剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

關(guān)于剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第1頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三設(shè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體某瞬時(shí)的角速度為ω，角加速度為ε設(shè)其上第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的外力為，內(nèi)力為因剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故只考慮力矩的效應(yīng)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力Fi對(duì)轉(zhuǎn)軸z軸之矩為§6-1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程zωεrimi?對(duì)整個(gè)剛體第2頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三令即——?jiǎng)傮w對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,它是轉(zhuǎn)動(dòng)剛體慣性的度量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度的乘積等于作用于剛體上的所有外力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩的代數(shù)和?！?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第3頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三OR§6-2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、簡(jiǎn)單形體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)細(xì)直桿dxx均質(zhì)薄圓環(huán)RzO均質(zhì)圓板mi二、回轉(zhuǎn)半徑(慣性半徑)rdrlxzO第4頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三三、平行軸定理riyzxO·mi

Jz=JC+

md2剛體對(duì)任一定軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz

，等于它對(duì)通過質(zhì)心C且與z軸平行的C軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC，加上其質(zhì)量m與兩軸間的距離d的平方乘積。z'

軸過質(zhì)心C,則

C

z'x'y'dri'【證明】設(shè)質(zhì)心C的坐標(biāo)為

(xC,yC),則任一點(diǎn)mi的坐標(biāo)滿足:xi=xC+xi',

yi=yC+yi'即顯然第5頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三【例6-1】圖示質(zhì)量為m長(zhǎng)度為l的均質(zhì)直桿OA和質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓盤

C在A點(diǎn)剛性連接，求系統(tǒng)對(duì)垂直于圖面且過O

點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?！窘狻縅O

=JO(OA)

+JO(C)OCA四、例題第6頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三§6-3剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得剛體的平面運(yùn)動(dòng)可視為隨質(zhì)心（基點(diǎn)）的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。由相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理得CrC應(yīng)用時(shí)多取投影式φDO一、運(yùn)動(dòng)微分方程第7頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三【例6-6】均質(zhì)圓輪C質(zhì)量為m，其上繞以細(xì)繩，繩的一端固定于O點(diǎn)。求其下降時(shí)質(zhì)心C的加速度和繩的拉力。OC【解】1）輪C作平面運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)微分方程為TCmg2）輪C左邊沿與繩接觸點(diǎn)I為瞬心3）求解I二、例題第8頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三AO【例6-7】均質(zhì)圓盤O和C的質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r。圓盤O可繞通過點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，繩的一端繞在圓盤O上，另一端繞在圓盤C上。求當(dāng)圓盤C下落時(shí)質(zhì)心C的加速度及繩AB段的張力。TCBTmgMgN【解】1）輪O作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

其平面運(yùn)動(dòng)微分方程為點(diǎn)C的絕對(duì)加速度2）輪C作平面運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B為相對(duì)瞬心4）求解點(diǎn)A的加速度其平面運(yùn)動(dòng)微分方程為第9頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三【例6-8】長(zhǎng)為l質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿A端用細(xì)繩懸掛于天花板上，B端靜止放置于光滑水平面上。求突然剪斷繩時(shí)點(diǎn)B的加速度及桿AB的角加速度。OABCmgNaCε【解】1）AB桿作平面運(yùn)動(dòng)

列平面運(yùn)動(dòng)微分方程2）分析B點(diǎn)的加速度因ω=0，故求aB的投影3）求解aC第10頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三AOCBr【例6-9】圖示半徑為r質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪上纏以無重水平細(xì)繩，A端固定。輪心O處作用一水平常力FO，輪與水平地面間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f。設(shè)力FO足夠大，使輪心O水平向右運(yùn)動(dòng)，輪子轉(zhuǎn)動(dòng)使不可伸長(zhǎng)細(xì)繩展開。求在FO作用下輪心O從靜止開始走過s段路程時(shí)輪子的角速度和角加速度。FCmgNFFOωε【解】1）列輪子運(yùn)動(dòng)方程4）摩擦條件：F=Nf2）C為瞬心，則滿足aO=rε，vO=rω5）求解：3）勻變速運(yùn)動(dòng)學(xué)條件aO第11頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三C【例6-10】質(zhì)量為m半徑為r的均質(zhì)圓柱C無初速的放在質(zhì)量為M傾角為

的斜面上，斜面與地面光滑接觸。不計(jì)滾動(dòng)阻力，求斜面的加速度、圓柱中心C點(diǎn)的相對(duì)加速度和角加速度。mgNaraeεae【解】1）若斜面與圓柱光滑接觸，圓柱受力如圖。整體的動(dòng)量在水平方向守恒求解：顯然圓柱只滑不滾。第12頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三CmgNaraeFεae2）若斜面與圓柱粗糙接觸，圓柱作純滾動(dòng)。整體動(dòng)量水平方向守恒求解圓柱的牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)第13頁，講稿共15頁，2023年5月2日，星期三Cmg