二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)講義

高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第三冊)

6.3二項(xiàng)式定理

6.3.1二項(xiàng)式定理

【考點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一二項(xiàng)式定理

nnn22

(a+by=C?1a+C\a~'b+C^,a~b+-----FC%eN*).

(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.

(2)展開式：等號右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)"的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有〃+1項(xiàng).

(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)CMtG{0,l,2,…，〃})叫做二項(xiàng)式系數(shù).

知識(shí)點(diǎn)二二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)

5+切"展開式的第k+l項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk+i=Cd忱

【題型歸納】

題型一、二項(xiàng)式定理的正用、逆用

1.利用二項(xiàng)式定理展開下列各式：

⑴9+2小

⑵卜-力?

2.已知S=(X-1>+4(X-1)3+6(X-1)2+4X-3,則S可化簡為()

4444

A.%B.x+lC.(x-2)D.x+4

3.化簡(x-l)5+5(x-1尸+10。一1"+10(x—l)2+5(x-1)=.

4.設(shè)〃是正整數(shù)，化簡C：+C；6+C：62++C：6“T.

5.求證：32"+CJ32"-2+C〉32"T+I+C：T.32+1=10".

題型二、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用

6.求下列各展開式中的指定項(xiàng)：

⑴七展開式中的第4項(xiàng);

(2)(2x+5)4展開式中的第3項(xiàng).

7.已知在(近j的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).

⑴求“；

(2)求含V項(xiàng)的系數(shù)；

(3)求展開式中所有的有理項(xiàng).

8.求(x2-[)9展開式的.

(1)第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)：

(2)第3項(xiàng)的系數(shù)；

(3)常數(shù)項(xiàng).

9.已知二項(xiàng)式(l+2x)"的展開式中共有8項(xiàng).

(1)求展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；

(2)求展開式中含彳?的項(xiàng).

10.在-我)的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為28,

(I)求第5項(xiàng)的系藜(要算出具體數(shù)值)，

(II)展開式中是否含有常數(shù)項(xiàng)？若有，請求出來；若沒有，說明理由.

題型三、求兩個(gè)多項(xiàng)式積的特定項(xiàng)

11.(x+l)(x—1)6的展開式中/的系數(shù)為()

A.-3B.3C.-5D.5

12.(工3一2y)112、6

+q的展開式中,的系數(shù)()

A.-10B.5C.35D.50

13.(2x+a)[x+

的展開式中V的系數(shù)為T20,則該二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為)

A.320B.-160C.160D.-320

:]的展開式中/的系數(shù)為(

14.(爐—2x—1j|)

A.72B.60C.48D.36

15.（2+尤2）（1一：）’展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.

16.（x+2）（l-2x）5的展開式中含f的項(xiàng)的系數(shù)是.

17.（1-2x）5（1+3x）的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為

18.求（一+3萬+2）5展開式中含x項(xiàng)的系數(shù).

題型四、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

19.設(shè)nwN.,則51+5P：+5空,+…+5"C：除以7的余數(shù)為（）

A.0或5B.1或3C.4或6D.0或3

20.已知(1+x嚴(yán)I=4,+平+42》2+為1++出021》2⑼，則“2020+24刈9+34刈8+4。刈7++2020q+2021%=

()

A.2021x22021B.2021X22020

C.2020x22021D.2020x22020

21.求證：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，C：+C：+C：+-+C：=2"T.

2

22.求證：2"-C'nx2"-'+C1x2"-+...+(-1)"-'Cfx2+(-1)"=1.

23.(1)求9嚴(yán)被100除所得的余數(shù).

(2)用二項(xiàng)式定理證明：17。一1能被100整除.

【雙基達(dá)標(biāo)】

1.（l-2x）6展開式中，X，的系數(shù)為（）

A.20B.-20C.160D.-160

2.二項(xiàng)式的展開式中為常數(shù)項(xiàng)的是（)

A.第3項(xiàng)B.第4項(xiàng)C.第5項(xiàng)D.第6項(xiàng)

3.1—2C：+4C；-8c：+...+(—2)〃C；等于()

A.1B.-1C.(-1)7?D.3〃

4.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.10B.-20C.-30D.-50

5.若（心的展開式中第4項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則〃的值為（）

A.14B.16C.18D.20

6.中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，設(shè)”,"，，（〃?＞（））為整數(shù)，若。和"被,"除得

余數(shù)相同，則稱a和匕對?！?同余，記為a三伙modm）,若a=/+C；。-2+-220,a=t（modlO）,則b

的值可以是（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

7.設(shè)awZ,且04。413,若5『⑼+a能被13整除，則。=（）

A.0B.1C.11D.12

8.展開.

