演示文稿不動點迭代法及其收斂定理

演示文稿不動點迭代法及其收斂定理本文檔共55頁；當前第1頁；編輯于星期一\16點52分（優(yōu)選）不動點迭代法及其收斂定理本文檔共55頁；當前第2頁；編輯于星期一\16點52分一、迭代法原理--------(2)將非線性方程f(x)=0化為一個同解方程繼續(xù)--------(3)稱(3)式為求解非線性方程(2)的簡單迭代法本文檔共55頁；當前第3頁；編輯于星期一\16點52分則稱迭代法(3)收斂,否則稱為發(fā)散--------(4)例1.解:(1)將原方程化為等價方程本文檔共55頁；當前第4頁；編輯于星期一\16點52分顯然迭代法發(fā)散(2)如果將原方程化為等價方程本文檔共55頁；當前第5頁；編輯于星期一\16點52分仍取初值x2=0.9644x3=0.9940x4=0.9990x5=0.9998x6=1.0000x7=1.0000依此類推,得已經(jīng)收斂,故原方程的解為同樣的方程不同的迭代格式有不同的結(jié)果什么形式的迭代法能夠收斂呢?迭代函數(shù)的構(gòu)造有關(guān)本文檔共55頁；當前第6頁；編輯于星期一\16點52分如果將(2)式表示為與方程(2)同解收斂發(fā)散本文檔共55頁；當前第7頁；編輯于星期一\16點52分定理1.--------(5)--------(6)--------(7)(局部收斂性)迭代過程的收斂性本文檔共55頁；當前第8頁；編輯于星期一\16點52分證:由條件(1)由根的存在定理,本文檔共55頁；當前第9頁；編輯于星期一\16點52分證:由本文檔共55頁；當前第10頁；編輯于星期一\16點52分由微分中值定理本文檔共55頁；當前第11頁；編輯于星期一\16點52分本文檔共55頁；當前第12頁；編輯于星期一\16點52分證畢.本文檔共55頁；當前第13頁；編輯于星期一\16點52分定理1指出,只要構(gòu)造的迭代函數(shù)滿足本文檔共55頁；當前第14頁；編輯于星期一\16點52分由(6)式,只要因此,當?shù)涂梢越K止,--------(8)本文檔共55頁；當前第15頁；編輯于星期一\16點52分定義1：如果存在的某個鄰域，使迭代過程對于任意初值均收斂，則稱迭代過程在根鄰近具有局部收斂性。本文檔共55頁；當前第16頁；編輯于星期一\16點52分例2.用迭代法求方程的近似解,精確到小數(shù)點后6位解:本文檔共55頁；當前第17頁；編輯于星期一\16點52分本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式因此采用迭代函數(shù)本文檔共55頁；當前第18頁；編輯于星期一\16點52分d1=0.1000000d2=-0.0105171d3=0.1156e-002d4=-0.1265e-003d5=0.1390e-004d6=-0.1500e-005d7=0.1000e-006由于|d7|=0.1000e-006<1e-6因此原方程的解為x7=0.090525x1=0.1000000x2=0.0894829x3=0.0906391x4=0.0905126x5=0.0905265x6=0.0905250x7=0.0905251本文檔共55頁；當前第19頁；編輯于星期一\16點52分由定理1的(7)式出,迭代法收斂就越快定義1.

--------(9)迭代法收斂速度本文檔共55頁；當前第20頁；編輯于星期一\16點52分本文檔共55頁；當前第21頁；編輯于星期一\16點52分本文檔共55頁；當前第22頁；編輯于星期一\16點52分定理3.

本文檔共55頁；當前第23頁；編輯于星期一\16點52分例解:本題迭代函數(shù)有兩種構(gòu)造形式,迭代法發(fā)散.(2)迭代法收斂.(1)本文檔共55頁；當前第24頁；編輯于星期一\16點52分

Newton迭代法將f(x)在點xn作Taylor展開:——Taylor展開線性化f(x)=0

近似于f(xn)+f′(xn)(x-xn)=0(1)從(1)解出x,

記為xn+1,則1.Newton迭代公式建立本文檔共55頁；當前第25頁；編輯于星期一\16點52分它對應(yīng)的迭代方程為顯然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函數(shù)為

在f(x)=0的根x*

的某個鄰域內(nèi),在x*

的鄰域R內(nèi)，對任意初值，應(yīng)用公式（2）來解方程的方法就稱為牛頓迭代法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一.本文檔共55頁；當前第26頁；編輯于星期一\16點52分2.Newton迭代法的幾何意義

與x軸(y=0)的交點x,作為下一個迭代點xn+1,即用f(x)在xn處的切線Newton迭代法又稱切線法.本文檔共55頁；當前第27頁；編輯于星期一\16點52分例用Newton迭代法求下面方程的一個正根,計算結(jié)果精確到7位小數(shù).解:由Newton迭代法本文檔共55頁；當前第28頁；編輯于星期一\16點52分由Newton迭代法x1

=1.4666667,…,x4

=1.3688081x5

=1.3688081迭代5次精度達10-7x*

≈

1.368808本文檔共55頁；當前第29頁；編輯于星期一\16點52分4.Newton迭代法收斂定理（1）Newton迭代公式在單根情況下至少2階收斂;

（2）

定理

設(shè)f(x*)=0,,且在x*

的鄰域上存在,連續(xù),則可得證：將f(x)在xn處作2階Taylor展開,并將解x*代入注意到ξn在xn及x*之間,及,故本文檔共55頁；當前第30頁；編輯于星期一\16點52分

所以，Newton法至少二階收斂.

