選修4-1幾何證明選講

選修4－1 幾何證明選講第一節(jié) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1．平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等．推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊．推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰．2．平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊 (或兩邊的延長線 )所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．3．相似三角形的判定與性質(zhì)(1)判定定理：內(nèi)容判定定理 1 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個(gè)三角形相似判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似(2)性質(zhì)定理：內(nèi)容性質(zhì)定理1相似三角形對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線和它們周長的比都等于相似比性質(zhì)定理2相似三角形的面積比等于相似比的平方結(jié)論相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)1．在使用平行線截割定理時(shí)易出現(xiàn)對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)順序混亂，導(dǎo)致錯(cuò)誤．2．在解決相似三角形的判定或應(yīng)用時(shí)易出現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)失誤．[試一試]1．如圖，F(xiàn)為?ABCD的邊AD延長線上的一點(diǎn)， DF＝AD，BF分別交DC，AC于G，E兩點(diǎn)，EF＝16，GF＝12，求BE的長．解：由DF＝AD，AB∥CD知BG＝GF＝12，又EF＝16知EG＝4，故BE＝8.2．在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，求CD的長．BCACAC282解：∵∠BAC＝∠ADC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC，∴AC＝CD，∴CD＝BC＝16＝4.1．判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思路(1)先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等；(2)若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例；若找不到角相等，就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”．2．借助圖形判斷三角形相似的方法(1)有平行線的可圍繞平行線找相似；(2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例；(3)有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對(duì)應(yīng)邊．[練一練]AD＝1.如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC且DB2，求△ADE與四邊形DBCE的面積的比．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，S△ADE2∴＝AD2.S△ABCABADAD2S△ADE4∵＝2，∴＝3，∴＝，DBABS△ABC9S△ADE4∴＝5.S四邊形DBCE2.如圖，已知在△ABC中，CD⊥AB于D點(diǎn)，BC2＝BD·AB，求∠ACB.解：在△ABC與△CBD中，由BC2＝BD·AB，BC AB得BD＝BC，且∠B＝∠B，所以△ABC∽△CBD.則∠ACB＝∠CDB＝90°.考點(diǎn)一 平行線分線段成比例定理的應(yīng)用1.如圖，在?ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于F，求BF∶FD的值．解：∵AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，∴BE∶AD＝2∶5.∵AD∥BC，2∴BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5.即BF∶FD＝5.2.(2013惠·州調(diào)研)如圖，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC3∶5，DE＝6，求則BF的值．解：由DE∥BC得DE AE 3BC＝AC＝5，∵DE＝6，∴BC＝10.又因?yàn)镈F∥AC，所以BFBC＝BDAB＝CEAC＝25，即BF＝4.3.如圖，在四邊形 ABCD中，EF∥BC，F(xiàn)G∥AD，求EF＋FG的值．