴﹣lna+a﹣b+2≤0，∴b≥﹣lna+a+2，∴≥，令t=，∴t′=，∴（0，e3）上，t′＜0，（e3，+∞）上，t′＞0，∴a=e3，tmin=1﹣e﹣3．∴的最小值為1﹣e﹣3．故選：C．3.已知雙曲線（a>0,b>0)的一條漸近線與曲線相切，則該雙曲線的離心率為(A)

(B)

(C)2

(D)參考答案：A略4.過雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F做圓x2+y2=a2的切線，切點(diǎn)為M，切線交y軸于點(diǎn)P，且=2，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出M的坐標(biāo)，代入圓的方程求得離心率．【解答】解：設(shè)P（0，3y），則M（c，2y），則∵OM⊥PF，∴=﹣1，取y=，M的坐標(biāo)代入圓x2+y2=a2，即圓c2+=a2，∴，故選：B．5.函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C，，故選C。7.下列圖象不能作為函數(shù)圖象的是（

）參考答案：B試題分析：B不行，因?yàn)橐粋€對應(yīng)了個，不是函數(shù)圖象.考點(diǎn)：函數(shù)圖象.8.已知雙曲線(a＞0，b＞0)的離心率為3，則其漸近線的方程為A．2y±x＝0

B．2x±y＝0

C．8x±y＝0

D．x±8y＝0參考答案：B9.

已知集合，，全集，則圖中陰影部分表示的集合為（

）

A.

B.C.

D.

參考答案：C10.命題p：“若x2－3x+2≠0，則x≠2”，若p為原命題，則p的逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個數(shù)是（

）

A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)當(dāng)時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是______；若函數(shù)恰有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_______.參考答案：(－1,+∞)；(－∞,－4)∪[－1,+∞)

12.已知則z=3x﹣y的最大值為．

參考答案：9考點(diǎn)： 簡單線性規(guī)劃．專題： 不等式的解法及應(yīng)用．分析： 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直線y=3x﹣z由圖象可知當(dāng)直線y=3x﹣z經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）時，直線y=3x﹣z的截距最小，此時z最大．此時z=3×3=9，故答案為：9．點(diǎn)評： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．13.正三角形ABC的邊長為，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時四面體ABCD的外接球的體積為___________.

參考答案：略14.已知則的值為

。參考答案：36【知識點(diǎn)】對數(shù)與對數(shù)函數(shù)B7由于，所以f(9-x)=9-=9-x-于是有f(x)+f(9-x)=9從而f(1)+f(8)=f(2)+f(7)=f(3)+f(6)=f(4)+f(5)=9,故原式的值為【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)找出規(guī)律求出結(jié)果。15.求值：_________．參考答案：1=1【點(diǎn)睛】考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，比較簡單。16.若△的內(nèi)角滿足,則的最小值是

▲

.參考答案：17.已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是_____________；參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（13分）已知數(shù)列和滿足：，，，（），且是以為公比的等比數(shù)列．（I）證明：；（II）若，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：．參考答案：本小題主要考查等比數(shù)列的定義，通項公式和求和公式等基本知識及基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力．解析：解法1：（I）證：由，有，

．（II）證：，，，．是首項為5，以為公比的等比數(shù)列．（III）由（II）得，，于是

．當(dāng)時，

．當(dāng)時，

．故解法2：（I）同解法1（I）．（II）證：

，又，是首項為5，以為公比的等比數(shù)列．（III）由（II）的類似方法得，，，．．下同解法1．19.設(shè)函數(shù)f（x）=+的最大值為M．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)M的值；（Ⅱ）求關(guān)于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．參考答案：考點(diǎn)： 二維形式的柯西不等式；絕對值不等式．專題： 不等式的解法及應(yīng)用．分析： （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=+=?+≤?=3，求得實(shí)數(shù)M的值．（Ⅱ）關(guān)于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由絕對值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根據(jù)絕對值的意義可得x的范圍．解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=+=?+≤?=3，當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=4時，取等號，故實(shí)數(shù)M=3．（Ⅱ）關(guān)于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由絕對值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根據(jù)絕對值的意義可得，當(dāng)且僅當(dāng)﹣2≤x≤1時，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集為[﹣2，1]．點(diǎn)評： 本題主要考查二維形式的柯西不等式的應(yīng)用，絕對值的意義，絕對值三角不等式，屬于基礎(chǔ)題．20.（16分）已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．（1）將f（x）化成y=Asin（ωx+φ）的形式，并求f（x）的周期；（2）用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)f（x）在一個周期內(nèi)有圖象；（3）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．x

0π2πf（x）

參考答案：考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．專題： 作圖題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析： （1）由兩角差的正弦公式化簡即可得解析式：f（x）=2sin（2x﹣），由周期公式即可求解；（2）列表，描點(diǎn)連線即可用五點(diǎn)法做出圖象；（3）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得單調(diào)區(qū)間．解答： （1）f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），所以函數(shù)f（x）的周期為=π．（2）列表：2x﹣0π2πxy020﹣20描點(diǎn)作圖：（3）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是：[k，k]（k∈Z）；單調(diào)遞增區(qū)間是[k，k]（k∈Z）．點(diǎn)評： 本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，五點(diǎn)法作圖，屬于基礎(chǔ)題．21.已知直三棱柱的底面中,,,,是的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，是的中點(diǎn),(1)證明：平面；

（2）試證：參考答案：證明：(1)連,為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，,又平面,平面,平面(2)直三棱柱平面

平面,又,平面平面,平面

在與中，∽平面平面，平面略22.已知函數(shù)，函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求證不等式成立.參考答案：（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，，所?當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)