畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）文獻(xiàn)綜述：帶兩類形狀參數(shù)的B樣條的構(gòu)造與調(diào)配

畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）--文獻(xiàn)綜述綜述題目帶兩類形狀參數(shù)的B樣條的構(gòu)造和調(diào)配專業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)姓名學(xué)號指導(dǎo)教師

一.簡介計(jì)算機(jī)圖形學(xué)是一種使用數(shù)學(xué)算法將二維或三維圖形轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)顯示器的柵格形式的科學(xué)。簡單地說，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的主要研究內(nèi)容就是研究如何在計(jì)算機(jī)中表示圖形、以及利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行圖形的計(jì)算、處理和顯示的相關(guān)原理與算法。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，曲線曲面是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)研究的重要內(nèi)容之一。計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(ComputerAidedGeometricDesign:CAGD)是涉及數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)科學(xué)的一門新興的交叉學(xué)科,它研究的內(nèi)容是"在計(jì)算機(jī)圖像系統(tǒng)的環(huán)境中曲面的表示和逼近",它主要側(cè)重于計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)和制造（CAD、CAM）的數(shù)學(xué)理論和幾何體的構(gòu)造方面。雖然CAGD所用的很多理論工具可以溯源到百年以前,但是具備一門新學(xué)科的雛形卻是本世紀(jì)六十年代末期的事情。這主要得益于計(jì)算機(jī)的高速數(shù)據(jù)運(yùn)算和強(qiáng)大圖形功能。雖然說CAGD是數(shù)學(xué)殿堂中的一名新生兒，但其所用的理論工具卻涉及數(shù)學(xué)中的很多分支,如逼近論、微分幾何、計(jì)算數(shù)學(xué)、代數(shù)幾何和交換代數(shù)等等,同時(shí)還與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)有緊密的聯(lián)系。隨著CAGD理論和應(yīng)用的不斷發(fā)展,從飛機(jī),船舶,汽車設(shè)計(jì),到工程器件模具設(shè)計(jì),到生物醫(yī)學(xué)圖像處理等都能看到其廣泛的應(yīng)用。二.研究主要成果在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中，應(yīng)用最廣泛的參數(shù)曲線曲面造型方法是B樣條方法和Bézier方法。B樣條方法和Bézier方法并非完美無缺，二者都存在在給定控制頂點(diǎn)的情況下，曲線曲面形狀固定的問題，這使得當(dāng)曲線曲面的形狀不滿意需要調(diào)整時(shí)，只能通過修改控制頂這個(gè)唯一途徑來解決。近年來，人們研究了如何在基函數(shù)中融于形狀參數(shù)，從而使生成的曲線曲面具有獨(dú)立于控制頂點(diǎn)的形狀調(diào)整自由度。其中，Bézier方法和B樣條方法是采用最頻繁的參數(shù)曲線曲面構(gòu)造方法。由于Bernstein多項(xiàng)式具有規(guī)范性、非負(fù)性和全正性等適用于構(gòu)造曲線曲面的性質(zhì)，所以采用Bernstein多項(xiàng)式與給定的控制頂點(diǎn)做線性組合生成Bézier曲線及曲面，這樣使得對應(yīng)的Bézier曲線及曲面非常適合于幾何圖形構(gòu)造設(shè)計(jì)的特質(zhì)，如幾何不變性、仿射不變性、凸包性、變差減縮性、對稱性等。上述這些性質(zhì)使得Bézier曲線曲面可以很直觀的表示幾何圖形，使用此類構(gòu)造方法的人員根據(jù)給定控制頂點(diǎn)構(gòu)成的控制多邊形的形狀特征就可以大致預(yù)測出所生成的Bézier曲線曲面形狀。嚴(yán)蘭蘭、宋來忠首先將二次Bézier曲線的基函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展，定義了帶兩個(gè)形狀參數(shù)的三次多項(xiàng)式基函數(shù)，它以二次Bernstein基函數(shù)和三次λ-B基為特例。再利用德卡斯特里奧算法進(jìn)行遞推，得到了一般n次Bézier曲線基函數(shù)的擴(kuò)展，它由n+1個(gè)帶有形狀參數(shù)的n+1次多項(xiàng)式組成?；谶@組基函數(shù)定義了帶有兩個(gè)形狀參數(shù)的多項(xiàng)式曲線，由于帶有兩個(gè)形狀參數(shù)，這種擴(kuò)展的Bézier曲線具備更加靈活的形狀控制能力；李成軍構(gòu)造了一組帶兩個(gè)形狀參數(shù)的四次調(diào)配函數(shù),它是三次Bernstein基函數(shù)的擴(kuò)展?