BC AD解：由平行線分線段成比例定理得EFBC＝AFAC，F(xiàn)GAD＝FCAC，故EFBC＋FGAD＝AFAC＋FCAC＝ACAC＝1.[類題通法]比例線段常用平行線產(chǎn)生， 利用平行線轉(zhuǎn)移比例是常用的證題技巧， 當(dāng)題中沒有平行線條件而有必要轉(zhuǎn)移比例時(shí)，也常添加輔助平行線，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移比例的目的 .考點(diǎn)二 相似三角形的判定及性質(zhì)[典例] (2013陜·西高考)如圖，弦AB與CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)E，過E作BC的平行線與AD的延長線交于點(diǎn) P.已知PD＝2DA＝2，求PE的值．[解]由PE∥BC知，∠A＝∠C＝∠PED.在△PDE和△PEA中，∠APE＝∠EPD，∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，則PDPE＝PEPA，于是PE2＝PA·PD＝3×2＝6，所以PE＝6.[類題通法]1．判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形特征靈活選擇判定定理，特別要注意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．2．相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等；也可間接證明線段相等．[針對(duì)訓(xùn)練](2013·山質(zhì)檢佛)如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB6，AC＝4，AD＝12，求BE的值．解：由于∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD，所以△ABE∽△ADC，從而得ADAB＝AE22AC，解得AE＝2，故BE＝AB－AE＝42.考點(diǎn)三射影定理的應(yīng)用[典例]如圖所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分線，DF AE交AD于F，求證：AF＝EC.[證明] 由三角形的內(nèi)角平分線定理得，在△ABD中，DFAF＝BDAB，①AE AB在△ABC中，EC＝BC，②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，BD AB即AB＝BC.③DF AB由①③得：AF＝BC，④由②④得：DFAF＝AEEC.[類題通法]1．在使用直角三角形射影定理時(shí)，要學(xué)會(huì)將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”．2．證題時(shí)，要注意作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時(shí)常用的方法．[針對(duì)訓(xùn)練]在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶9，求tan∠BCD的值．解：由射影定理得CD2＝AD·BD，又BD∶AD＝1∶9，令BD＝x，則AD＝9x(x>0)．∴CD2＝9x2，∴CD＝3x.BD x 1Rt△CDB中，tan∠BCD＝CD＝3x＝3.[課堂練通考點(diǎn)]1．如圖，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12cm，求BC的長．AB∥EM∥DC解： ?E為AD中點(diǎn)，AE＝EDM為BC的中點(diǎn)．又EF∥BC?EF＝MC＝12cm，∴BC＝2MC＝24cm.2．如圖，在四邊形 ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，EC∥AD，DE∥BC，若S△BEC＝1，S△ADE＝3，求S△CDE的值．解：∵EC∥AD，∴S△DCE∶S△ADE＝EC∶AD，∵DE∥BC，∴S△BCE∶S△CDE＝BC∶ED，又因?yàn)椤螮CB＝∠DEC＝∠ADE，∠BEC＝∠EAD，∴△BEC∽△EAD，∴EC∶AD＝BC∶ED.∴S△DCE∶S△ADE＝S△BCE∶S△CDE，于是S△CDE＝ 3.3．(2013·東高考改編廣)如圖，在矩形 ABCD中，AB＝ 3，BC＝3，BE⊥AC，垂足為E，求ED的值．解：∵tan∠BCA＝BCBA＝33，所以∠BCA＝30°，∠ECD＝90°－∠BCA＝60°.在Rt△BCE中，33CE＝BC·cos∠BCA＝3cos30＝°2.在△ECD中，由余弦定理得ED＝CE2＋CD2－2CE·CD·cos∠ECD3232233121＝＋3－2×2×3×2＝2.4.如圖，在△ABC中，F(xiàn)為邊AB上的一點(diǎn)，BF＝m(m，n>0)，取AFnBECF的中點(diǎn)D，連接AD并延長交 BC于點(diǎn)E.求EC的值．解：如圖，作FG∥BC交AE于點(diǎn)G，則FGFDBEABm＋n＝n.CE＝DC＝1，F(xiàn)G＝AFBE m＋n兩式相乘即得EC＝ n .5．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且AE∶EB＝1∶2，DE與AC交于點(diǎn)F，若△AEF的面積為6cm2，求△ABC的面積．1解：令E＝a，EF＝b，則2ab＝6.由題意知

