幾何光學的基本定律和費馬原理

關于幾何光學的基本定律和費馬原理第1頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三§1-1幾何光學的基本定律和費馬原理光線與波面幾何光學的基本實驗定律費馬原理2第2頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三一、光線與波面1.光線：形象表示光的傳播方向的幾何線。［注］①同力學中的質(zhì)點一樣，光線僅是一種抽象的數(shù)學模型。它具有光能，有長度，有起點、終點，但無粗細之分，僅代表光的傳播方向。無數(shù)光線構成光束。光沿光線方向傳播時，位相不斷改變。2.波面：光傳播中，位相相同的空間點所構成的平面或曲面。［注］①波面即等相位面，也是一種抽象的數(shù)學模型。

波面為平面的光波稱為平面光波（如平行光束）；為球面的稱為球面光波（如點光源所發(fā)光波）；為柱面的稱為柱面光波（如縫光源所發(fā)光波）3第3頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三波面光線波面光線球面波

平面波3.光線與波面的關系

在各向同性介質(zhì)中，光線總是與波面法線方向重合。即光線與波面總是垂直的。4第4頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三二、幾何光學的基本實驗定律1、光的直線傳播定律：光在各向同性的均勻介質(zhì)中沿直線傳播。［注］：非均勻介質(zhì)中，光以曲線傳播，向折射率增大方向彎曲實例：物體的影子、針孔成象、日食、月食實例：夏日柏油路上的倒影、海市蜃樓5第5頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2、光的獨立傳播定律和光路可逆原理:［注］適用于強度不太大，相干性較差的光線傳播來自不同方向的光線在介質(zhì)中相遇后，各保持原來的傳播方向和強度繼續(xù)傳播。光沿反方向傳播時，必定沿原光路返回。即在幾何光學中，任何光路都是可逆的。6第6頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三

入射光線、反射面的法線和反射光線三者處在同一平面上，入射光線和反射光線分居于入射點界面法線的兩側，入射角等于反射角。3、反射定律：en界面SR漫反射（故，我們才能在各個角度看見物體）7第7頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三

其中：n21稱為介質(zhì)2相對于介質(zhì)1的相對折射率4、折射定律入射光線折射光線

i

入射角折射角

enn1n2分界面

入射光線、折射光線和分界面的法線en三者同處在一個平面上，入射角i和折射角

有下述關系：——斯涅耳公式，1621（見附錄1）［注］絕對折射率：一種介質(zhì)相對于真空的折射率8第8頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三9第9頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三5、幾何光學定律成立的條件（1）必須是均勻介質(zhì)，即同一介質(zhì)的折射率處處相等，折射率不是位置的函數(shù)。（2）必須是各向同性介質(zhì)，即光在介質(zhì)中傳播時各個方向的折射率相等，折射率不是方向的函數(shù)。（3）光強不能太強，否則巨大的光能量會使線性疊加原理不再成立而出現(xiàn)非線性情況。（4）光學元件的線度應比光的波長大得多，否則不能把光束簡化為光線。6、折、反射在大氣現(xiàn)象中的應用虹、霓（副虹）、日食、月食、海市蜃樓（見附錄2）10第10頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三1.光程——在均勻介質(zhì)中，光在介質(zhì)中通過的幾何路程

l與該介質(zhì)的折射率n的乘積：三、費馬原理

光在均勻介質(zhì)中總是沿直線傳播的，光在非均勻介質(zhì)中又是怎樣傳播的？費馬借助光程的概念，回答了該問題。物理意義：光程表示光在介質(zhì)中通過真實路程所需時間內(nèi),在真空中所能傳播的路程。分區(qū)均勻介質(zhì):折射率連續(xù)變化介質(zhì):介質(zhì)中折合到真空中11第11頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三2.費馬原理1658年法國數(shù)學家費馬（P.Fermat1601-1665)概括了光線傳播的三定律，發(fā)表了“光學極短時間原理”，經(jīng)后人修正，稱為費馬原理。

過去表述：光沿所需時間為極值的路徑傳播?，F(xiàn)在表述：光沿光程取極值的路徑傳播。［注］極值：極小值、極大值、恒定值數(shù)學表述：（由變分原理）每一可能路徑都是空間的坐標函數(shù),而光程又隨路徑而變化,是函數(shù)的函數(shù)——泛函*,其改變稱為變分，數(shù)學過程是相應的求導。*泛函與復合函數(shù)（附錄4）12第12頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三光程為極值的例子:(1)光程為極小值——直線傳播定律、反射定律、折射定律（后做證明）(2)光程為恒定值——回轉橢球凹面鏡AB［析］橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為常數(shù)自其一個焦點發(fā)出、經(jīng)鏡面反射后到達另一焦點的光線，其光程相等。13第13頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三(3)光程為極大值回轉拋物凹面鏡ABB.內(nèi)切于回轉橢球面的凹球面鏡由A點發(fā)出過D點符合反射定律的光線，必過橢球另一焦點B，光線的光程ADB比任何路徑的光程ACB都大.ABDC焦點發(fā)出的光，反射后變?yōu)槠叫泄?，會聚在無窮遠處，光程為極大值。14第14頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三3.由費馬原理導出幾何光學定律在均勻介質(zhì)中折射率為常數(shù)1).直線傳播定律：所以光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播而由公理：兩點間直線距離最短的極小值為直線ABAB15第15頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三由費馬原理知，A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii’設從A點發(fā)出的光線入射到分界面xoz，在C點反射到B點2)反射定律