；谠撜{(diào)配函數(shù)生成了帶兩個(gè)形狀參數(shù)的四次參數(shù)曲線,并討論了該曲線的性質(zhì)和拼接條件。事實(shí)表明,該四次曲線是三次Bézier曲線的擴(kuò)展,它不僅具有三次Bézier曲線的諸多特性,而且由于帶有兩個(gè)形狀參數(shù),使得曲線具有了更強(qiáng)的表現(xiàn)能力,在控制頂點(diǎn)保持不變時(shí),可通過修改兩個(gè)形狀參數(shù)對曲線進(jìn)行局部或全局調(diào)節(jié)；杭后俊、余靜、李汪根對三次Bernstein基函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展，給出了含有雙參數(shù)的一組四次多項(xiàng)式基函數(shù)，基于該組基定義了帶雙參數(shù)的多項(xiàng)式曲線。該曲線不僅具有三次Bézier曲線的諸多特性，而且具有更加靈活的形狀可調(diào)性，重點(diǎn)討論了在不改變控制點(diǎn)位置的情況下如何實(shí)現(xiàn)兩曲線間的拼接；樊文、洪玲、邢燕構(gòu)造了帶一個(gè)形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線，它不但具有傳統(tǒng)三次有理Bézier曲線的幾何性質(zhì)，而且比傳統(tǒng)有理Bézier曲線具有更靈活的形狀調(diào)整能力．討論了兩段有理三次三角Bézier曲線的和的拼接條件。由此可見，使用Bézier曲線來構(gòu)造曲線是可以參數(shù)曲線曲面設(shè)計(jì)的，但要研究討論Bézier曲線的幾何拼接問題。三.發(fā)展趨勢在B樣條方法中引入B樣條基，標(biāo)志著參數(shù)曲線曲面造型設(shè)計(jì)方法的重大進(jìn)步，通過B樣條基與給定的控制頂點(diǎn)用線性組合方法生成B樣條曲線曲面。B樣條方法繼承了Bézier方法的所有優(yōu)點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上解決了Bézier方法的幾何拼接問題和局部形狀控制問題。但B樣條構(gòu)造方法并不是完美的，B樣條方法和Bézier方法都存在在給定控制頂點(diǎn)的前提下，所構(gòu)造出的曲線曲面形狀固定的問題，這個(gè)問題會(huì)使得B樣條曲線曲面和Bézier曲線曲面的形狀在還需要調(diào)整時(shí)，只可以通過變更選取的控制頂點(diǎn)這個(gè)方法來解決。因此，許多的文獻(xiàn)研究了如何在基函數(shù)中插入形狀參數(shù)，從而使得構(gòu)造的曲線曲面具備區(qū)別于控制頂點(diǎn)的形狀可調(diào)性。同時(shí)為了能夠更便捷的調(diào)整曲線的形狀，得到合適的曲線圖形，相關(guān)的研究人員提出了一些帶形狀參數(shù)的Bézier曲線和B樣條曲線．比如嚴(yán)蘭蘭通過含有一個(gè)局部參數(shù)的四次調(diào)配函數(shù)來構(gòu)造的三次樣條曲線；徐崗、汪國昭兩人給出了兩類帶局部形狀參數(shù)的調(diào)配函數(shù)，基于此調(diào)配函數(shù)定義了兩種帶局部形狀參數(shù)的分段多項(xiàng)式曲線，可以通過改變局部形狀參數(shù)的取值對曲線進(jìn)行局部調(diào)整；例胡剛、劉哲、秦新強(qiáng)、戴芳等人構(gòu)造的B樣條曲線并帶局部形狀參數(shù)，給出了一組合有2個(gè)形狀參數(shù)的四次調(diào)配函數(shù)，這個(gè)四次多項(xiàng)式是三次均勻樣條基函數(shù)的擴(kuò)展；韓旭里、劉圣軍兩人給出四次多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)，它是三次B樣條函數(shù)的擴(kuò)展?；诮o出的調(diào)配函數(shù),建立一種帶形狀參數(shù)的分段多項(xiàng)式曲線的生成方法。通過改變形狀參數(shù)的取值,可以調(diào)整曲線接近其控制多邊形的程度，選取不同的形狀參數(shù)值,可以得到不同位置的連續(xù)的曲線；韓旭里等人構(gòu)造了含1個(gè)參數(shù)的4次多項(xiàng)式函數(shù)，對3次均勻B樣條進(jìn)行了擴(kuò)展；Liu等人則給出了含1個(gè)參數(shù)的n+1次多項(xiàng)式基函數(shù)，來對任意n(n≥2)次的均勻B樣條基進(jìn)行擴(kuò)展。除了三次均勻B樣條曲線，樊文，洪玲、邢燕等人構(gòu)造出的帶一個(gè)形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線；還有嚴(yán)蘭蘭,韓旭里、黃濤等人構(gòu)造的帶一個(gè)形狀參數(shù)的三次三角多項(xiàng)式曲線曲面；文獻(xiàn)中的曲線都帶有形狀參數(shù)，局部的或者全局的形狀參數(shù)，構(gòu)造的帶有形狀參數(shù)B樣條曲線，都具備區(qū)別于控制頂點(diǎn)的形狀可調(diào)性。四.總結(jié)隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，曲線曲面的幾何造型技術(shù)越來越成為熱點(diǎn)的研究方向。曲線曲面造型是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要內(nèi)容，其中曲線造型技術(shù)是曲面造型技術(shù)的基礎(chǔ)。