反比例函數(shù)K的集合幾何意義

與的面積反比例函數(shù)幾何圖形P(m,n)AoyxP(m,n)AoyxByxOABCFE反比例函數(shù)與矩形面積

例1.如圖，P是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的面積為6，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式。解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y),

則OA=x,AP=-y∵矩形OAPB的面積S=6∴OA×AP=6，即-xy=6∴這個(gè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：

P(x,y)Aoyx

B反比例函數(shù)中“k”的幾何意義xyO如圖，是y=6/x的圖象，點(diǎn)P是圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。1、若P(1，y)，則四邊形OAPB的面積＝_________P(1,y)BBAAABAP(5,y)PP(3,y)2、若P(3，y)，則四邊形OAPB的面積＝_________6663、若P(5，y)，則四邊形OAPB的面積＝_________結(jié)論：從雙曲線上任意一點(diǎn)向x、y軸分別作垂線段，兩條垂線段與兩坐標(biāo)軸所圍成的長(zhǎng)方形的面積=︱k︱.想一想：若P(x，y)，則四邊形OAPB的面積＝____1/36P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB過(guò)反比例函數(shù)圖象上任一點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A,B，它們與坐標(biāo)軸形成的矩形面積是不變的。

推廣：反比例函數(shù)與三角形面積

例2.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，AB垂直于x軸，垂足為B.求⊿OAB的面積。

解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），∵點(diǎn)A在圖象上∴xy=-8，︱xy︱=8∴

BoyxAP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx過(guò)P作x軸的垂線，垂足為A,則它與坐標(biāo)軸形成的三角形的面積是不變的，為：PDoyx1.如圖,點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),PD⊥x軸于D.則△POD的面積為

.12.如圖,點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P分別向x軸、y軸作垂線,若陰影部分面積為1,則這個(gè)反比例函數(shù)的關(guān)系式是

.PDoyxPyxOC的面積不變性注意：（1）面積與P的位置無(wú)關(guān)（2）當(dāng)k符號(hào)不確定的情況下須分類討論P(yáng)Q0xyP0xy3、在雙曲線上任一點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線段，與x軸y軸圍成矩形面積為12，求函數(shù)解析式__________。(X>0)yxO或AA.S1=S2=S3

B.S1<S2<S3

C.S3<S1<S2

D.S1>S2>S3

BA1oyxACB1C1S1S3S2AoyxBS1S2如圖，A,B是雙曲線上的點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)向X軸、y軸作垂線段，若

.4Oyxs1s2∟

如圖,點(diǎn)P、Q是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P、Q分別向x軸、y軸作垂線,則S1(黃色三角形）S2(綠色三角形）的面積大小關(guān)系是：S1

____S2.PQ

趁熱打鐵，大顯身手（提高篇）∟∟∟=xyOP1P2P3P41234如圖，在反比例函數(shù)的圖象上，有點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，4．分別過(guò)這些點(diǎn)作軸與軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，則（x>0)

．（x>0)思考：1.你能求出S2和S3的值嗎？2.S1呢？1yxoBEACD

若A(m，n)是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0<m<3，點(diǎn)B的坐標(biāo)(3，2)，過(guò)點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C；過(guò)點(diǎn)B作直線BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形OBEA的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段AC與AE的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。yBAxo如圖，已知，A,B是雙曲線上的兩點(diǎn)，（2）在(1)的條件下，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，連接OA,OB,AB，求△OAB的面積。（1）若A(2,3)，求K的值yBAxo（3）若A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a,2a，線段AB的延長(zhǎng)線交X軸于點(diǎn)C，若，求K的值CAyOBxMNy=kx+1的圖像交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是3.

