畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）：三角Bézie曲線過(guò)渡到三角B樣條方法探討

三角Bézier曲線過(guò)渡到三角B樣條方法探討

一、任務(wù)書預(yù)期目標(biāo)2.1、T-B樣條基函數(shù)的構(gòu)造，驗(yàn)證端點(diǎn)性質(zhì)；2.2、分段曲線的設(shè)計(jì)及其應(yīng)用；2.3、將曲線設(shè)計(jì)推廣到曲面設(shè)計(jì)；3.1、定義Bézier曲線，驗(yàn)證端點(diǎn)性質(zhì)；3.2、驗(yàn)證曲線的拼接條件，給出證明。2/22二、畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）的意義1、選題意義：Bezier方法與B樣條方法是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中描述自由曲線曲而的主流方法，它們滿足形狀數(shù)學(xué)描述的諸多要求，如唯一性、幾何不變性、幾何直觀等。由于其在船舶，汽車等工業(yè)的重要應(yīng)用，所以研究相關(guān)曲線曲面的構(gòu)造和設(shè)計(jì)，具有重要學(xué)術(shù)意義和工業(yè)價(jià)值。3/223、本論文的基本思路熟悉設(shè)計(jì)要求，查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料定義需要的基函數(shù)進(jìn)行相關(guān)主要性質(zhì)的驗(yàn)證根據(jù)新的基函數(shù)設(shè)計(jì)曲線驗(yàn)證新曲線函數(shù)的端點(diǎn)性質(zhì)及曲線設(shè)計(jì)是否合理使用MATAB畫圖工具實(shí)現(xiàn)相關(guān)曲線曲面設(shè)計(jì)用mathtypMATLAB等數(shù)學(xué)工具完成并優(yōu)化4/22三、畢業(yè)設(shè)計(jì)主要內(nèi)容5/221、T-B樣條基函數(shù)的構(gòu)造2、分段曲線的設(shè)計(jì)3、曲面設(shè)計(jì)4、定義Bézier曲線5、驗(yàn)證并證明曲線的拼接條件1.T-B樣條基函數(shù)的構(gòu)造

Bezier基函數(shù)

B樣條基：

6/22轉(zhuǎn)化條件：根據(jù)以上條件可以算出樣條基的系數(shù)，即可得到需要的樣條基。

基函數(shù)圖像：7/22轉(zhuǎn)化后的B樣條基：

參數(shù)

參數(shù)為0

參數(shù)為-0.5獲取基函數(shù)的不同參數(shù)圖像；利用基函數(shù)重新定義曲線，才能進(jìn)行曲線設(shè)計(jì)。將基函數(shù)用分段函數(shù)表達(dá)為：對(duì)應(yīng)不同參數(shù)圖像為：對(duì)于三次多項(xiàng)B樣條基函數(shù)，作為分段函數(shù)來(lái)看，實(shí)際計(jì)算比較方便，所以，B樣條基使用分段函數(shù)可以表示成如下方式：設(shè)

為均勻節(jié)點(diǎn)向量，

，因?yàn)?/p>

，即所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間長(zhǎng)度都為h，8/22

2、分段曲線的定義

最終可以得到如下公式：

9/22定義控制頂點(diǎn)

，均勻的節(jié)點(diǎn)向量

，參數(shù)，定義曲線的其中一段：結(jié)合上面三式可以有

；其中，參數(shù)，

當(dāng)參數(shù)時(shí)，

.這就表明當(dāng)參數(shù)時(shí)，三次3次樣條曲線在分線段連接點(diǎn)處C3連續(xù)，當(dāng)參數(shù)

時(shí)，C5連續(xù)。3、曲面設(shè)計(jì)若要設(shè)計(jì)曲線，首先要知道參數(shù)

對(duì)曲線形狀的影響：10/22可以看出，當(dāng)控制定點(diǎn)固定時(shí)，樣條曲線段的控制多邊形的起點(diǎn)位置主要取決于基函數(shù)中參數(shù)的值，因此參數(shù)值越大，起點(diǎn)越接近點(diǎn)

