浙江省溫州市十五校聯(lián)合體高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題

2021學年第二學期溫州十五校聯(lián)合體期末聯(lián)考高二年級數(shù)學試卷一?選擇題（本大題共8小題，每題5分共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個符合題目要求，不選，多選，錯選均不得分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合Q，再求.【詳解】集合.因為，所以.故選：A2.設，則z的共軛復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先對復數(shù)化簡，從而可求出其共軛復數(shù)，進而可求出其虛部【詳解】因為，所以，所以的虛部為，故選：C3.已知a，b是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式及兩個條件的推出關(guān)系可得正確的選項.【詳解】若，則，故，取，則成立，但，故推不出，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的正負，可得，從而求出的值.【詳解】因為，所以，即，所以.因為，所以，所以.因為，所以.故選：D5.我市某三甲醫(yī)院為了響應防疫政策，需要從4名內(nèi)科醫(yī)師和4名外科醫(yī)生中派選4名醫(yī)生到高速路口進行核酸檢測工作，則派選內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)不少于外科醫(yī)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用組合表示出從8名外科醫(yī)生中派選4名醫(yī)生的種數(shù)以及派選內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)不少于外科醫(yī)生的種數(shù)，利用古典概型求概率.【詳解】從需要從4名內(nèi)科醫(yī)師和4名外科醫(yī)生中派選4名醫(yī)生有種；其中內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)不少于外科醫(yī)生包括2名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生，3名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生，4名內(nèi)科醫(yī)生和0名外科醫(yī)生三種情況，有：種.所以派選內(nèi)科醫(yī)生人數(shù)不少于外科醫(yī)生的概率為.故選：C6.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶性，在y軸附近時的單調(diào)性和在x=-4處的函數(shù)值可以判斷.【詳解】顯然是非奇非偶函數(shù)，排除C，當時，，令，則，是單調(diào)遞減的，，當時，，時單調(diào)遞減的，排除A，，，，，，排除D，故選：B.7.若方程有三個不同的實數(shù)根，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】對t分類討論，，，不合題意，舍去；時求出，直接解方程求出.【詳解】若時，方程無解，不合題意，舍去；若時，方程，所以.因為，所以方程有兩解，不合題意，舍去；若時，方程等價于或.即或.因為，所以，所以與共有3個實數(shù)根.又有一個實數(shù)根時，，解得：.所以或解得：（舍去），或.因為，所以.所以可化為：，解得：；可化為：，解得：.所以.故選：A8.如圖，在正四面體中，點E，F(xiàn)分別是棱上的點（不含端點），，記二面角的大小為，在點F從點A運動到點C的過程中，下列結(jié)論正確的是（）A.一直增大 B.一直減小 C.先增大后減小 D.先減小后增大【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正四面體幾何特征,作出二面角的平面角,再根據(jù)平面角的正切值的表達式得出θ的取值情況.【詳解】過P作PO⊥面ABC于O,則OP⊥EF.過O作OM⊥EF于點M.因為，所以面OPM.連接PM,則∠PMO為二面角P-EF-B的平面角,即.當點F從點A運動到點C的過程中，,OM先變大后變小.所以.因為PO不變,∴先變小后變大.故選：D二?多選題（本題共4大題，每題5分，共20分，每小題列出的四個備選項中有多個符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得3分，有錯選得0分）9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性確定正確選項.【詳解】A選項，的定義域為，，為偶函數(shù).當時，為增函數(shù)，符合題意.B選項，的定義域為，當時，為減函數(shù)，不符合題意.C選項，的定義域為，，為奇函數(shù)，不符合題意.D選項，的定義域為，，為偶函數(shù).當時，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知：為增函數(shù)，符合題意.故選：AD10.