2023-2024學(xué)年重慶市江津中學(xué)、合川中學(xué)等七校高高三上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析_第1頁(yè)
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2023-2024學(xué)年重慶市江津中學(xué)、合川中學(xué)等七校高高三上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線的離心率為,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,若,則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.2.三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí),利用,化簡(jiǎn),得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘(大小忽略不計(jì)),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.634.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的值為()A.0 B.1 C. D.5.已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列,若、滿足,則的最小值為()A. B. C. D.6.的二項(xiàng)展開(kāi)式中,的系數(shù)是()A.70 B.-70 C.28 D.-287.設(shè)為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.49.已知集合,,則中元素的個(gè)數(shù)為()A.3 B.2 C.1 D.010.設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若,則()A. B. C. D.11.設(shè)m,n為直線,、為平面,則的一個(gè)充分條件可以是()A.,, B.,C., D.,12.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,設(shè),當(dāng)最小時(shí),的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,i為虛數(shù)單位,則正實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.14.某市高三理科學(xué)生有名,在一次調(diào)研測(cè)試中,數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布,已知,若按成績(jī)分層抽樣的方式取份試卷進(jìn)行分析,則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為_(kāi)_________.15.下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的的值為_(kāi)_________.16.在疫情防控過(guò)程中,某醫(yī)院一次性收治患者127人.在醫(yī)護(hù)人員的精心治療下,第15天開(kāi)始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果從第16天開(kāi)始,每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍,那么第19天治愈出院患者的人數(shù)為_(kāi)______________,第_______________天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),(1)若,求的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)設(shè),且有兩個(gè)極值點(diǎn),,若,求的最小值.18.(12分)百年大計(jì),教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號(hào)召,不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度,為清華、北大等排名前十的名校輸送更多的人才.該校成立特長(zhǎng)班進(jìn)行專項(xiàng)培訓(xùn).據(jù)統(tǒng)計(jì)有如下表格.(其中表示通過(guò)自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù),表示被清華、北大等名校錄取的學(xué)生人數(shù))年份(屆)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通過(guò)畫散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;(保留兩位有效數(shù)字)(2)若已知該校2019年通過(guò)自主招生獲得降分資格的學(xué)生人數(shù)為61人,預(yù)測(cè)2019年高考該??既嗣5娜藬?shù);(3)若從2014年和2018年考人名校的學(xué)生中采用分層抽樣的方式抽取出5個(gè)人回校宣傳,在選取的5個(gè)人中再選取2人進(jìn)行演講,求進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的分布列和期望.參考公式:,參考數(shù)據(jù):,,,19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證:.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(2,1),求|PA|?|PB|的值.21.(12分)如圖,在正三棱柱中,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成二面角銳角的余弦值.22.(10分)隨著電子閱讀的普及,傳統(tǒng)紙質(zhì)媒體遭受到了強(qiáng)烈的沖擊.某雜志社近9年來(lái)的紙質(zhì)廣告收入如下表所示:根據(jù)這9年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.243;根據(jù)后5年的數(shù)據(jù),對(duì)和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值為0.984.(1)如果要用線性回歸方程預(yù)測(cè)該雜志社2019年的紙質(zhì)廣告收入,現(xiàn)在有兩個(gè)方案,方案一:選取這9年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè),方案二:選取后5年數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè).從實(shí)際生活背景以及線性相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析,你覺(jué)得哪個(gè)方案更合適?附:相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表:(2)某購(gòu)物網(wǎng)站同時(shí)銷售某本暢銷書籍的紙質(zhì)版本和電子書,據(jù)統(tǒng)計(jì),在該網(wǎng)站購(gòu)買該書籍的大量讀者中,只購(gòu)買電子書的讀者比例為,紙質(zhì)版本和電子書同時(shí)購(gòu)買的讀者比例為,現(xiàn)用此統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率,若從上述讀者中隨機(jī)調(diào)查了3位,求購(gòu)買電子書人數(shù)多于只購(gòu)買紙質(zhì)版本人數(shù)的概率.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),得到雙曲線的離心率,然后求解a,b關(guān)系,即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以雙曲線的漸近線方程為:y=±.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法,涉及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.2、A【解析】分析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點(diǎn)睛:應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型,將試驗(yàn)構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,只需把這個(gè)變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來(lái)描述,則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述,則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件,利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.3、B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時(shí),則的最大值為15,故選B.考點(diǎn):程序框圖.4、A【解析】

根據(jù)輸入的值大小關(guān)系,代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入,,因?yàn)?,所以由程序框圖知,輸出的值為.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式大小比較,條件程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值.【詳解】數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列,、滿足,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得,即,,可得,且、都是正整數(shù),求的最小值即求在,且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值,討論、取值.當(dāng)且時(shí),的最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類討論思想,是中等題.6、A【解析】試題分析:由題意得,二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,所以的系數(shù)是,故選A.考點(diǎn):二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.7、A【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn),求得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo),由此判斷對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時(shí),令,得;當(dāng)時(shí),令,得,故輸入的實(shí)數(shù)值的個(gè)數(shù)為1.考點(diǎn):程序框圖.9、C【解析】