9.在卜-jj展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)值表示）

10.若&-1）4+力］的展開式中常數(shù)項(xiàng)為15,則實(shí)數(shù)〃的值是.

11.已知在的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).求：

（1）展開式中V的系數(shù)；

（2）含x的整數(shù)次幕的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

12.在二項(xiàng)式）的展開式中，

（1）求展開式中含V項(xiàng)的系數(shù)：

（2）如果第弘項(xiàng)和第上+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，試求女的值.

13.已知二項(xiàng)式（取一專）展開式中的第7項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng).

⑴求“：

（2）求展開式中有理項(xiàng)的個(gè)數(shù).

14.^(l+x)3+(l+x)4+(l+x)5++(1+力，(1+彳嚴(yán)的展開式中含d的項(xiàng).

15.已知（6-2）〃的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)比第2項(xiàng)的系數(shù)大162.

X

（1）求”的值；

（2）求展開式中含V的項(xiàng)，并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).

16.記（2x+（］的展開式中第加項(xiàng)的系數(shù)為

（1）求粼的表達(dá)式；

（2）若〃=6,求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

（3）若么=2瓦,求〃的值.

【高分突破】

1.二項(xiàng)式（J-，］的展開式的中間項(xiàng)為

()

1X)

A.126x，B.-126x3C.126/和-126/D.1261和126/

2.設(shè)a=3"+C：3"T+C；3"-2+,+C丁3,則當(dāng)后2021時(shí)，。除以15所得余數(shù)為（)

A.3B.4C.7D.8

3.若（2/+瓜）”的二項(xiàng)展開式中有一項(xiàng)為〃則機(jī)=()

15“八15

A.—B.60C.—D.90

42

4.（24-9）.（爐+2）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是（

)

A.332B.-332C.320D.-320

5.已知（X五-q）5的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為10,則。=()

X

A.-1B.1C.-2D.2

6.設(shè)aeN*,下列:本不舉二項(xiàng)式（x-』）"展開式中的項(xiàng)的是（）

A.6B.5/C.4/D.3x~'

（rq丫

7.與-3=展開式中含的項(xiàng)是（）

I3⑸”

A.第8項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第5項(xiàng)

8.已知（6+壺）的二項(xiàng)展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，則〃的值為（

)

A.7B.8C.9D.10

9.（2*-^+2,6展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.

10.二項(xiàng)式（依-3）8的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是______.

2x

11.設(shè)xeR且xwO,則（x+2）（：-l］的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

12.化簡：

(1)(14-X)6—(1-X)6;

(2)(1+?/+0—q；

13.在（我+壺）的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中x的一次項(xiàng).

14.已知/(x)=(x+，+l],neN*.

（1）記〃x）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，%當(dāng)〃=4時(shí)，求“的值；

（2）證明：當(dāng)”=10時(shí)，在/（x）的展開式中，一與子的系數(shù)相同.

15.在二項(xiàng)式（4-2），，的展開式中，給出下列條件：

X

①若展開式中第5項(xiàng)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為7：2;

②所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256；

③若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46.

試在上面三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并且完成下列問題:

(1)求(?-2)”展開式的常數(shù)項(xiàng)；

X

(2)求(l-2x)"展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng).

16.在(a-泰]的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列.

(1)求展開式的第四項(xiàng)；

(2)求展開式的常數(shù)項(xiàng)；

(3)求展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng).

【答案詳解】

545

1.(l)a+l0ab+40a/2+80a2^3+&()田+32b

(2)x7-7x5+21x3-35x+-+

XXXX

【詳解】⑴(a+2加5=a'+C；/(2〃)+C；a3(24+C>2(2ft)3+C^a(2b)4+C^2b)5

=4+10a4b+40a%2+S0a2b,+80a/+32b5

76523467

(2)(x--)=x，+C>(--)+C-x(--)+C*"(--)+C*3(--)+C江(2_1)5+C6x(_l)+c；(-l)

XXXXXXXX

7r5…CU352171

=X-Jx+2lx'-35xH------7-d------y

XXXX

2.A

【詳解】s=c：(x-1)4+C；(x-1)3+C：(x-1)2+C：(x-1)+C：=Kx-1)+1]4=/,

故選：A.

3.x5-1

【詳解】原式=1a—i)5+c；a—1尸+以a—i)3+c；a—iy+c；a-i)+仁一i

=[(x-l)+l]5-l=x5-l.