在三棱錐中，頂點A在底面射影為O，則下面說法正確的是（）A.若O為的外心，則.B.若O為的內(nèi)心，則三個側(cè)面與底面所成的二面角都相等.C.若O為的垂心，則B在對面的射影是垂心.D.若O為的重心，則三個側(cè)面面積相等.【答案】ABC【解析】【分析】對于A，由條件可推得，判斷；對于B，作輔助線，找出側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，根據(jù)條件可推出三個角相等；對于C，利用線面垂直的判定證明線線垂直，可進行判斷；對于D，利用條件說明O為的重心時，三個側(cè)面的面積關(guān)系不確定，進行判斷.【詳解】如圖，若O為的外心，則,則,故，A正確；若O為的內(nèi)心，則設OE,OF,OG分別垂直于BC,CD,BD，則，連接AE,AF,AG,則,故,由底面BCD，可知，,同理，即分別為三個側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，由可知三個側(cè)面與底面所成的二面角相等，B正確；若O為的垂心，則連接BO并延長交CD于F,連接AF,則,于是平面ABF,故,而平面ACD,故平面ABF平面ACD,故則B在對面的射影P落在平面ABF和平面ACD的交線AF上，連接DP并延長交AC于H,仿同理可證,而,可得平面BPD,則,即P點為的高AF,DH的交點，即B在對面的射影是垂心，故C正確；當O為的重心時，連接DO,BO,CO并延長交BC,CD,BD于E,F,G點，則E,F,G分別為BC,CD,BD的中點，與BC,CD,BD的長度無關(guān)，因此三個側(cè)面面積之間的關(guān)系不確定，故D錯誤，故選：ABC11.在中，角A?B?C所對的邊分別為a?b?c，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則B的最大值為D.若，則B的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A：取特殊的直角三角形ABC，其中,否定選項A;對于B：由在上單調(diào)遞減，得到，利用二倍角的余弦公式即可求得；對于C、D：利用余弦定理和基本不等式求出B的最大值為.【詳解】對于A：取特殊的直角三角形ABC，其中,滿足，但是.故A錯誤；對于B：在中，因為，所以,所以.因為在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以.故B正確；對于C：在中，因為，所以由余弦定理得：，（當且僅當a=c時取等號）.因為在上單調(diào)遞減，所以,即B的最大值為.故C正確；對于D：在中，因為，所以由余弦定理得：，（當且僅當a=c時取等號）.因為在上單調(diào)遞減，所以,即B的最大值為.故D正確.故選：BCD12.已知，若存在，使得，，滿足，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】設，.先判斷出點P、Q在直線AB上，得到夾角為.由，得到.設點O到直線AB的距離為h，過O作AB的垂線，垂足為H.設，,得到.設，求出，得到：.把表示為，求出.對照四個選項，得到正確答案.【詳解】設，.因為，所以點P、Q在直線AB上.因為，所以，即夾角為.因為，所以.設點O到直線AB距離為h，過O作AB的垂線，垂足為H.設，,則.設，因為，所以.所以.因為，所以，所以，所以，即，解得：，所以.因為，所以.對照四個選項，，，，.故的值可以是CD.故選：CD三?填空題（本大題共4小題，每題5分共20分）13.已知冪函數(shù)在為減函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】先利用冪函數(shù)的性質(zhì)求出，即可求出.【詳解】冪函數(shù)，所以，解得：或.當時，為R上的增函數(shù)；當時，為R上的減函數(shù).所以，所以.故答案為：.14.在三棱錐中，垂直底面，，，若三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則此三棱錐的側(cè)面積為___________.【答案】【解析】【分析】設三棱錐內(nèi)切球圓心為，以為頂點將三棱錐分為四個小三棱錐，通過三棱錐體積不變即可求出三棱錐的表面積進而可求得三棱錐的側(cè)面積.【詳解】設三棱錐內(nèi)切球圓心為，以為頂點將三棱錐分為四個小三棱錐，則三棱錐的體積，垂直底面，三棱錐的體積，則通過三棱錐體積不變可知，.故答案為：.15.在中，，則長為___________.【答案】2或【解析】【分析】由三角形面積可求得或，進而求得BC以及的值，由確定BD的長，再根據(jù)勾股定義或余弦定理求得答案.【詳解】由題意得，故，由于，故或，當時，，故，因為，故而，因為，，則；當時，，則，因為，故，而，故，故答案為：2或16.已知函數(shù)，當時，函數(shù)有6個不同的零點，求m的取值范圍___________.【答案】【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，設，分情況討論有2根和3根的情況，再分析的取值范圍情況即可【詳解】畫出如圖所示，最左端縱坐標，當時，有，解得；，解得.設，若有6個不同的零點，則①若有2個解，則但有2個解時，此時顯然，不滿足；②若有3個解，則，設，則，故，，，即，，，此時因為則必有2根，必有1根，則必須有3根，故，則，故，故故答案為：四?