EB＝2a.DF＝3b.1 1∴S△ABC＝2·AB·DE＝2×3a×4b＝

112×2ab＝12×6＝72(cm)．[課下提升考能]1．如圖，已知?ABCD中，G是DC延長線上一點(diǎn)，AG分別交BD和BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，證明：AF·AD＝AG·BF.證明：因?yàn)樗倪呅?ABCD為平行四邊形，所以 AB∥DC，AD∥BC.所以△ABF∽△GCF，△GCF∽△GDA.所以△ABF∽△GDA.AF BF從而有AG＝AD，即AF·AD＝AG·BF.2．已知△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)P，求證：(1)△BPE∽△CPF；(2)△EFP∽△BCP.證明：(1)∵BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠BFC＝∠CEB.又∵∠CPF＝∠BPE，∴△CPF∽△BPE.(2)由(1)得△CPF∽△BPE，EP BP∴ ＝ .FP CP又∵∠EPF＝∠BPC，∴△EFP∽△BCP.3．如圖，在△ABC中，D是過A作AH∥BE.連接ED并延長交

AC的中點(diǎn)，E是BC延長線上一點(diǎn)，AB于F，交AH于H.如果AB＝4AF，EH＝8，求DF的長．解：∵AH∥BE，∴HF＝AF.HE ABHF 1∵AB＝4AF，∴HE＝4，∵HE＝8，∴HF＝2.HD AD∵AH∥BE，∴ ＝ .DE DC∵D是AC的中點(diǎn)，∴HDDE＝1.∵HE＝HD＋DE＝8，∴HD＝4，∴DF＝HD－HF＝4－2＝2.4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求證：(1)AB·AC＝BC·AD；(2)AD3＝BC·CF·BE.證明：(1)在Rt△ABC中，AD⊥BC，1 1∴S△ABC＝2AB·AC＝2BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.(2)Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理可得BD2＝BE·AB，同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，∴AD4＝BE·AB·CF·AC，又AB·AC＝BC·AD.即AD3＝BC·CF·BE.5．如圖，在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AD上的一點(diǎn)，延長BE交AC于點(diǎn)F.若AE＝1，求AF的值．AD 4 AC解：如圖，過點(diǎn) A作AG∥BC，交BF的延長線于點(diǎn) G.AE1AE＝1∵＝，∴3.AD4ED又∵△AGE∽△DBE，AG AE 1∴ ＝ ＝.BD ED 3∵D為BC中點(diǎn)，BC＝2BD，AG 1∴ ＝.BC 6AF AG 1 AF 1∵△AGF∽△CBF，∴ ＝ ＝，∴ ＝.FC BC 6 AC 76.如圖所示，在平行四邊形 ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，1DE＝2CD，BE與AD交于點(diǎn)F.(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面積為 2，求平行四邊形 ABCD的面積．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAF＝∠BCD，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.S△DEF＝(DE2，S△DEF＝(DE2∴S△ABFS△CEBCE)AB).1又DE＝2CD＝2AB，∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE.S△DEF2＝1，S△DEF＝(DE2＝1∴＝(DES△ABFS△CEBCE)9AB)4.∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴平行四邊形ABCD的面積S＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.第二節(jié) 直線與圓的位置關(guān)系1．圓周角定理(1)圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．(2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)．推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等； 同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角； 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)：定理1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角．(2)判定：判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．3．圓的切線性質(zhì)及判定定理(1)性質(zhì)：性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．(2)判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．4．與圓有關(guān)的比例線段(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等．切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)．切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．1．易混圓心角與圓周角，在使用時(shí)注意結(jié)合圖形作出判斷．2．在使用相交弦定理、 割線定理、切割線定理時(shí)易出現(xiàn)比例線段對(duì)應(yīng)不成比例而失誤．[試一試]1.如圖，P是圓O外一點(diǎn)，過P引圓O的兩條割線PB、PD，PA＝AB＝5，CD＝3，求PC的長．解：設(shè)PC＝x，由割線定理知 PA·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.2.如圖，EB，EC是⊙O的兩條切線，B，C是切點(diǎn)，A，D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠BAD的值．解：由已知，顯然△EBC為等腰三角形，°－∠E因此有∠ECB＝＝67°，2因此∠BCD＝180°－∠ECB－∠DCF＝81°.而由A，B，C，D四點(diǎn)共圓，得∠BAD＝180°－∠BCD＝99°.1．與圓有關(guān)的輔助線的五種作法(1)有弦，作弦心距．(2)有直徑，作直徑所對(duì)的圓周角．(3)有切點(diǎn)，作過切點(diǎn)的半徑．(4)兩圓相交，作公共弦．(5)兩圓相切，作公切線．2．證明四點(diǎn)共圓的常用方法(1)利用圓內(nèi)接四邊形的判定定理，證明四點(diǎn)組成的四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；(2)證明它的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角；(3)證明四點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等．當(dāng)證明四點(diǎn)共圓以后，圓的各種性質(zhì)都可以得到應(yīng)用．3．圓冪定理與圓周角、弦切角聯(lián)合應(yīng)用時(shí)，要注意找相等的角，找相似三角形，從而得出線段的比，由于圓冪定理涉及圓中線段的數(shù)量計(jì)算，

所以應(yīng)注意代數(shù)法在解題中的應(yīng)用．[練一練]1．(2013

·州模擬荊

)如圖，

PA是⊙O

的切線，切點(diǎn)為

A，過

PA的中點(diǎn)