故答案為：X5-1.

【詳解】由c：>+C：6+C；62+C,B++C：T6"T+C；6"=(1+6)"=7",

.?.C：+C；6+G6++C：6"T=三或

66

5.證明見解析

【詳解】證明：32n+C!,-32,-2+C；-32,"4+---+C7'-32+l=C?.9,,+C!,-9"-1-l+C<9),-2-l2+---+C；；-|-9'-l/,-|+C；-l

=(9+1)”=10".

6.(1)160

(2)600/

【詳解】+展開式中的第4項(xiàng)為7；=C*『EJ=16O

(2)(2x+5『展開式中的第3項(xiàng)7；=戲.⑶y演住x2

7.(1)10；

⑵405：

⑶品.(-3)2,((-3)5,%.(-3)2.

n-rrn-2r

【詳解】⑴通項(xiàng)公式為&=C：-X『(-3)'?”=(-3)"C；.XT-

因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r=5時(shí)，有號;二。，解得“=10.

⑵由⑴可知”=10,令號-2,解得r=2.

所以含/項(xiàng)的系數(shù)為(-3廣維=405.

10-2r)

------eZ

3

(3)由題意可知，0</-<10,

reN

則「可能的取值為2,5,8.

所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，分別為63(-3)232,(-3)5,C,V(-3)8-%-2.

8.(1)126(2)9(3)—

16

【詳解】(1)由二項(xiàng)式定理及展開式的通項(xiàng)公式可得：第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為《=126；

(2)由題意可知，[=解心2)7.(-]>=94，故第3項(xiàng)的系數(shù)為9；

2x

⑶因?yàn)閖=G(J廠,(j，

令18-3r=0,解得r=6,

所以蝙

即常數(shù)項(xiàng)為今21.

16

9.(1)280；(2)[=84x2

【詳解】(1)二項(xiàng)式(1+2”的展開式有〃+1項(xiàng)，所以72+1=8,可得〃=7,

(1+2x)7展開式的通項(xiàng)為=C；2rxr,

所以展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為C>3=280；

(2)(1+24展開式的通項(xiàng)為J=C；2”’,

222

所以含x的項(xiàng)為r3=C；2%=84x2.

10.(I)1120；(II)不含，理由見解析.

-9)展開式的通項(xiàng)為=c：2r吁2,.(_4/=C?r2"-r(-l)r

【詳解】T

⑴由題意可知：第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)G粵1=28,

可得：n=8,

所以展開式的通項(xiàng)為刀x'：’

所以第5項(xiàng)的系數(shù)為C；2z(_iy=70x16=1120,

48-7r

(II)該展開式的通項(xiàng)式為(=c；28T

令4竺8-產(chǎn)7r=0可得：48這與reN*矛盾，

所以展開式中不含有常數(shù)項(xiàng).

11.c

【詳解】由題意，V的系數(shù)為C：+C：(-l)3=-5.故選：C.

12.A

【詳解】12+1的展開式第『+]項(xiàng)&產(chǎn)a(Y

當(dāng)r=3時(shí)，x，C>x3y3=201y3；當(dāng)廠=2時(shí)，一2yC：fy2=-30尤為3,

二20x6y3-30x6y3=-10x6/,

；.x6y3的系數(shù)為_io.

故選：A.

13.D

【詳解】卜+野’的展開式通項(xiàng)為卻=晨.產(chǎn)，.弓］=晨.才.產(chǎn)匕

則Zx&y"-"%,因?yàn)閞eN,則7-2r#2,

k62k

aTM=aCi2-x-,令6-24=2,可得&=2,則“晨衰=60。=-120,得a=—2,

因?yàn)?—2廠工0,在-2加中，令6-2左=0,可得k=3,

因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-2C：x23=-320.

故選：D.

14.A

【詳解】的展開式的通項(xiàng)為J=(-2)匕/2?=0,1,2,3,4,5,6).

3

令6—2/'=2,得r=2,令6—2r=3,得r=/eZ,舍去；

令6-2/=4,得廠=1.

所以(V—2x-1)卜-的展開式中/的系數(shù)為(-2＞或=72,

故選:A.

15.12

在2(1-￡|的展開式通項(xiàng)2加=2(2襄(-1)'上，由—〃=0,可得/?=(),

在的展開式通項(xiàng)X2T；+1=C；?(-1Y/3由2-左=0,可得&=2.

因此，(2+n(1_］展開式中的常數(shù)項(xiàng)是2C；+C；=12.

