分數(shù)乘法和分數(shù)裂項法

./分數(shù)乘法與分數(shù)裂項法[專題解析]我們知道,分數(shù)乘法的運算是這樣的：分數(shù)乘分數(shù),應該分子乘分子,分母乘分母〔當然能約分的最好先約分在計算。分數(shù)乘法中有許多十分有趣的現(xiàn)象與技巧,它主要通過些運算定律、性質和一些技巧性的方法,達到計算正確而迅速的目的。1、運用運算定律：這里主要指乘法分配律的應用。對于乘法算式中有因數(shù)可以湊整時,一定要仔細分析另一個因數(shù)的特點,盡量進行變換拆分,從而使用乘法分配律進行簡便計算。2、充分約分：除了把公因數(shù)約簡外,對于分子、分母中含有的公因式,也可直接約簡為1。進行分數(shù)的乘法運算時,要認真審題,仔細觀察運算符號和數(shù)字特點,合理進行簡算。需要注意的是參加運算的數(shù)必須變形而不變質,當變成符合運算定律的形式時,才能使計算既對又快。[典型例題]——乘法分配律的妙用例1．計算：〔1×37〔22004×分析與解：觀察這兩道題的數(shù)字特點,第〔1題中的與1只相差1個分數(shù)單位,如果把寫成〔1－的差與37相乘,再運用乘法分配律可以使計算簡便。同樣,第〔2題中可以把整數(shù)2004寫成〔2003+1的和與相乘,再運用乘法分配律計算比較簡便。[舉一反三]計算：〔1×37〔2×37〔3×56例2．計算：〔172×〔273×分析與解：〔172把改寫成<72+>,再運用乘法分配律計算比常規(guī)方法計算要簡便得多?！?73把改寫成<72+>,再運用乘法分配律計算比常規(guī)方法計算要簡便得多。[舉一反三]計算：〔120×〔216×〔3×〔464×[小試牛刀]計算：〔1×37〔2×28[典型例題]——乘法交換律的巧用例3.計算：〔1×＋×＋×〔2×39+×25+×分析與解：〔1觀察題目的特點,分子中都有5,分母中都有27,根據(jù)乘法的交換律,湊出,就可以應用乘法分配律使計算簡便?！?觀察題目的特點,×39可以寫成×13,×可以寫成×,這樣每個因數(shù)中都含有,就可以運用乘法分配律使計算簡便。[舉一反三]計算：〔1×＋×〔2×＋×＋×〔3×39+×27〔4×17+×25[典型例題]——有關小數(shù)、帶分數(shù)的分數(shù)乘法的巧算例4.計算：41×0.75＋51.25×＋×61.2分析與解：先把題中的小數(shù)化成分數(shù),再觀察題目的特點,41寫成〔40+后可以與應用乘法分配律直接就算出了結果,后兩個算式同樣可以應用這個方法,從而使計算簡便。[舉一反三]計算：〔121.25×＋31.2×＋46.125×〔285×0.375＋71×＋56.25×0.8分數(shù)裂項求和[專題解析]細心觀察、善于總結的同學,在學習中可能發(fā)現(xiàn)了這樣一個有趣的現(xiàn)象：如果分數(shù)的分子是自然數(shù)1,分母是相鄰兩個自然數(shù)的乘積,那么這個分數(shù)可以寫成兩個分數(shù)差的形式。寫成的兩個分數(shù)的分子是自然數(shù)1,分母分別是相鄰的兩個自然數(shù)?！策@種方法稱為"裂項法"如：＝—；＝—；＝—；＝—；……我們可以利用分數(shù)的這一性質,使看似復雜的題目簡單化。[典型例題]例1．計算：+++…++分析與解：這道題如果按照常規(guī)方法先通分再求和,計算起來很繁雜,甚至難以做到。但是如果巧妙地對算式變形,就可以使繁雜的計算簡便。[舉一反三]計算：〔1+++…++〔2+++…++例2．計算：+++…+分析與解：上面這道題中的每個分數(shù)的分子都是1,但分母并不是兩個相鄰自然數(shù)的乘積,該怎么辦呢？仔細觀察這些分數(shù)的分母就會發(fā)現(xiàn)：6＝2×3,12＝3×4,20＝4×5,…,2450＝49×50。這樣,上面算式中分數(shù)的分母也可以寫成相鄰兩個自然數(shù)乘積的形式。[舉一反三]計算：〔3++++…+〔4+++…++例3.計算：+++…+分析與解：這道題中每一個分數(shù)的分母都可以寫成不相鄰的兩個自然數(shù)乘積的形式,分子是這兩個自然數(shù)的差。這樣每一個分數(shù)也都可以寫成兩個分數(shù)差的形式,寫成的兩個分數(shù)的分子是自然數(shù)1,分母分別是原分數(shù)中分母上的兩個自然數(shù)。如：＝—；＝—等等。[舉一反三]計算：〔5+++…+〔6+++…+例4.計算：+++…+分析與解：是不是覺得本題和例3有些相似,但又不完全一樣？例3中每一個分數(shù)的分子都是4〔兩個自然數(shù)的差,而這道題中每一個分數(shù)的分子都是1,可以直接將每一個分數(shù)寫成兩個分數(shù)相減的形式嗎？該怎么計算呢？這就啟發(fā)我們思考,能否將每一個分數(shù)的分子也變成兩個自然數(shù)的差呢？利用分數(shù)的基本性質是完全可以的。所以給原題乘4,為了使原題的值不變,然后再除以4.[舉一反三]計算：〔7+++…+〔8+++…+例