湖南省衡陽市名校協(xié)作體高三下學期三模數(shù)學試題

2023屆高三全真模擬適應性考試數(shù)學試題本試卷共6頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.，集合，則（）A.B.C.D.滿足，則（）A.B.C.D.3.的展開式中的常數(shù)項是（）4.兩千多年前，我國首部數(shù)學專著《九章算術》是數(shù)學的瑰寶，世人驚嘆祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面積）的計算方法：“以徑乘周，四而一”（意思是說直徑與弧長乘積的四分之一），已知扇形的圓心角為，弧長為，且，則它的面積為（）A.B.C.D.5.我國是一個人口大國，產(chǎn)糧?儲糧是關系國計民生的大事.現(xiàn)某儲糧機構擬在長100米，寬80米的長方形地面建立兩座完全相同的糧倉（設計要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為，糧倉高為50米，兩座糧倉連體緊靠矩形一邊），已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉厚度忽略不計，估算兩個糧倉最多能儲存稻谷（）（取近似值3）的一條對稱軸為，一個對稱中心為.則當取最小整數(shù)時，函數(shù)在內(nèi)極值點的個數(shù)為（）的左?右焦點分別為，過作直線與橢圓相交于兩點，，且，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.與有三條公切線，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的中，點為線段的中點，則（）與所成角為B.面C.到平面的距離為，則（）A.在上最大值為2B.有兩個零點C.的圖象關于點對稱，使的圖象關于原點對稱的頂點為，準線為，焦點為，過作直線交拋物線于兩點（順序從左向右），則（）A.經(jīng)過點，則C.的最小值為1，則直線的斜率為是方程的兩根，e為無理數(shù)，則（）A.B.C.D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.?小李參加滿分為50分（只取整數(shù)）的崗上技能測試，小張的六次成績從小到大分別為；李的六次成績從小到大分別為.只知小張的六次成績的第50百分位數(shù)等于小李的六次成績的第80百分位數(shù)，則__________.的圓和圓均與軸相切，且與直線均相切于第一象限，兩圓的半徑之和為4，則直線的方程為__________.是函數(shù)的極小值點，則的取值范圍為__________.中，，沿對角線將折起，使平面平面，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為__________.四?解答題?證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）在中，角的對邊分別為（1）求角；（2）已知邊的中點為，且，求面積的最大值.18.（本小題滿分12分）已知正項數(shù)列的前項和為，且對任意成等差數(shù)列，又正項等比數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，是否存在正整數(shù)，使.若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.19.（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，是棱的中點，棱上的點滿足，棱上的點滿足.（1）證明：；（2）若與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20.（本小題滿分12分）某區(qū)在高中階段舉行的物理實驗技能操作競賽分基本操作與技能操作兩步進行，第一步基本操作：每位參賽選手從類7道題中任選4題進行操作，操作完后正確操作超過兩題的（否則終止比賽），才能進行第二步技能操作：從類5道題中任選3題進行操作，直至操作完為止.類題操作正確得10分，類7題中有5題會操作，類5題中每題正確操作的概率均為，且各題操作互不影響.（1）求李明被終止比賽的概率；（2）現(xiàn)已知李明類題全部操作正確，求李明類題操作完后得分的分布列及期望；（3）求李明獲二等獎的概率.21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點（1）求雙曲線的離心率及方程；（2）已知點，點，過點的直線與雙曲線交于兩點，是否為常數(shù)？若為常數(shù)，求出此常數(shù)及的值；若不為常數(shù)，請說明理由.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）當時，證明：.2023屆高三全真模擬適應性考試數(shù)學參考答案一?選擇題1.C【解析】，所以.故選C.2.A【解析】因為，所以.故選A.3.C【解析】因為展開式的通項為，令，得，故展開式的常數(shù)項是.故選C.4.A【解析】設扇形的圓心角，所在圓的半徑為，所以，又，所以，即，因為，所以，所以，故扇形的面積為.故選A.5.A【解析】由于糧倉高50米，頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為，設糧倉頂部圓錐形的高為米，底面直徑為米，圓柱的高為米，兩座糧倉總的容積為.