2021年山西省朔州市后東中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021年山西省朔州市后東中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，把數(shù)列的各項排列成如右圖所示的三角形狀，記表示第行的第個數(shù)，則=(

)A.

B.

ks5u

C.

D.參考答案：B略2.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知集合，，則A.[0,7)

B.[0,1)

C.[0,1]

D.[－1,1]參考答案：D4.如果命題“p且q”是假命題，“非p”是真命題，那么（）A．命題p一定是真命題B．命題q一定是真命題C．命題q可以是真命題也可以是假命題D．命題q一定是假命題參考答案：C“非p”是真命題，則p為假命題，命題q可以是真命題也可以是假命題．5.給出下列函數(shù)：①；②；③.，使得的函數(shù)是（

）A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③參考答案：B6.以雙曲線的右焦點為圓心且與雙曲線的線相切的圓的方程是A. B.C. D.參考答案：7.在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，如果函數(shù)的圖象恰好通過個整點，則稱函數(shù)為階整點函數(shù).有下列函數(shù)①

②

③

④，其中是一階整點函數(shù)的是(

）A．①②③④

B．①③④

C．④

D．①④參考答案：D8.已知雙曲線與橢圓共頂點，且焦距是6，此雙曲線的漸近線是

A．

B．C．D．參考答案：B略9.已知，，，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.函數(shù)f(x)的定義域為D，若f(x)滿足在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)且存在[m，n]D使f(x)在[m，n]上的值域為，那么就稱y=f(x)為“半保值函數(shù)”，若函數(shù)，（且）是“半保值函數(shù)”，則正實數(shù)t的取值范圍是（

）A.(0,] B.(0,) C.(0,+∞) D.(,+∞)參考答案：B【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的值域，可得t的范圍.【詳解】當時，均為增函數(shù)，所以為增函數(shù)；當時，均為減函數(shù)，所以為增函數(shù)；所以當時，，根據(jù)題意可得，所以是方程的兩個不等的實數(shù)根，所以有，結(jié)合為正實數(shù)，即有，故選B.【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，信息提供型題目，注意對題意的準確理解上.側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知b=a，A=2B，則cosA=

．參考答案：

【考點】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式化簡可得cosB=，進而利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可計算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得：===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案為：．12.下列說法中，正確的有

（把所有正確的序號都填上）．①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”；②函數(shù)y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π；③命題“函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，則f'（x0）=0”的否命題是真命題；④函數(shù)f（x）=2x﹣x2的零點有2個；⑤dx等于．參考答案：①⑤【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】簡易邏輯．【分析】通過命題的否定判斷①的正誤；函數(shù)的周期判斷②的正誤；命題的否命題的真假判斷③的正誤；函數(shù)的零點的公式判斷④的正誤；定積分求出值判斷⑤的正誤．【解答】解：對于①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”，滿足特稱命題的否定是全稱命題的形式，所以①正確；對于②，函數(shù)y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函數(shù)的最小正周期，所以②不正確；對于③，命題“函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，則f'（x0）=0”的否命題是：若f'（x0）=0，則函數(shù)f（x）在x=x0處有極值，顯然不正確．利用y=x3，x=0時，導(dǎo)數(shù)為0，但是x=0不是函數(shù)的極值點，所以是真命題；所以③不正確；對于④，由題意可知：要研究函數(shù)f（x）=x2﹣2x的零點個數(shù)，只需研究函數(shù)y=2x，y=x2的圖象交點個數(shù)即可．畫出函數(shù)y=2x，y=x2的圖象，由圖象可得有3個交點．所以④不正確；對于⑤，dx的幾何意義是半圓的面積，圓的面積為π，dx=．所以⑤正確；故答案為：①⑤．【點評】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，考查命題的否定，零點判定定理，定積分的求法，函數(shù)的周期等知識，考查基本知識的應(yīng)用．13.

．參考答案：

14.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1的直線與的左、右兩支分別交于A，B兩點．若|AB|:

|BF2|:

|AF2|＝3:4:5，則雙曲線的離心率為___________參考答案：15.若，則的值為__________。參考答案：16.某幾何體的三視圖如圖所示，當a+b取最大值時，該幾何體的表面積是

；參考答案：略17.一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點P，如果：將容器倒置，水面也恰好過點P有下列四個命題：