，終點(diǎn)越接近，所以增加參數(shù)值的作用如上圖所示

曲線設(shè)計(jì)效果 從上式還可以得到，如果樣條曲線的控制頂點(diǎn)滿足條件

，

，則，無(wú)論參數(shù)值取什么，都有，11/22因此，在需要時(shí)只需加兩個(gè)控制點(diǎn)即可實(shí)現(xiàn)以下曲線：

開(kāi)曲線效果

閉曲線效果 橢圓的表示

12/22若想用它表示成一個(gè)整圓，則需要重新定義控制頂點(diǎn)，當(dāng)定義的控制頂點(diǎn)如下時(shí)：其中滿足

，取參數(shù)為0，這時(shí)候等距節(jié)點(diǎn)的三次樣條曲線

表示一個(gè)的是一個(gè)橢圓，當(dāng)

時(shí)，橢圓將成為一個(gè)完整的整圓，如上。3、曲面設(shè)計(jì)13/22利用張量積的方法，可以將三次樣條曲線由曲線推廣到四邊域的曲面，從而得到與三次樣條曲線結(jié)構(gòu)相同的定義曲面。局部參數(shù)表達(dá)式如下：

為三次T-B樣條曲面片，性質(zhì)同曲線，但是變異縮減性并不適用于曲面，下圖分別給出了有相同控制網(wǎng)格和不同參數(shù)定義的三次樣條曲面。曲面效果圖14/22

圖2.9參數(shù)為-0.5 圖2.10參數(shù)為0

圖2.11參數(shù)為1

4、定義Bézier曲線15/22為了驗(yàn)證曲線的拼接條件并給出證明，現(xiàn)定義如下基函數(shù)：其中

，且

為定義曲線和基函數(shù)的形狀參數(shù)。給出如下關(guān)鍵端點(diǎn)性質(zhì)：編寫目標(biāo)函數(shù)的M文件編寫目標(biāo)函數(shù)的M文件16/22性質(zhì)1：可調(diào)類三次三角Bézier曲線以p0,p3為起點(diǎn)和終點(diǎn):性質(zhì)2：可調(diào)類Bézier曲線和控制多邊形的首末兩邊相切,有：性紙3：將上式基函數(shù)分別求出一階二階導(dǎo)數(shù)，代入各參數(shù)即可求得。

5、驗(yàn)證并證明曲線的拼接條件編寫約束條件的M文件17/22G0連續(xù)的驗(yàn)證:定理1：兩條定義曲線:

的G0連續(xù)的充要條件是

有公共連接點(diǎn)，即

.為曲線

的G0連續(xù)的充要條件。G0連續(xù)的幾何意義為：曲線

的終點(diǎn)和曲線

的起點(diǎn)重合。如下圖:18/22G1連續(xù)條件:定理2：兩曲線

的G1連續(xù)的充要條件是(1)(2)存在 ，使:式中當(dāng)

在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)位于異側(cè)時(shí)

，同側(cè)時(shí)

。G1連續(xù)的幾何意義為：3點(diǎn)共線，如下所示同側(cè)和異側(cè)時(shí)效果圖19/22滿足G1連續(xù)時(shí)，分為同側(cè)和異側(cè)兩種情況，效果如下：

異側(cè)連續(xù)同側(cè)連續(xù)20/22曲線的G2拼接：定理3：兩條曲線

的G2連續(xù)的充要條件是滿足以下兩式：上式中：

分別為點(diǎn)

的距離所以兩曲線G2連續(xù)的充要條件是：除了G1連續(xù)外，兩曲線還同時(shí)需要滿足曲率矢量連續(xù)，即副法線向量曲率相同，下面只需借助工具計(jì)算即可。四、收獲與不足21/22收獲：

加深了對(duì)相關(guān)課程（計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，數(shù)學(xué)分析，數(shù)字圖形處理，組合數(shù)學(xué)，近世代數(shù)...）的回顧與理解。

進(jìn)一步熟悉了各種數(shù)學(xué)工具