16第16頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三由(2)知，z=0，說明入射點C一定在xoy平面內(nèi)，即D(x,0,0)，由此入射光線、法線，反射光線在同一平面內(nèi)。由(1)也即：得：A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii’17第17頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三當x1≠x2時，x一定x1在x2之間，因而入射光線和反射光線分居法線兩側。即，光垂直入射到分界面，三線重合.當x1＝x2＝x時A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii’3)折射定律（見附錄或課本P5）

討論：18第18頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三小

結一、光線與波面在各向同性介質(zhì)中，光線與波面總是垂直的二、幾何光學的基本實驗定律光的直線傳播、反射、折射、光的獨立傳播和光路可逆三、費馬原理光沿光程取極值的路徑傳播n2n119第19頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三作業(yè)一、P261.11.2（第二問需聯(lián)系普物力學實驗）1.6二、P5例1.1n20第20頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三附錄1：折射定律的得出—斯涅耳

大約是在1621年，荷蘭萊頓的斯涅耳通過實驗確立了開普勒想發(fā)現(xiàn)而沒有能夠發(fā)現(xiàn)的折射定律．

當時斯涅耳注意到了水中的物體看起來象漂浮的現(xiàn)象，并試圖揭開其中的奧秘．由此便引出了他對折射現(xiàn)象的研究．21第21頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三

在總結托勒密、開普勒等前人的研究成果后，斯涅耳做了進一步的實驗．斯涅耳發(fā)現(xiàn)，從空氣到水里的一條光線在水中所走的長度，同該光線如按未偏離其原始方向而本來會通過的路程成一定的比．他指出，折射光線位于入射光線和法線所決定的平面內(nèi)，入射光線和

折射光線分別位于法線兩側，入射角的正弦和折射角的正弦的比值對于一定的兩種媒質(zhì)來說是一個常數(shù)．這個常數(shù)是第二種媒質(zhì)對第一媒質(zhì)的相對折射率，斯涅耳的這一折射定律（也稱斯涅耳定律）是從實驗中得到的，未做任何的理論推導，雖然正確，但卻從未正式公布過．只是后來惠更斯和伊薩克·沃斯兩人在審查他遺留的手稿時，才看到這方面的記載．

22第22頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三

1、虹、霓的成因附錄2：折、反射在大氣現(xiàn)象中的應用笛卡兒1637年第一次從數(shù)學上闡明了產(chǎn)生虹霓的成因，牛頓1666年解釋了它的彩色來源。后來發(fā)現(xiàn)虹霓光都是偏振光。（1）

虹是太陽光線從水滴上部入射經(jīng)水滴一次反射2次折射形成的，（一次虹）。（2）霓是太陽光線從水滴下部入射經(jīng)水滴二次反射，二次折射形成的（二次虹）。23第23頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三24第24頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三（3）色彩的排列

人們常見的是一次虹，偶而能見到兩次虹并列懸掛在空中。當光弧環(huán)對觀測者所張的角半徑約42度，光環(huán)的彩色排序是內(nèi)紫外紅時，稱為虹。

在虹的外面，有時還出現(xiàn)較虹弱的彩色光環(huán)，光環(huán)對觀測者所張的角半徑約為52度，彩色環(huán)的排序與虹相反即內(nèi)紅外紫，稱為霓或副虹。

由于固定夾角的限制，當太陽在我們頭上時（例如正午），折射的光線進不到眼睛，所以看不到彩虹。必須到下午4點以后，彩虹才會在山巒或城市的天際線上出現(xiàn)，而且越接近傍晚，彩虹的位置越高。

25第25頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三如果各層間隔較大，且折射率是間斷遞變的，則光線以折線彎曲傳播。如果各層間隔較小，且折射率是連續(xù)遞變的，則光線以光滑曲線傳播。由圖折射光線總是向折射率大的方向彎曲。2、海市蜃樓（1）光在折射率遞變的介質(zhì)層上的軌跡26第26頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三當在某一層i，使

，光線則平射，此時的(由此可求哪一層開始全反射)（2）海平面上

由于水蒸汽濃度隨海平面高度增加而減少，因而折射率隨海平面高度增加而減少。

在一定的條件下（風速、濕度等），可能在某一層發(fā)生全反射，光線向下入射而形成海市唇樓。27第27頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三（3）在沙漠里

沙漠上溫度隨高度而遞減，水蒸汽濃度隨高度而增加，因而折射率隨高度而增加。

在一定條件下，在某一層發(fā)生全反射而形成沙漠海市唇樓。28第28頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三這是全反射類型的海市蜃樓現(xiàn)象，本質(zhì)是地表空氣層溫度與大氣空氣溫度的差異達到一定程度引起的比光折射程度還大的全反射現(xiàn)象。天空（白色背景）在界面處的發(fā)生的反射影像，看起來就像是水了。原理就是太陽光從光密介質(zhì)（大氣，高折光指數(shù)，溫度較低比如40度）進入光疏介質(zhì)（地表空氣薄層，低折光指數(shù)，溫度較高比如80度），發(fā)生的全反射。29第29頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三

3、日食、月食30第30頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三31第31頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三附錄3:利用費馬原理證明折射定律A,B是xoy平面內(nèi)的兩個固定點，且在不同的介質(zhì)中，則光線的軌道如何？由A經(jīng)C到B的光程為：A(x1,y1,o)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyi1i2n1n232第32頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三由費馬原理知，(1)(2)由（2）式知，

，說明入射點一定在

平面內(nèi)，即

，因此，入射光線，法線，折射光線在同一平面內(nèi)（

平面）33第33頁，講稿共35頁，2023年5月2日，星期三由（1）式知：由