①正四棱錐的高等于正四棱柱的高的一半；

②若往容器內(nèi)再注a升水，則容器恰好能裝滿；

③將容器側(cè)面水平放置時，水面恰好經(jīng)過點P；

④任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點P．

其中正確命題的序號為

（寫出所有正確命題的序號）參考答案：【知識點】棱錐棱柱G7②③解析：設(shè)圖（1）水的高度h2幾何體的高為h1，底面邊長為b，

圖（1）中水的體積為，圖（2）中水的體積為b2h1-b2h2=b2（h1-h2），

所以b2h2=b2（h1-h2），所以h1=h2，故①錯誤；又水占容器內(nèi)空間的一半，所以②正確；當容器側(cè)面水平放置時，P點在長方體中截面上，所以③正確；假設(shè)④正確，當水面與正四棱錐的一個側(cè)面重合時，經(jīng)計算得水的體積為b2h2＞b2h2，矛盾，故④不正確．故答案為：②③．【思路點撥】可結(jié)合已知條件先判斷出水的體積占整個容積的一半，再通過計算判斷①④是否正確即可.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點和短軸的兩個端點構(gòu)成邊長為2的正方形．（1）求橢圓C的方程；（2）過點Q（1，0）的直線l與橢圓C相較于A，B兩點，且點P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，當k1?k2取最大值時，求直線l的方程．參考答案：考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）由題意可得：b=c=，a=2，即可得出橢圓C的標準方程為=1．（2）當直線l的斜率為0時，利用向量計算公式可得k1k2=；當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立可得（m2+2）y2+2my﹣3=0，利用斜率計算公式與根與系數(shù)的關(guān)系可得k1?k2==，令t=4m+1，只考慮t＞0時，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答： 解：（1）由題意可得：b=c=，a=2，∴橢圓C的標準方程為=1．（2）當直線l的斜率為0時，k1k2==；當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，化為（m2+2）y2+2my﹣3=0，，y1y2=，又x1=my1+1，x2=my2+1，∴k1?k2=====，令t=4m+1，只考慮t＞0時，∴k1?k2=+=≤1，當且僅當t=5時取等號．綜上可得：直線l的方程為：x﹣y﹣1=0．點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線斜率計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了換元法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，，，D為AC的中點，N為AB1與A1B的交點.（1）證明：B1C∥平面BA1D；（2）設(shè)，求直線BC1與平面BA1D所成角的正弦值.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線定理得出兩直線平行,再由線面平行的判斷定理可得證；(2)如下圖,以A為原點，AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求得平面的法向量,和向量的坐標,根據(jù)線面角的向量坐標公式,可求得值.【詳解】（1）證明：由題知，N為的中點，D為AC的中點，，平面，平面，平面.（2）如圖，以A為原點，AB，AC，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，故直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理,利用空間直角坐標系求得線面角的問題,在求線面角時,注意求得面的法向量與所求的線向量的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值,這是一個易錯點,屬于中檔題.20.（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，，，為的中點，為上的一點，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設(shè)異面直線與的夾角為45°，求二面角的余弦值．參考答案：（本小題滿分12分）解：（I）連接A1B，記A1B與AB1的交點為F.因為面AA1BB1為正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D為BB1的中點，故DE∥BF，DE⊥AB1.

………………3分作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點.又由底面ABC⊥面AA1B1B.連接DG，則DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD.所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線.（II）因為DG∥AB-1，故∠CDG為異面直線AB-1與CD的夾角，∠CDG=45°設(shè)AB=2，則AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1H⊥A1C1，H為垂足，因為底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K為垂足，連接B1K，由三垂線定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角.略21.小明打算從組和組兩組花樣滑冰動作中選擇一組參加比賽．已知小明選擇組動作的概率是選擇組動作的概率的3倍，若小明選擇組動作并正常發(fā)揮可獲得10分，沒有正常發(fā)揮只能獲得6分；若小明選擇組動作則一定能正常發(fā)揮并獲得8分．據(jù)平時訓(xùn)練成績統(tǒng)計，小明能正常發(fā)揮組動作的概率是．（Ⅰ）求小明選擇組動作的概率；（Ⅱ）設(shè)表示小明比賽時獲得的分數(shù)，求的分布列與期望．

參考答案：解（Ⅰ）設(shè)小明選擇組動作的概率為，則小明選擇組動作的概率為，依題意得即。所以小明選擇組動作的概率為0.75………………4分（Ⅱ）依題意得=10、6、8………………10分∴的分布列為1068

………13分

略22.．（1）求圓O與直線l的直角坐標方程；（2）當θ∈（0，π）時，求圓O和直線l的公共點的極坐標．參考答案：【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程．【分析】（1）圓O的極坐標方程化為ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圓O的直角坐標方程；直線l的極坐標方程化為ρsi