M作割線交⊙

O于點(diǎn)B和C，若∠BMP＝110°，∠BPC＝30°，求∠MPB的值．解：由切割線定理得， MA2＝MB·MC，又MA＝MP，故MP2＝MB·MC，即MB＝MP，MP MC又∠BMP＝∠PMC.故△BMP∽△PMC，所以∠MPB＝∠MCP，所以30°＋∠MPB＋∠MCP＝∠AMB180°－110°＝70°，所以∠MPB＝20°.2．(2013長·沙一模)如圖，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于點(diǎn)A，點(diǎn)B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)，使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，求AB的值．解：由PA為圓O的切線可得，∠PAB＝∠ACB，又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以PBAB＝ABBC，而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝35.考點(diǎn)一圓周角、弦切角和圓的切線問題1.(2013天·津高考改編)如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BD∥AC.過點(diǎn)A作圓的切線與DB的延長線交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，求線段CF的長．解：因?yàn)锳E是圓的切線，且AE＝6，BD＝5，由切割線定理可得EA2＝EB·ED，即36＝EB·(EB＋5)，解得EB＝4.又∠BAE＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，所以AE∥BC.又AC∥BD，所以四邊形 AEBC是平行四邊形，所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4.CACFCA2168又由題意可得△CAF∽△CBA，所以CB＝CA，CF＝CB＝6＝3.2．(2013·東高考改編廣 )如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上．延長BC到D使BC＝CD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，求BC的長．解：連接OC，則OC⊥CE，∠OCA＋∠ACE＝90°，∵∠OAC＝∠OCA，∴∠OAC＋∠ACE＝90°.易知Rt△ACB≌Rt△ACD，則∠OAC＝∠EAC.∴∠EAC＋∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，在Rt△ACD中，由射影定理得：CD2＝ED·AD ①，又CD＝BC，AD＝AB，將AB＝6，ED＝2代入①式，得 CD＝ 12＝2 3，∴BC＝2 3.3．(2014岳·陽模擬)如圖所示，⊙O的兩條切線 PA和PB相交于點(diǎn)P，與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，C是⊙O上的一點(diǎn)，若∠P＝70°，求∠ACB的值．解：如圖所示，連接 OA，OB，則OA⊥PA，OB⊥PB.故∠AOB＝110°，1∴∠ACB＝2∠AOB＝55°.[類題通法]1．圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。?．涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端作圓周角或弦切角．考點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定[典例](2013鄭·州模擬)如圖，AB是⊙O的直徑，G是AB延長線上的一點(diǎn)，GCD是⊙O的割線，過點(diǎn)G作AG的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F，過點(diǎn)G作⊙O的切線，切點(diǎn)為H.(1)求證：C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓；(2)若GH＝6，GE＝4，求EF的長．[解] (1)證明：連接 DB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD與Rt△AFG中，∠ABD＝∠AFE，又∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠AFE，∴C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓?GE·GF＝GC·GD(2)?GH2＝GE·GF，GH切⊙O于點(diǎn)H?GH2＝GC·GD又GH＝6，GE＝4，∴GF＝9，EF＝GF－GE＝5.[類題通法]證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)它們?cè)谝粭l線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)．[針對(duì)訓(xùn)練]如圖所示，在四邊形

ABCP

中，線段

AP與

BC

的延長線交于點(diǎn)

D，已知

AB＝AC

且A，B，C，P四點(diǎn)共圓．PC PD(1)求證：AC＝BD；(2)若AC＝4，求AP·AD的值．解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn) A，B，C，P四點(diǎn)共圓，所以∠ABC＋∠APC＝180°，又因?yàn)椤螪PCPC PD＋∠APC＝180°，所以∠DPC＝∠ABC，又因?yàn)椤螪＝∠D，所以△DPC∽△DBA，所以AB＝BD，PC PD又因?yàn)锳B＝AC，所以AC＝BD.(2)因?yàn)锳B＝AC，所以∠ACB＝∠ABC，又∠ACD＋∠ACB＝180°，所以∠ACD＋∠ABC＝180°.由于∠ABC＋∠APC＝180°，所以∠ACD＝∠APC，又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以APAC2AC＝AD，所以AP·AD＝AC＝16.考點(diǎn)三 與圓有關(guān)的比例線段[典例] (2013遼·寧模擬)如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，△ACD的外接圓交BC于點(diǎn)E，AB＝2AC.(1)求證：BE＝2AD；(2)當(dāng)AC＝1，EC＝2時(shí)，求AD的長．[解] (1)證明：連接 DE，因?yàn)樗倪呅?ACED是圓的內(nèi)接四邊形，所以∠ BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△BDE∽△BCA，BE DE所以BA＝CA，而AB＝2AC，所以BE＝2DE.又CD是∠ACB的平分線，所以AD＝DE，從而BE＝2AD.(2)由已知得 AB＝2AC＝2，設(shè)AD＝t(0<t<2)，根據(jù)割線定理得，BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，11解得t＝2，即AD＝2.[類題通法]1．應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等．2．相交弦定理、切割線定理主要用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明．解決問題時(shí)要注意相似三角形知識(shí)與圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用．[針對(duì)訓(xùn)練](2014·州模擬鄭)如圖，已知⊙O和⊙M相交于A，B兩點(diǎn)，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)G為弧BD的中點(diǎn)，連接AG分別交⊙O，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE.2求證：(1)AG·EF＝CE·GD；(2)GF＝EF2.AG CE證明：(1)連接AB，AC，∵AD為⊙M的直徑，∴∠ABD＝90°，∴AC為⊙O的直徑，∴∠CEF＝∠AGD＝90°.∵G為弧BD的中點(diǎn)，∴∠DAG＝∠GAB＝∠ECF.CE EF∴△CEF∽△AGD，∴AG＝GD，∴AG·EF＝CE·GD.(2)由(1)知∠DAG＝∠GAB＝∠FDG，又∠G＝∠G，∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG·GF.2