它不僅被廣泛的用于形體的表示，而且在其他的領(lǐng)域也有著重要的作用，例如實(shí)驗(yàn)、統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如何用曲線表示；設(shè)計(jì)、分析、優(yōu)化的結(jié)果如何用曲線曲面來表示；汽車、飛機(jī)等具有曲面外形的產(chǎn)品如何設(shè)計(jì)，才能使之美觀且物理性最佳。由于實(shí)際問題不斷對曲線、曲面有許多新的要求，引入了許多的曲線曲面，其中常用的曲線有：Bézier、B樣條、非均勻有理B樣條(Nurbs)、圓錐曲線、等距線、過渡線等；常用的曲面有：Bézier曲面、B樣條曲面、Coons曲面等。由于三次B樣條曲線結(jié)構(gòu)簡單而又不失靈活度，因此在工程實(shí)際中使用頻率最高，此次研究通過對三次B樣條進(jìn)行擴(kuò)展即四次多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù)的各種性質(zhì)的分析，如端點(diǎn)性質(zhì)，凸包性，連續(xù)性以及對稱性等等，通過對這些性質(zhì)的分析，來判斷這些基函數(shù)是否滿足構(gòu)造曲線和曲面的條件。然后利用這些基函數(shù)與控制頂點(diǎn)的組合來構(gòu)造帶形狀參數(shù)的B樣條曲線和曲面，所選的調(diào)配基函數(shù)形式簡單，通過調(diào)節(jié)形狀參數(shù)可調(diào)配曲線曲面的局部形狀或全局形狀，以達(dá)到改變曲線曲面形狀的目的。本文構(gòu)造的三次B樣條曲線和三次三角B樣條曲線都保持著與三次均勻B樣條曲線相同的結(jié)構(gòu)，滿足B樣條曲線的連續(xù)性、規(guī)范性、對稱性等性質(zhì)，由于構(gòu)造的B樣條曲線帶有形狀參數(shù)，故具備有形狀可調(diào)性，并使曲線有良好的保形性，通過改變形狀參數(shù)的取值,可以調(diào)整曲線接近其控制多邊形的程度，選取不同的形狀參數(shù)值,可以得到不同位置的連續(xù)的曲線。五.參考文獻(xiàn)[1]嚴(yán)蘭蘭,韓旭里,饒智勇.帶局部形狀參數(shù)的曲線設(shè)計(jì)[J].中國圖象圖形學(xué)報(bào),2016,21(2):0174-0183.[2]徐崗,汪國昭.帶局部形狀參數(shù)的三次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展[J].計(jì)算機(jī)研究與發(fā)展,2007,44(6):1032-1037.[3]嚴(yán)蘭蘭,宋來忠.帶兩個(gè)形狀參數(shù)的Bézier曲線[J].工程圖學(xué)學(xué)報(bào),2008,3:88-92.[4]李成軍.帶兩個(gè)形狀參數(shù)三次的Bézier曲線擴(kuò)展[J].北京大學(xué)學(xué)報(bào)，2010,11(2):125-128.[5]胡剛,劉哲,秦新強(qiáng),戴芳.帶多局部形狀參數(shù)的三次擴(kuò)展均勻B樣條曲線[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào),2008,42(10):1245-1249.[6]韓旭里,劉圣軍.三次均勻B樣條曲線的擴(kuò)展[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2003,15(5):576-578.[7]杭后俊,余靜,李汪根.三次Bézier曲線的一種雙參數(shù)擴(kuò)展及其應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2010,46(31):178-181.[8]韓旭里.基于四點(diǎn)分段的一類三角多項(xiàng)式曲線[J].中國圖像圖形學(xué)學(xué)報(bào),2002,7(10):1063-1066.[9]陳素根,趙正俊.擬三次三角B樣條曲線曲面構(gòu)造及其應(yīng)用[J].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng),2015,36(6)：1000-1220.[10]樊文,洪玲,邢燕.帶一個(gè)形狀參數(shù)的有理三次三角Bézier曲線[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2016,32(4)：30-33.[11]嚴(yán)蘭蘭,韓旭里,黃濤.帶一個(gè)形狀參數(shù)的3次三角多項(xiàng)式曲線曲面[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào),2016,28(7):1047-1055.[12]LiuXM,XuWX.UniformB-splinecurveandsurfaceswithshapeparameters[C]//ProceedingsofInternationalConferenceonComputerScienceandSoftwareEngineering.LosAlamitos:IEEEComputerSocietyPress,2008:975-979.[13]QinXQ,HuG,ZhangNJ,etal.AnovelextensiontothepolynomialbasisfunctionsdescribingBéziercurvesandsurfacesofdegreenwithmultipleshapeparameters[J].AppliedMathematicsandComputation,2013,223(10):1-16.[14]XuG,WangGZ.Extended