注意到ξn在xn及x*之間,及,故本文檔共55頁；當前第31頁；編輯于星期一\16點52分例3.為線性收斂證明:所以本文檔共55頁；當前第32頁；編輯于星期一\16點52分例4.至少是平方收斂的由定義1本文檔共55頁；當前第33頁；編輯于星期一\16點52分注意例4與例3的迭代法是相同的,兩例有何區(qū)別?證明:令則所以由定理2該迭代法至少是平方收斂的本文檔共55頁；當前第34頁；編輯于星期一\16點52分

Newton迭代公式是一種特殊的不動點迭代,其迭代矩陣為:

Newton迭代是局部線性化方法,它在單根附近具有較高的收斂速度.

方法有效前提:

Newton迭代法的特征

本文檔共55頁；當前第35頁；編輯于星期一\16點52分5.Newton迭代法的應(yīng)用----------開方公式

對于給定正數(shù)應(yīng)用牛頓迭代法解二次方程可導(dǎo)出求開方值的計算公式

設(shè)是的某個近似值，則自然也是一個近似值，上式表明，它們兩者的算術(shù)平均值將是更好的近似值。

定理

開方公式對于任意給定的初值均為平方收斂。

本文檔共55頁；當前第36頁；編輯于星期一\16點52分牛頓迭代法的優(yōu)缺點

優(yōu)點：在單根附近,牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確解。

缺點:1.重根情形下為局部線性收斂;2.牛頓迭代法計算量比較大:因每次迭代除計算函數(shù)值外還要計算微商值;3.選定的初值要接近方程的解，否則有可能得不到收斂的結(jié)果;本文檔共55頁；當前第37頁；編輯于星期一\16點52分牛頓迭代法的改進缺點克服:

1.局部線性收斂------改進公式或加速

2.每步都要計算微商值-----簡化Newton迭代法

或弦截法

3.初值近似問題-------二分法求初值或”下山算法”本文檔共55頁；當前第38頁；編輯于星期一\16點52分方法一.若已知重數(shù)m(m>1),則利用m構(gòu)造新的迭代公式:此時,,至少2階收斂.不實用:m往往不確定.方法二.取,再對函數(shù)F(x)用Newton迭代:此時,X*為F(x)的單根,所以是2階收斂.但要用到二階導(dǎo)數(shù).6.Newton法的改進(I)---重根情形本文檔共55頁；當前第39頁；編輯于星期一\16點52分Newton迭代法需要求每個迭代點處的導(dǎo)數(shù)f’(xk)復(fù)雜！這種格式稱為簡化Newton迭代法精度稍低6.Newton法的改進(II)本文檔共55頁；當前第40頁；編輯于星期一\16點52分則Newton迭代法變?yōu)檫@種格式稱為弦截法收斂階約為1.618本文檔共55頁；當前第41頁；編輯于星期一\16點52分

例4用簡化Newton法和弦截法解下面方程的根，并和Newton迭代法比較

解:由簡化Newton法由弦截法由Newton迭代法本文檔共55頁；當前第42頁；編輯于星期一\16點52分x0=0.5x1=0.3333333333x2=0.3497942387x3=0.3468683325x4=0.3473702799x5=0.3472836048x6=0.3472985550x7=0.3472959759x8=0.3472964208x9=0.3472963440x10=0.3472963572x11=0.3472963553x0=0.5;x1=0.4;x2=0.3430962343x3=0.3473897274x4=0.3472965093x5=0.3472963553x6=0.3472963553簡化Newton法由弦截法要達到精度10-8簡化Newton法迭代11次弦截法迭代5次Newton迭代法迭代4次x0=0.5;x1=0.3333333333x2=0.3472222222x3=0.3472963532x4=0.3472963553由Newton迭代法本文檔共55頁；當前第43頁；編輯于星期一\16點52分無論哪種迭代法：Newton迭代法簡化Newton法弦截法用Newton迭代法求解:x0=2x1=-3.54x2=13.95x3=-279.34x4=122017是否收斂均與初值的位置有關(guān).例:x0=1x1=-0.5708x2=0.1169x3=-0.0011x4=7.963110-10x5=0收斂發(fā)散迭代法的局部收斂性本文檔共55頁；當前第44頁；編輯于星期一\16點52分6.Newton法的改進(III):牛頓下山法

一般地說，牛頓法的收斂性依賴于初值的選取，如果偏離較遠，則牛頓法可能發(fā)散。為了防止發(fā)散，通常對迭代過程再附加一項要求，即保證函數(shù)值單調(diào)下降：

滿足這項要求的算法稱為下山法。

牛頓下山法采用以下迭代公式：其中稱為下山因子。牛頓下山法只有線性收斂.本文檔共55頁；當前第45頁；編輯于星期一\16點52分例7.解:1.先用Newton迭代法x4=9.70724x5=6.54091x6=4.46497x7=3.13384x8=2.32607x9=1.90230x10=1.75248x11=1.73240x12=1.73205x13=1.73205迭代13次才達到精度要求本文檔共55頁；當前第46頁；編輯于星期一\16點52分2.用Newton下山法,結(jié)果如下k=0x0=-0.99fx0=0.666567k=1x1=32.505829f(x)=11416.4w=0.5x1=15.757915f(x)=1288.5w=0.25x1=7.383958f(x)=126.8w=0.125x1=3.196979f(x)=7.69w=0.0625x1=1.103489f(x)=-0.655k=2x2=4.115071f(x)=19.1w=0.5x2=2.60928f(x)=3.31w=0.25x2=1.85638f(x)=0.27k=3x3=1.74352f(x)=0.023k=4x4=1.73216f(x)=0.00024k=5x5=1.73205