2

2EF GD GF EF由(1)知CE2＝AG2，∴AG＝CE2.[課堂練通考點(diǎn)

]1．(2013·州模擬惠)如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC經(jīng)過圓心O，OB＝PB＝1，OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到OD，求PD的長．解：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，B為PO的中點(diǎn)，∴∠AOB＝60°，∴∠POD

＝120°.在△POD

中，由余弦定理，得

PD2＝PO2＋DO2－12PO·DO·cos∠POD＝4＋1－4×(－2)＝7，故

PD＝

7.2．(2014江·南十校聯(lián)考)如圖，在圓的內(nèi)接四邊形 ABCD

中，∠ABC90°，∠ABD＝30°，∠BDC＝45°，AD＝1，求BC的長．解：連接AC.因?yàn)椤螦BC＝90°，所以AC為圓的直徑．又∠ACD＝∠ABD30°，所以AC＝2AD＝2.又∠BAC＝∠BDC＝45°，故BC＝2.3．(2013·州模擬廣)如圖，已知AB是⊙O的一條弦，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP＝4，PB＝2，求PC的長．解：如圖，延長 CP交⊙O于點(diǎn)D，因?yàn)?PC⊥OP，所以 P是弦CD的中點(diǎn)，由相交弦定理知 PA·PB＝PC2，即PC2＝8，故PC＝2 2.4．(2013新·課標(biāo)卷Ⅰ)如圖，直線 AB為圓的切線，切點(diǎn)為角平分線BE交圓于點(diǎn) E，DB垂直BE交圓于點(diǎn) D.

B，點(diǎn)

C在圓上，∠

ABC

的(1)證明：DB＝DC；(2)設(shè)圓的半徑為 1，BC＝

3，延長

CE交

AB

于點(diǎn)

F，求△BCF

外接圓的半徑．解：(1)證明：如圖，連接

DE，交

BC

于點(diǎn)

G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因?yàn)镈B⊥BE，所以DE為直徑，則∠DCE＝90°，由勾股定理可得 DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，3故DG是BC的中垂線，所以 BG＝2.設(shè)DE的中點(diǎn)為 O，連接BO，則∠BOG＝60°.從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，3所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于 2.[課下提升考能]1．(2013·寧高考遼)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.證明：(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.π由AB為⊙O的直徑，得 AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝2；π又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝2，從而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.類似可證，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.2．(2013·蘇高考江)如圖，AB和BC分別與圓 O相切于點(diǎn) D，C，AC經(jīng)過圓心 O，且BC＝2OC.求證：AC＝2AD.證明：連接OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓 O相切于點(diǎn) D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因?yàn)椤螦＝∠A，所以Rt△ADO∽R(shí)t△ACB.BC AC所以O(shè)D＝AD.又BC＝2OC＝2OD，故AC＝2AD.3．如圖所示，直線AB過圓心O，交圓O于A，B兩點(diǎn)，直線AF交圓O于點(diǎn)F(不與B重合)，直線l與圓O相切于點(diǎn)C，交直線AB于點(diǎn)E，且與AF垂直，交AF的延長線于點(diǎn)G，連接AC.求證：(1)∠BAC＝∠CAG；(2)AC2＝AE·AF.證明：(1)連接BC，因?yàn)?AB是直徑，所以∠ACB＝90°，所以∠ACB＝∠AGC＝90°.因?yàn)镚C切圓O于點(diǎn)