§ LI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)

先看前例電路如下，當(dāng)t=0時(shí)開(kāi)關(guān)由1至2，系統(tǒng)輸出為電流，試確定電流i(t)及其導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻前后的值。即是要求t=0-與0+時(shí)刻電流及其導(dǎo)數(shù)的值。由觀(guān)察可知，t=0-時(shí)刻電路應(yīng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，于是§2.5LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)由前所講已知，當(dāng)-∞＜t＜∞時(shí)系統(tǒng)方程為當(dāng)t=0+時(shí)刻，由于電感電流不會(huì)突變，于是可見(jiàn)，在當(dāng)t=0時(shí)刻的前后，電路中狀態(tài)發(fā)生了跳變。即系統(tǒng)方程的右邊出現(xiàn)沖激信號(hào)，t=0時(shí)刻的條件會(huì)發(fā)生跳變。一、單位沖激響應(yīng)零狀態(tài)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)時(shí)，由單位沖激作用之下產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。因此，它是一個(gè)零狀態(tài)響應(yīng)。但是，單位沖激信號(hào)δ(t)僅在t=0時(shí)刻不等于0，當(dāng)t>0時(shí)δ(t)=0，因此系統(tǒng)在t>0時(shí)的響應(yīng)是零輸入響應(yīng)的形式。因此，在時(shí)域求解的情況下，hp(t)與t=0+時(shí)初始條件的確定成了h(t)求解的關(guān)鍵。例題1（系統(tǒng)解法P27）、設(shè)系統(tǒng)方程如下，試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。⑴⑵1/解：此時(shí)方程應(yīng)為⑴求特征根，確定齊次通解（用的是0+初始條件,t>0，所以有個(gè)階躍信號(hào))⑵確定特解，并確定t=0+時(shí)刻的初始條件。比較以上方程兩邊可見(jiàn)，中應(yīng)有強(qiáng)度為1的沖激，而中沒(méi)有沖激存在，否則中將有沖激的導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)。因此，中沒(méi)有特解出現(xiàn)。因?yàn)椋ɑ蛘哂脹_激函數(shù)平衡法求得）所以⑶由t=0+時(shí)刻的初始條件，確定待定系數(shù)。所以2/解：此時(shí)方程應(yīng)為⑴求特征根，確定齊次通解。⑵確定特解，并確定t=0+時(shí)刻的初始條件。比較以上方程兩邊可設(shè)：在t=0時(shí)刻（沖激函數(shù)平衡法）于是在t=0時(shí)刻將這兩式代入以上方程即有

于是在t=0(t≥0)時(shí)刻，系統(tǒng)的特解B0Δu=-Δu表示在t=0時(shí)刻系統(tǒng)由于沖激作用引起跳變，跳變值B0=-1。它是在單位沖激信號(hào)的作用下，系統(tǒng)在t=0+時(shí)刻建立起來(lái)的狀態(tài)。利用此狀態(tài)可以確定齊次響應(yīng)中的待定系數(shù)。⑶確定齊次解中的待定系數(shù)，求出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。所以一般的，對(duì)于如下形式的微分方程當(dāng)N>M，單位沖激響應(yīng)中只有自由響應(yīng)；當(dāng)N≤M，則還有受迫響應(yīng)分量：沖激和沖激的各階導(dǎo)數(shù)。例題2(做為練習(xí))設(shè)系統(tǒng)方程如下，試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。

解：此時(shí)方程應(yīng)為⑴求特征根，確定齊次通解。所以t>0時(shí)或表示為：⑵恰確定醉特解罰，并刻確定t=0+時(shí)刻判的初緩始條躲件。比較棉以上強(qiáng)方程什兩邊維可設(shè)張：在t=0時(shí)刻于是肯在t=0時(shí)刻由此鍋得到摩，h(t)中特趁解等輩于0；將街以上補(bǔ)三式塌代入壩以下間方程所以由此養(yǎng)得到t=0+時(shí)刻蕩的條周件：⑶朵確偶定齊哭次解席中的內(nèi)待定共系數(shù)滾，求意出系調(diào)統(tǒng)的擴(kuò)單位選沖激臺(tái)響應(yīng)萍。所以二、老離散滾時(shí)間勺系統(tǒng)階的單能位樣繞值響輔應(yīng)零狀態(tài)系統(tǒng)單位絮樣值倆響應(yīng)h(n)是系謀統(tǒng)在子零狀佛態(tài)時(shí)劑，由才單位份樣值輔信號(hào)周作用仔之下遵產(chǎn)生持的響臣應(yīng)。優(yōu)因此廉，它是娃一個(gè)厭零狀拒態(tài)響押應(yīng)。同樣，單位墓樣值密信號(hào)δ(n)僅在n=0時(shí)刻漠等于套1，訊其它足時(shí)刻δ(n)=立0，因此理系統(tǒng)漲在n>0時(shí)的粘響應(yīng)求是零稈輸入瓜響應(yīng)形式。因?yàn)榈檬遣罴捶址进P程的走時(shí)域雨求解馬，除叨了有宇類(lèi)似璃于以紡上單泰位沖章激響沈應(yīng)求慶解的目方法液外，還可毀以用怠迭代島法求院解響常應(yīng)。下面嚇還是綱通過(guò)逢舉例澤，說(shuō)優(yōu)明單構(gòu)位樣仁值相爪應(yīng)的蠻求解邁。例題1：已環(huán)知系大統(tǒng)差判分方秋程，鏡求系倡統(tǒng)的玩單位錦樣值喝響應(yīng)h(n)。解、淚此時(shí)霜以上括方程稠可以緞寫(xiě)成解法丘一（攝迭代杠法）狀：將方拖程寫(xiě)策成如加下形所式考慮乖到系舟統(tǒng)是莊因果累的和無(wú)零狀缸態(tài)的，當(dāng)n=0當(dāng)n=1當(dāng)n=2同樣撞，在勒大多傅數(shù)情耀況下膀不易做得到奔封閉籃的解喇。解法得二：由因捧果性?xún)H與零蜘狀態(tài)刊條件腹，通座過(guò)迭拖代求晌得一拳組初非始條歸件，進(jìn)而吉求n>0時(shí)的晴零輸爛入響活應(yīng)（左齊次扮解）。設(shè)在n>0以后由以廚上所以求得考慮婚到（特解）所以解法座三：方法釣二中筒的初輛始條禮件是巡壽由h(-癥2)價(jià)=h(-械1)蔽=0和δ(0防)=栽1迭代渾得來(lái)取的。撞二階療系統(tǒng)配，確腹定系匙數(shù)有發(fā)兩個(gè)倆條件秤足夠方，我們矩可以罵用n=-陽(yáng)1和0改時(shí)的壤條件離，進(jìn)授而求n≥0時(shí)的淹齊次監(jiān)解和筋特解亂。設(shè)在n≥0以后將作為臘條件所以例題2（練學(xué)習(xí)）：已原知系句統(tǒng)差你分方慰程，駝求系劃統(tǒng)的旺單位掛樣值品響應(yīng)h(n)。解、吩此時(shí)艷以上邊方程慈可以槐寫(xiě)成解法蘿一：鋼先用猶迭代蔥法，恨求得h(0舉)=燦1，h(1諸)=技-邀1/椒6都，再設(shè)在n≥0以后因此所以解