解答題（本大題共6小題，共0分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù).（1）求求函數(shù)的最小正周期及對稱中心.（2）求函數(shù)在值域.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由三角恒等變換可得正弦型三角函數(shù)，據(jù)此求周期、對稱中心即可；（2）利用整體代換法求正弦函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得∴的對稱中心是【小問2詳解】令由，則，則，所以的值域是.18.如圖，在三棱錐中，，點O?M分別是?的中點，底面.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，從而證明，證明，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）解法一，求得點A到面的距離就是點B到面的距離，根據(jù)線面角的定義即可求得答案;解法二，利用等體積法求得點A到面的高為h，根據(jù)根據(jù)線面角的定義即可求得答案;解法三，建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點的坐標，利用向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：連接OB,由,O為AC的中點，得，又底面，故,∵點M為的中點，∴,又∵，∴,，故平面.【小問2詳解】解法一：由（1）知平面,且,又，面,平面，∴面，則點A到面的距離就是點B到面的距離.設直線與平面所成角為，，∴與面所成的角的正弦值為，故與面所成的角的大小為.解法二：設點A到面的高為h，而,由得，則，設直線與平面所成角為，，∴與面所成的角的正弦值為，即所成的角的大小為.解法三：如圖，以O為坐標原點，以OB,OC,OS分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,則,由（1）可知為平面SOM的一個法向量，設直線與平面所成角為，，則,故，即直線與平面所成角為.19.北京2022年冬奧會吉祥物冰墩墩，作為北京冬奧會當之無愧的“頂流”，熱度一直未減.自2022年冬奧會開始，一系列冰墩墩特許商品新品開始發(fā)售.根據(jù)百度網(wǎng)站統(tǒng)計：2022年1月28日至2022年2月22日購買冰墩墩人群分布圖如下圖.（1）求出頻率分布直方圖中購買者年齡的眾數(shù)?平均數(shù)；（近似到個位數(shù)）（2）若將年齡分別記為A組?B組?C組，用隨機抽樣的方法從這些人中抽取3人，求這三個人中至少2人在A組的概率.【答案】（1）眾數(shù)，平均數(shù)歲（2）【解析】【分析】（1）由頻率分直方圖可直接求得眾數(shù)，按照平均數(shù)的估計方法可求得平均數(shù)；（2）求出隨機抽取1人，則該人來自A組的概率，再根據(jù)二項分布的概率計算公式即可求得答案.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為；平均數(shù)為（歲）.【小問2詳解】由圖可知A組?B組?C組的頻率分別為，則隨機抽取1人，則該人來自A組的概率為，故用隨機抽樣的方法從這些人中抽取3人，這三個人中至少2人在A組的概率為.20.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若___________.（1）求角B；（2）若，點D在外接圓上運動，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及三角變換公式可得三個條件下均有.（2）利用數(shù)量積的定義可求的最大值.【小問1詳解】選①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.選②，∵，，由正弦定理可得，，∴，∵，∴.選③，，由已知結(jié)合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】，根據(jù)余弦定理，∴，∴外接圓的直徑，過作，垂足為，而，若取到最大值，則取最大值，故可設為銳角，故此時，當取最大值時，與圓相切且在的延長線上（如圖所示），設此時切點為，垂足為，取的中點E，外接圓圓心為O，連接，，則且，故四邊形為矩形，故，故，∴.21.在矩形中，，E為線段的中點，將沿直線翻折成，M為線段的中點.（1）求證：平面；（2）當平面平面，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點F，連接，可證，從而可證平面.（2）取的中點O，連接，取的中點H，過H作于G，連接，可得就是二面角的平面角，利用解直角三角形可求二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：取的中點F，連接，則,而，故，而，故，故四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，故平面【小問2詳解】取的中點O，連接，取的中點H，則，，因為且E為線段的中點，故即，而，故，而平面平面，平面平面，平面，則面，又，故面，因為面，故，過H作于G，連接，同理.因為平面，故面，而面，故，則就是二面角的平面角.設，則，而，故，同理.故為等腰