故答案為：12.

16.70

【詳解】?/(x+2)(1-2x)5=x(1-2x)5+2(1-2x)5,

又(l-2x)s的展開式的一次項(xiàng)為C；14(-2X),二次項(xiàng)為C丁(一2XY

(x+2)(l-2x)5的展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為-2C；+2x4C；=70,

故答案為：70.

17.10

【詳解】若選后項(xiàng)因式中的1,則前項(xiàng)只能取含爐對應(yīng)項(xiàng)，則此時(shí)/項(xiàng)的系數(shù)為1.仁(-2『=40；

若選后項(xiàng)因式中的3x,則前項(xiàng)因式只能取含x對應(yīng)項(xiàng)，此時(shí)/項(xiàng)的系數(shù)為3.《.(-2)'=-30,

則(l-2x)5(l+3x)的展開式中『項(xiàng)的系數(shù)為40-30=10,

故答案為：10

18.240

【詳解】因?yàn)槿?3x+2丫=[(1+x)(2+x)了=0+才(2+x)s,

r5

(1+x)s的展開式通項(xiàng)為4+i=C?x,(2+x)的展開式通項(xiàng)為Bk+l=皮.?丁,其中(04r#45,左wN),

所以，(1+X)5(2+X)5的展開式通項(xiàng)為熱⑷=展弁鏟-xr+k,

fr=0fr=1

由廠+%=1可得I,1或八，

[K-I[k=0

因此，展開式中含了項(xiàng)的系數(shù)為C；C；-2*+C；C；2'=240.

19.A

【詳解】1+5C>52^+53C>...+5"C；-1,

=(1+5)--1=(7-1)--1,

=7"C：>-7"-'C'?+7"-2C：+…+7(-1廣,C；：-'+(-l)r'C；；-l,

故除了最后2項(xiàng)外，其余的各項(xiàng)均能被7整除，故它除以7的余數(shù)即為(T)”-l除以7的余數(shù)，即為?；?,

故選：A

20.B

【詳解】依題意，a,=C^?keN,k<2021,

當(dāng)人1時(shí),

(2021-k)a=(2021-k)C^=202\C^-k

k2l而駕h"嬴

202fH

2021----------.......=2021(/-C歌°),

[2020-(k-1)]!?(%-1)!20212020

2021

于是彳導(dǎo)。砂0+22()]9+3。2()18+4。然)17++20204+202lq)—〉：(2021—A)4+20214

_k=\_

2021(2021

=[#021(。-C鼠)]+2021以21=2021￡(%

￡=1\&=0

=2021(22021-22020)=2021x22020.

故選：B

21.證明見解析

【詳解】證明：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)

(1+1)"Y+C：+...+C：=2"①

(1-1)"=C：-C：+d+…+C：=0②

①+②得

2c+C；+C：+...+C,：)=2"

.?c+d+c：+…+c；=2"T.

22.證明見解析.

【詳解】左邊=2"-C：x2n-'+C；x2"-2+...+(-ir'C；；-1x2+(-1)"

=C；x2"x(-l)°+C：x2"-'x(-1)'+C；x2*2(_i)2+…+x2'x(一1嚴(yán)+c；；x2°x(-1)"=(2-1)"

=1=右邊.

即證.

23.(1)81；(2)證明見解析

9292929l9,1292

【詳解】(1)91=(100-9)=C^2.100-Ct2.100.9+C^2.100.9--+C^9,展開式中前92項(xiàng)均能被100整

除，只需求最后一項(xiàng)除以100的余數(shù).

9292929,2

V9=(10-l)=C!J2.10-C^2.10+---+C^.10-C^.10+l,前91項(xiàng)均能被100整除，后兩項(xiàng)和為-919,又余

數(shù)為正，

.?.可從前面的數(shù)中分離出1000,結(jié)果為1000-919=81,

???9儼被100除所得的余數(shù)為81.

(2)證明：V1110-1=(10+1)，0-1

98

=(1O'°+C；O.1O+C^O.1O+---+C^.1O+1)-1

IO982

=10+C；0.10+C^.10+---+10

876

=1OO(1O+C；O.1O+C^O.1O+???+1),

能被100整除.

【雙基達(dá)標(biāo)】

1.D

6rrrr

［詳解】(1-2x)6展開式通項(xiàng)為Tr+l=C；-l-.(-2)x=C；(-2)Z,

令r=3可得7；=C；(-2),3=_160V,

所以/的系數(shù)為-160,

故選：D.