已知：如圖,反比例函數(shù)與一次函數(shù)（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式（2）求△AOB的面積.變式練習(xí)

如圖，已知正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)y=k/x的圖象上，點(diǎn)P(m,n)是圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E,F，拓展提高G若設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S，寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．總結(jié)提高一個(gè)性質(zhì)：反比例函數(shù)的面積不變性兩種思想：分類討論和數(shù)形結(jié)合yBAxo如圖，已知，A,B是雙曲線上的兩點(diǎn)，（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的條件下，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，連接OA,OB,AB，求△OAB的面積。CDEyBAxo如圖，已知，A,B是雙曲線上的兩點(diǎn)，（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的條件下，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，連接OA,OB,AB，求△OAB的面積。C(5,0)yBAxo如圖，已知，A,B是雙曲線上的兩點(diǎn)，（1）若A(2,3)，求K的值（2）在(1)的條件下，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3，連接OA,OB,AB，求△OAB的面積。CDE2、正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A、C兩點(diǎn).AB⊥x軸于B,CD⊥y軸于D(如圖),則四邊形ABCD的面積為()

（A）1（B）（C）2（D）

例3.如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于B，連結(jié)BC，則面積S為多少？解：因?yàn)辄c(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，設(shè)A（x,y），則C(-x,-y),過(guò)C點(diǎn)做

CD垂直與X軸,垂足為D點(diǎn)所以D練習(xí)：（2010湖北孝感）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，且AB∥x軸，C、D在x軸上，若四邊形ABCD為矩形，則它的面積為

.2.如圖，過(guò)反比例函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)OA、OB。設(shè)AC與OB的交點(diǎn)為E，與梯形ECDB的面積分別為S1、S2，比較它們的大小，可得（）

A. B.C.D.大小關(guān)系不能確定E3.如圖，A、B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的任意兩點(diǎn)，AC平行于y軸，BC平行于x軸，的面積為S，則（）

A.S＝1B. C.S＝2D.4.如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于B，過(guò)C作x軸的垂線，交x軸于D，則四邊形ABCD的面積為____________。

綜合例4.如圖，反比例函數(shù)(x>0)與矩形OABC的邊AB、BC交于F、E兩點(diǎn)，且BE=CE，四邊形OEBF的面積為21.求證：AF=BF2.求三角形OAF的面積3.求k的值yxOABCFE例：如圖，反比例函數(shù)(x>0)與矩形OABC的邊AB、BC交于F、E兩點(diǎn)，且BE=CE，四邊形OEBF的面積為2

1.求證：AF=BF;2.求三角形OAF的面積;3.求k的值

解：1.連接OB，在矩形OABC中，∵BE=CE,∴又==S矩形OABC

∴=S矩形OABC∵點(diǎn)F也在反比例函數(shù)圖象上，∴∴∴AF=BF2.∵∴

∵四邊形OEBF的面積為2，∴yxOABCFES⊿OCE=S⊿OBES⊿OCBS⊿OCE×S⊿OABS⊿AOF=S⊿OCE=S矩形OABCS⊿AOF=S⊿BOFS⊿AOF=S⊿BOF=S⊿EOBS矩形OABCS⊿AOF=13.∵∴k=2S⊿AOF=1=1/2k過(guò)E,F點(diǎn)分別做X軸、Y軸的垂線，垂足分別為G、H，yxOABCFEGHO因?yàn)辄c(diǎn)E、F在反比例函數(shù)圖像上，所以矩形OCEG的面積等于矩形OHFA的面積，所以O(shè)C×CE=OA×AF,∵CE=BE,∴1/2BC×OC=OA×AF,又在矩形OABC中，OA=BC,OC=AB∴AF=1/2OC∴AF=1/2AB,∴AF=BF證法二：

證明：設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a,b），∵BC∥x軸，

且BE=CE，

∴B（2a，b）

∵AB∥y軸，

F點(diǎn)橫坐標(biāo)為2a，設(shè)縱坐標(biāo)為y，

∵點(diǎn)E和點(diǎn)F都在反比例函數(shù)圖像上

∴ab=k，2ay=k

∴y=b，

∴F是線段AB的中點(diǎn)，即AF=BFyxOABCFE練習(xí)：1.（2011湖北）如圖，雙曲線經(jīng)過(guò)四邊形OABC的頂點(diǎn)A、C，