新教材數(shù)學蘇教版課件階段提升課第三課解三角形

階段提升課第三課解三角形

思維導圖·構(gòu)建網(wǎng)絡考點整合·素養(yǎng)提升題組訓練一利用余弦定理解題

1.(2020·全國Ⅰ卷)如圖,在三棱錐P-ABC的平面展開圖中,AC=1,AB=AD=

,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,則cos∠FCB=________.

【解析】因為AB⊥AC,AB=,AC=1,由勾股定理得BC==2,同理得BD=,所以BF=BD=,在△ACE中,AC=1,AE=AD=,∠CAE=30°,由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcos30°=1+3-2×1××=1,所以CF=CE=1,在△BCF中,BC=2,BF=,CF=1,由余弦定理得cos∠FCB=

答案:

2.(2020·臺州高一檢測)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且a+c=6,b=2,cosB=

.(1)求c和sinA的值;(2)求sin(2A-B)的值.【解析】(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),又a+c=6,b=2,cosB=,所以ac=9,解得a=3,c=3,在△ABC中,sinB=由正弦定理得sinA=所以c=3,sinA=.(2)因為a=c,則A為銳角,所以cosA=所以sin2A=2sinAcosAcos2A=1-2sin2A=1-2×所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=【方法技巧】1.已知兩邊a,b及其夾角C的求解步驟(1)由c2=a2+b2-2abcosC求邊c;(2)由正弦定理求a,b中較小邊所對的銳角;(3)由內(nèi)角和定理求第三角.2.已知三邊的求解步驟(1)由余弦定理求最大邊所對的角;(2)由正弦定理求其余兩個銳角.

題組訓練二利用正弦定理解題

1.(2020·成都高一檢測)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=2,B=120°,C=45°,則邊c的大小是 ()【解析】選D.因為b=2,B=120°,C=45°,

2.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對的邊,且a=2,sinA=

,則A=________,若角A為鈍角,則b+

c的取值范圍為________.

【解析】由sinA=及0<A<π,由角A為鈍角得A=.由正弦定理得答案:

3.(2020·濰坊高一檢測)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,________,且a=3,3sinB+3sinC=4sin(B+C).現(xiàn)從:①A=

,②B=

,③A+B=這三個條件中任選一個,將題目補充完整,并判斷這樣的△ABC是否存在,若存在,求△ABC的面積S;若不存在,請說明理由.

【解析】若選條件①.由3sinB+3sinC=4sin(B+C),得3b+3c=4a.又a=3,所以b+c=4.因為A=,所以b2+c2-bc=9,不妨取易知b>a>c,且a+c>b,所以這樣的△ABC存在,其面積S=若選條件②.由3sinB+3sinC=4sin(B+C),得3b+3c=4a.又a=3,所以b+c=4,因為B=,所以b2=9+c2-3c.解得易知a>b>c,且b+c>a,所以這樣的△ABC存在,其面積S=若選條件③.由3sinB+3sinC=4sin(B+C),得3b+3c=4a,又a=3,所以b+c=4,因為A+B=,所以a2+b2=c2,即9+b2=c2,解得易知c>a>b,且a+b>c,所以這樣的△ABC存在,其面積S=綜上所述,選條件①時,S=;選條件②時,S=;選條件③時,S=.【方法技巧】1.已知兩角A,B及一邊b的求解步驟(1)利用C=π-A-B求出角C;(2)由正弦定理得a=

求出邊a;(3)由正弦定理得c=

求出邊c.2.已知兩邊a,b及一邊對角A的求解步驟(1)由正弦定理得sinB=

;(2)利用sinB的值及具體題意判斷解的情況;(3)利用C=π-A-B求出角C;(4)由正弦或余弦定理求邊c.其中(2)中運用正弦定理解三角形時,解不確定,可結(jié)合三角形中大邊對大角的性質(zhì)去判斷解的個數(shù).題組訓練三判斷三角形的形狀

1.(多選題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(k為非零實數(shù)),則下列結(jié)論正確的是 ()A.當k=5時,△ABC是直角三角形B.當k=3時,△ABC是銳角三角形C.當k=2時,△ABC是鈍角三角形D.當k=1時,△ABC是鈍角三角形【解析】選ABC.當k=5時,根據(jù)正弦定理不妨設a=5m,b=3m,c=4m(m>0),顯然△ABC是直角三角形;當k=3時,根據(jù)正弦定理不妨設a=3m,b=3m,c=4m(m>0),顯然△ABC是等腰三角形,a2+b2-c2=9m2+9m2-16m2=2m2>0,說明C是銳角,故△ABC是銳角三角形;當k=2時,根據(jù)正弦定理不妨設a=2m,b=3m,c=4m(m>0),a2+b2-c2=4m2+9m2-16m2=-3m2<0,說明C是鈍角,故△ABC是鈍角三角形,當k=1時,根據(jù)正弦定理不妨設a=m,b=3m,c=4m(m>0),此時a+b=c,不能構(gòu)成三角形,故結(jié)論錯誤.2.(2020·合肥高一檢測)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,①若A>B,則sinA>sinB;②若sin2A=sin2B,則△ABC一定為等腰三角形;③若sin2A+sin2B=sin2C,則△ABC為直角三角形;④若△ABC為銳角三角形,則sinA>cosB.以上結(jié)論中正確的有 ()A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④【解析】選D.對于①,因為A>B,所以a>b,由正弦定理可知,sinA>sinB,即①正確;對于②,因為sin2A=sin2B,所以A=B或2A+2B=π.若A=B時,△ABC為等腰三角形;若2A+2B=π,則A+B=,此時△ABC為直角三角形,故②不正確;對于③,sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得,a2+b2=c2,故△ABC為直角三角形,即③正確;對于④,因為△ABC為銳角三角形,所以A+B>,則A>-B,顯然A∈,-B∈,因為函數(shù)y=sinx在上單調(diào)遞增,所以sinA>,即sinA>cosB,故④正確.【方法技巧】1.判斷三角形形狀的常用方法(1)化邊為角;(2)化角為邊.總之,要根據(jù)條件,正確選擇公式、定理.2.常見的思考方向(1)是否兩邊(或兩角)相等;(2)是否三邊(或三角)相等;(3)是否有直角、鈍角.3.解三角形中的常用結(jié)論(1)在△ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.(2)在△ABC中,A+B+C=π,A+B=π-C,,cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,(3)在△ABC中,a2+b2<c2?cosC<0?C>

,a2+b2=c2?cosC=0?C=

,a2+b2>c2?cosC>0?0<C<

.

題組訓練四利用余弦定理、正弦定理解決實際應用題

1.(2020·沈陽高一檢測)如圖所示,為了測量A,B處島嶼的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛40海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為 ()

海里

海里C.20(1+

)海里 海里【解析】選A.連接AB,在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得解得AD=在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=CD=40,在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=800+3200-2×20×40×=2400,解得AB=20.2.(2020·大連高一檢測)如圖所示,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=60°.已