若靠矩形長邊建造，則，所以；若靠矩形寬邊建造，則，所以.因為，當時，在單調遞增，所以時，取最大值，兩個糧倉最多能儲存稻谷噸.故選A.6.B【解析】因為的一條對稱軸為，所以，①，又的一個對稱中心為，所以②，①-②得，所以，因為，所以時，由②得，因為，所以，所以.由得的極值點為時極值點在內(nèi).故選B.7.D【解析】如圖所示，設，設，則.在Rt中，.由橢圓定義可知：，，解得：.所以，在中，可得.在中，由余弦定理可得，，即0，解得，橢圓離心率.故選D.8.A【解析】設公切線為是與的切點，是與的切點，，的方程為，整理得，同理，整理得，依題意兩條直線重合，，消去得，由題意此方程有三個不等實根，設，即直線與曲線有三個不同的交點.，令，當或時，；當時，有極小值有極大值.又，當時，0；當時，，故的圖象簡單表示為下圖.當，即時，直線與曲線有三個交點.故選A.二?多選題9.BC【解析】對于，因為，所以異面直線與所成角為（或補角），，故錯誤；對于，連接，，由于，所以面面，所以面面，又平面，所以面，故B正確；對于點為線段的中點，.又，故C正確；對于D，作，交于，交于，則平面點到平面的距離即點到平面的距離，平面點到平面的距離為線段的長度，故.10.AC【解析】對于，在上單調遞增，，故正確；對于的零點個數(shù)即方程的實根個數(shù)，即方程的實根個數(shù)，即與與圖象如圖所示：兩個函數(shù)圖象只有一個交點，故B錯誤；對于，若的圖象關于點對稱，則有對任意恒成立.恒成立，的圖象關于點對稱，故正確；對于，若存在實數(shù)使的圖象關于原點對稱，則對任意恒成立，即恒成立，即對任意恒成立，則有，上述方程組無解，故AC.11.ABD【解析】拋物線方程化為，準線為，所以，準線為，所以，故A正確；又，過作直線交拋物線于兩點，顯然的斜率存在，設的方程為，與聯(lián)立消去整理得，則，.直線經(jīng)過點，，則，故正確；時，最小為，故C錯誤；由得，又，解得：，故D正確.故選ABD.12.ABC【解析】對于，因為，所以，構造函數(shù)，因為，所以在上遞減，在上遞增，所以有唯一的極小值，因為，所以.設，因為，所以在上單調遞減，且在上有0，即，由，因為，所以，因為在上遞增，所以，即，故A正確；對于是方程的兩根，因為，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以.構造函數(shù)，當時，0；當時，，所以在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以有唯一的極小值，若，構造函數(shù)，類比選項，可證，故B正確；對于在區(qū)間上遞減，所以，所以1，故C正確；對于在上遞增，，所以，即，故D錯誤.故選ABC.三?填空題13.45【解析】因為，所以甲組的第50百分位數(shù)為，乙組的第80百分位數(shù)為，所以.故答案為45.14.【解析】設直線的傾斜角，直線的傾斜角為，其方程為，由，解得或（舍去），故直線為.設，圓方程為，圓方程為，兩圓方程相減，得直線的方程為.故答案為15.【解析】，因為是的極小值點，所以0，即，從而.當時，，當時，單調遞減；當時，單調遞增，符合題意；當時，令，得，若是的極小值點，則，解得.綜上，的取值范圍.故答案為.16.【解析】在平面圖形中設，即Rt中，.在中，.設外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.設三棱錐外接球球心為，則平面.又平面平面，交線為平面四邊形，在平面中，過做于，在中，為的中點，.令，則，當且僅當時，即時（滿足.故答案為.17.解：（1）因為，所以，因為，所以，，即，所以，又，所以，所以，即.（2）因為，由余弦定理，解得，又，所以，所以當且僅當時取等號，所以，因為，所以面積的最大值為.18.解：（1）設的公比為，顯然，由，解得或（舍去），，所以又對任意成等差數(shù)列，，所以，因為，有，故是以為首項，公差的等差數(shù)列，所以，又，所以，當時，，時，滿足上式，故.（2），設，①②，①-②：9，故不存在正整數(shù)，使.19.證明：（1）連接為的中點，，又平面平面，又平面，故，又，，，又平面，故平面，平面.（2）過作于點，又因為平面，所以，平面，所以平面，所以即為與平面所成的角且為，又為正三角形，為的中點，因為兩兩垂直，所以以為原點，所在直線分別為分別為軸，過點做的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，可知各點坐標分別為：，，，設平面的法向量為，，解得，取.設平面的法向量為，，解得：，取.設平面與平面所成的銳二面角為，則，平面與平面所成銳二面角余弦值為20.解：（1）設“李明被終止比賽”事件為表示選的4題均會操作或3題會操作，故.（2）設李明在競賽中，類題全部操作正確后得分為的取值為，類題正確操作題數(shù)，所求的分布列40608010080.（3）設李明獲二等獎的事件為，事件即類題全部操作正確，類題正確操作2題或類題操作正確3題，類題全部正確操作，21.解：（1）雙曲線，漸近線為，又一條漸近線為，，則雙曲線的離心率，雙曲線的方程可寫為：經(jīng)過點，雙曲線的方程為.（2）雙曲線的方程為，假設存在點，滿足題設條件，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，與雙曲線無交點；直線的斜率存在時，設為，直線的方程為與交點，聯(lián)立方程組：，消去可得：，由題可