2.C

30-—r

【詳解】依題意,的展開式的通項(xiàng)為4“==(-l)rC；x2,reN,r<5,

令30-畀=0,得I,即n是二項(xiàng)式卜的展開式的常數(shù)項(xiàng),

所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng).

故選：C

3.C

【詳解】原式=(1—2)〃=(—1)篦.

4.D

【詳解】Q(l-2x2)[

展開式通項(xiàng)為C；-X6Y?產(chǎn)2r

1

6—2%=0k=3

令8-2r=0'得

r=4?

因此，二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為V-2C：=-50,

故選：D.

5.C

/?\ntY”6k

【詳解】(取一少展開式的通項(xiàng)為乙|=C：卜[(-l)Ax-A=C,：(-l)AxrT,

n18n1g

令&=3可得q=c；(-1)3/方為常數(shù)項(xiàng)，可得§-1=3可得”=18,

故選：C.

6.B

【詳解】因?yàn)閍=G+C>2+C>22++C^-220=(1+2)20=910=(10-1)'°

IOI98

=C^1-1O-C1O-1O+CI^1O--C*10+1=l(modlO),

四個(gè)選項(xiàng)中，只有6=2021時(shí)，除以10余數(shù)是1.

故選：B.

7.B

【詳解】因?yàn)閍eZ,且0W13,

所以51的+。=(52-1嚴(yán)+a,

=2叫仁以52項(xiàng)。+。152刈9-…+。然52-。吃+”,

因?yàn)?產(chǎn)⑼+〃能被13整除,

所以-C喘+。=-1+。能被13整除，

所以。=1,

故選：B

8.32/一80/+丈當(dāng)+與一二

XX4X7M。

【詳解】

4

《)；)(5一；(2

2x-=C2x)C2x)[:)+C；(2X)3

1

7-7V-%10.

故答案為：32/-80/+碼—當(dāng)+與—J

XXXX

9.-20

［詳解］(X-j展開式的通項(xiàng)為Tk+l=kJc：(-1/產(chǎn)2”,

令6-2Z=0,可得&=3,

3

所以常數(shù)項(xiàng)為C；(-1)/閃=_20)

故答案為：-20

10.±72

【詳解】因?yàn)?5+仁)的通項(xiàng)公式為7；M=C；

33

若得到常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)。-1)取-1時(shí)，令6-9=0,當(dāng)。-1)取1時(shí)?，令6-力=-1,

22

14

解得r=4或r=§(舍)，

所以廠=4,

因?yàn)椤耙?).(5+2)展開式的常數(shù)項(xiàng)為15,

所以C：X234X"=15,

解得a=±5/2-

故答案為：±收

11.(1)—；(2)6

8

【詳解】(1)在(g/-9)〃的展開式中，第9項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，

而第9項(xiàng)的通項(xiàng)公式為T9—C：?28-n*x2n-,6,x-4=28-n*C：*x2n-20,

故有In-20=0,解得n=10.

則展開式的通項(xiàng)公式為萬+/=C"…。。斕-2L(-1)廠/=(-1)廠2「-小，?尤2吟.

令20-得=5,求得r=6,故展開式中x5的系數(shù)為工?品=等.

228

(3)由20為整數(shù)，可得，=0,2,4,6,8,10,故含x的整數(shù)次基的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為6.

12.(1)264(2)仁1或23.

【詳解】⑴設(shè)第4+1項(xiàng)為％=3(-2)。喙，

3

令6-3=3,解得4=2,

2

故展開式中含1項(xiàng)的系數(shù)為G：(-2)2=264.

(2)二.第次項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C*T,第Z+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Ct”，

VC^-'=C^',故女一1=%+1或3/—1+廠+1=12,

解得k=l或k=3.

13.(1)〃=15(2)展開式中的有理項(xiàng)共有3項(xiàng)

【詳解】(1)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為

&=cL目

2"-5r

=(-i)「.2yL,

第7項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，

/.2n-5x6=0

/.n=15

30-5「

⑵由⑴知4“=(_1)，.2rq㈠丁，

若為有理項(xiàng)，則至與牝=5-gr為整數(shù)，

66

.,,為6的倍數(shù)，

0>15,.-.r=0,6,12,共三個(gè)數(shù)，

，展開式中的有理項(xiàng)共有3項(xiàng).

14.5985X*

【詳解】由(1+X)3+(1+X)，+(1+X)，++(1+X)19+(1+X)2<，,

可得展開式中含V的項(xiàng)為：*+屐/+*+…+*=(《+《+/;+…+d

=(C：+C：+C；++C；o)V=(C；+C；++段＞?3==C；「V=5985X3.