集合表示半圓上的點(diǎn),集合表示直線上的點(diǎn),聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù),即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知:集合表示半圓上的點(diǎn),集合表示直線上的點(diǎn),聯(lián)立與,可得,整理得,即,當(dāng)時(shí),,不滿足題意;故方程組有唯一的解.故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解,涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷,屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故選B點(diǎn)睛:本題主要考查利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,既使不畫出圖形,思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形,當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí),要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.11、B【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng),,時(shí),由于不在平面內(nèi),故無(wú)法得出.對(duì)于B選項(xiàng),由于,,所以.故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于平面,故無(wú)法得出.對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),無(wú)法得出.綜上所述,的一個(gè)充分條件是“,”故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面垂直的判斷,考查充分必要條件的理解,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問(wèn)題,遞推公式的應(yīng)用,基本不等式求最值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì),即可得答案.【詳解】由已知可得:,,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得分以上的概率,乘以可得.【詳解】解:,所以應(yīng)從分以上的試卷中抽取份.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線,屬于基礎(chǔ)題.15、3【解析】

分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,根據(jù)流程圖所示的順序,即可得出結(jié)論.【詳解】解:初始,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;經(jīng)判斷,此時(shí)跳出循環(huán),輸出.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是對(duì)算法語(yǔ)句的理解,屬基礎(chǔ)題.16、161【解析】

由題意可知出院人數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,由此可求結(jié)果.【詳解】某醫(yī)院一次性收治患者127人.第15天開(kāi)始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.且從第16天開(kāi)始,每天出院的人數(shù)是前一天出院人數(shù)的2倍,從第15天開(kāi)始,每天出院人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則第19天治愈出院患者的人數(shù)為,,解得,第天該醫(yī)院本次收治的所有患者能全部治愈出院.故答案為:16,1.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;極小值,無(wú)極大值;(2)【解析】

(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),解不等式,即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而得到函數(shù)的極值;(2)由題意可得,,求出的表達(dá)式,,求出h(t)的最小值即可.【詳解】(1)將代入中,得到,求導(dǎo),得到,結(jié)合,當(dāng)?shù)玫剑涸鰠^(qū)間為,當(dāng),得減區(qū)間為且在時(shí)有極小值,無(wú)極大值.(2)將解析式代入,得,求導(dǎo)得到,令,得到,,,,,,,,因?yàn)?,所以設(shè),令,則所以在單調(diào)遞減,又因?yàn)樗?所以或又因?yàn)?,所以所?所以的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的極值的意義,考查轉(zhuǎn)化思想與減元意識(shí),是一道綜合題.18、(1);(2)117人;(3)分布列見(jiàn)解析,【解析】

(1)首先求得和,再代入公式即可列方程,由此求得關(guān)于的線性回歸方程;(2)根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式,計(jì)算可得人數(shù);(3)和被選中的人數(shù)分別為2和3,利用超幾何分布分布列的計(jì)算公式,計(jì)算出的分布列,并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題,所以線性回歸方程為(若第一問(wèn)求出.)(2)當(dāng)時(shí),所以預(yù)測(cè)2019年高考該??既朊5娜藬?shù)約為117人(3)由題知和被選中的人數(shù)分別為2和3,進(jìn)行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的所有可能取值為0,1,2,,的分布列為012【點(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)有關(guān)計(jì)算,考查回歸直線方程的計(jì)算,考查期望的計(jì)算,考查超幾何分布和數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.19、(1);(2)當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);(3)證明見(jiàn)解析.【解析】

(1)當(dāng)時(shí),,求得其導(dǎo)函數(shù),,可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)由已知得,得出導(dǎo)函數(shù),并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間,可得出函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),,,由(2)得的單調(diào)區(qū)間,以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性,得出其最值,所證的不等式可得證.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以,,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即;(2)由已知得,,令,得,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);(3)當(dāng)時(shí),,,由(2)得在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,且時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時(shí),所以,在上單調(diào)遞減,且,,由,在上單調(diào)遞增,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程,討論函數(shù)的單調(diào)性,以及證明不等式,關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),得出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性,屬于難度題.20、(1)直線的普通方程,圓的直角坐標(biāo)方程:.(2)【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=0.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x﹣3=0.(2)把直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣4x﹣3=0,得到,所以|PA||PB|=|t1t2|=6.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.21、(1)證明見(jiàn)詳解;(2).【解析】

(1)取中點(diǎn)為,通過(guò)證明//,進(jìn)而證明線面平行;(2)取中點(diǎn)為,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,求得兩個(gè)平面的法向量,用向量法解得二面角的大小.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連結(jié),,如下圖所示:在中,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),,且,又為的中點(diǎn),,,且,,且,四邊形為平行四邊形,又平面,平面,平面,即證.(2)取中點(diǎn),連結(jié),,則,平面,以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:則,,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量,則,則,令.則,同理得平面的一個(gè)法向量為,則,故平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及利用向量法求解二面角的大小,屬綜合中檔題.22、(1)選取方案二更合適;(2)【解析】

(1)可以

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