空間直線、平面的垂直關(guān)系導(dǎo)學(xué)案 高三一輪復(fù)習(xí)

高考一輪復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案姓名：使用時間：第八章第五節(jié)空間直線、平面的垂直關(guān)系一、學(xué)習(xí)目標(biāo)【課標(biāo)解讀】1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認(rèn)識和理解空間中直線、平面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.【衍生考點】1.與線、面垂直(平行)相關(guān)命題的判斷2.線面垂直的判定及性質(zhì)3.面面垂直的判定及性質(zhì)4.平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用二、相關(guān)知識回顧1.直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直.“任意”與“所有”是同義的,但與“無數(shù)”不同(2)判定定理與性質(zhì)定理定理名稱文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么“相交”條件至關(guān)重要該直線與此平面垂直a?b=O性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線

?a∥微點撥定義的實質(zhì)是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直.如果一條直線與平面內(nèi)再多(即無數(shù)條)的直線垂直,但這些直線不相交就不能說明這條直線與此平面垂直.微思考1當(dāng)直線m與平面α不垂直時,在α內(nèi)是否一定存在無數(shù)條直線與m垂直?微思考2若兩平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面嗎?2.直線和平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的所成的叫作這條直線和這個平面所成的角.

(2)線面角的范圍:.

微點撥一條直線垂直于平面,則它們所成的角是直角;一條直線和平面平行或在平面內(nèi),則它們所成的角是0°的角.加上斜線與平面所成的角,故線面角范圍是[0°,90°].3.二面角(1)定義:從一條直線出發(fā)的所組成的圖形叫作二面角;(2)二面角的平面角:在二面角的棱上任取一點,以該點為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作的兩條射線,這兩條射線所構(gòu)成的角叫作二面角的平面角.

(3)二面角的范圍:[0°,180°].微點撥二面角的平面角定義中有三個關(guān)鍵詞:一是“棱上一點”,二是“在兩個半平面內(nèi)”,三是“作棱的垂線”.4.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理定理名稱文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條,那么這兩個平面互相垂直?α⊥性質(zhì)定理兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直一是“在面內(nèi)”,二是“垂直于交線”?微點撥面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直線m⊥l,則m與平面β一定垂直嗎?常用結(jié)論1.直線與平面垂直的五個結(jié)論(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這一條直線與另一個平面也垂直.(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.2.三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.三、考點精講精練考點一與直線、平面垂直(平行)相關(guān)命題的判斷典例突破例1.(1)(2021四川涼山州三模)已知三條不重合的直線m,n,l,三個不重合的平面α,β,γ,下列命題中正確的是()A.m⊥l,n⊥l?m∥n B.m⊥α,m⊥β?α∥βC.α⊥(2)(2021山西太原二模)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥BC且PA=BC=1,PB=AC=2,PC=3,則下列命題不正確的是()A.平面PAB⊥平面PBCB.平面PAB⊥平面ABCC.平面PAC⊥平面PBCD.平面PAC⊥平面ABC突破技巧判斷與空間平行、垂直關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法突破技巧判斷與空間平行、垂直關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法(1)借助幾何圖形來說明線面關(guān)系.(2)尋找反例,只要存在反例,結(jié)論就不正確.(3)反復(fù)驗證所有可能的情況,必要時要運用判定定理或性質(zhì)定理進(jìn)行簡單說明.對點訓(xùn)練1(1)(2021山東青島高三期末)設(shè)α,β是兩個不同的平面,l是一條直線,以下結(jié)論正確的是()A.若l⊥α,α∥β,則l⊥βB.若l∥α,l∥β,則α∥βC.若l⊥α,α⊥β,則l?βD.若l∥α,α⊥β,則l⊥β(2)(2021湖南師大附中高三月考)若m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且m⊥α,n?β,則“m∥n”是“α⊥β”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件考點二直線、平面垂直的判定及性質(zhì)(多考向探究)考向1.直線與平面垂直的判定典例突破例2.如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點M在棱BC上,且MC=2MB,求點C到平面POM的距離.對點訓(xùn)練2如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中點,F是CC1上一點.當(dāng)CF=2時,證明:B1F⊥平面ADF.考向2.直線與平面垂直的性質(zhì)典例突破例3.如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AB=1,AD=2,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.(1)求三棱錐E-PAD的體積;(2)證明:無論點E在邊BC的何處,都有AF⊥PE.對點訓(xùn)練3如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為D1D的中點,O為底面ABCD的中心,求證:B1O⊥AP.考點三平面與平面垂直的判定及性質(zhì)典例突破例4.(2021新高考Ⅰ,20)如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點.(1)證明:OA⊥CD;(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形,點E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.對點訓(xùn)練4(2021陜西咸陽模擬)如圖,四邊形ABCD為菱形,四邊形ADEF為正方形,DE=BD=1,CE=2,點G為AD的中點,點H為DE的中點.(1)求證:平面ADEF⊥平面ABCD且FH⊥BE;(2)求三棱錐B-CEG的體積.考點四平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用典例突破例5.在多面體ABCDEF中,BC∥EF,BF=6,△ABC是邊長為2的等邊三角形,四邊形ACDF是菱形,∠FAC=60°,M,N分別是AB,DF的中點.(1)求證:MN∥平面AEF;(2)求證:平面ABC⊥平面ACDF.規(guī)律方法規(guī)律方法用幾何法證明空間中的平行與垂直關(guān)系,關(guān)鍵是靈活運用各種平行(垂直)關(guān)