15.(1)9；(2)乃=一189，9.

〃一2(O、/〃-b

［詳解］(1)因?yàn)閠=C：(4)=40>^.

豈=以卬0=一2(7點(diǎn),

依題意得4c：+2C：=162,所以2C：+C：=81,

所以〃2=81,又〃RN*,故〃=9；

(2)設(shè)第k+1項(xiàng)含/項(xiàng)，則如=C：(五廣［-：)=(-2)*C；x號，

所以號￡=3,%=1,

所以含/的項(xiàng)為弓=c^(-2)'x3=-18x3

二項(xiàng)式系數(shù)為C；=9.

16.(1)鬣=2"j"C7；(2)160；(3)n=5.

【詳解】(1)(2x+gJ的展開式中第〃7項(xiàng)為C；T(2x)"T"d=2向-"，黑氣"+2d，所以超=2"fc：i.

(2)當(dāng)〃=6時(shí)，(2x+J的展開式的第r+1項(xiàng)為(M=G(2X)6，[￡|=26-rC；x6-2r.

依題意，令6—27=0,得r=3,

故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為4=2y=160.

(3)由(1)及4=24,得2"-2C：=2X2"-C：,

從而C：=C：,即〃=5.

【高分突破】

1.C

【詳解】二項(xiàng)式卜-J]的展開式共有10項(xiàng)，中間項(xiàng)有兩項(xiàng)，為第五項(xiàng)和第六項(xiàng),

7；=C；(x2)[-J)=126/,7；=C(X2)41-￡|=-126X3,

故選：C.

2.A

【詳解】VC燈+C：3小+C；3"2++C：T3+禺3°=(3+1)〃=4小

.\a=4n-1,

當(dāng)”=2021時(shí)，a=4202l-l=4xl6l0,0-l=4x(15+l)，0l°-l,

而(15+1片-1=%。1*。+4。153+^器15,

故此時(shí)。除以15的余數(shù)為3.

故選：A.

3.B

【詳解】展開式的通項(xiàng)為小=《2"-%27戶，

([n=6,

令L2n—2口k=4,解得7.所以加=或220=60,故選：B

[3K=12[k=4

4.B

6=或.（26廣1一%）=（-1戶265以.X

【詳解】展開式的通項(xiàng)為，+1

當(dāng)3-4=0,即々=3時(shí)，(-1)3-23.<^=-160,

當(dāng)3—％=—2,即&=5時(shí)，(一1)5.2?點(diǎn)=-12,

故(2石?(/+2)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是-160x2-12=-332.

故選：B.

5.A

15-5r

【詳解】(X五的展開式中，通項(xiàng)公式為J=黑.(了五產(chǎn).(-夕=墨4-。)'”-，

XX

令［5J;。,求得，=3,

可得常數(shù)項(xiàng)為C；.(-a)，=10,求得。=T.

故選：A

6.C

【詳解】由題意，二項(xiàng)式(x-x-'y的展開式的通項(xiàng)為心=。了…(-二、=(-i)c/j,

當(dāng)a=4,r=2時(shí)，可得7；=(-1)2瑪/32=6,所以A符合題意；

當(dāng)。=5/=4時(shí)，可得(=(T)"GX""=5X-3,所以B符合題意；

當(dāng)”=4/=3時(shí)，可得4=(-1)3心/23=_4/，所以c不符合題意；

當(dāng)a=3,r=2時(shí)，可得(=(_?C；-2*2=3/,所以D符合題意，

故選：C.

7.C

(r~,y(,?y/?V7

【詳解】［苧-京J展開式的通項(xiàng)公式為：=(-1>3”7?3?轉(zhuǎn)’；

令7:-r=-；3=r=5；故展開式中含3的項(xiàng)是第6項(xiàng).故選：C.

22x

8.B

【詳解】依題意，(4+壺)的二項(xiàng)展開式通項(xiàng):11

&尸C：(五嚴(yán)?(宗)’=彳C"：rGN,/,<n,

于是有：C；+；C：=2xgc，整理得1+四(D=〃，即“2_9及+8=0,Ifijw>2,解得〃=8,

所以”的值為8.

故選：B

9,-160

【詳解】因?yàn)?2x-g+2y)展開式的通項(xiàng)為

乙=C：(2X-￡|(2y)'=C：.Ct(2x)6E(_￡|⑵，)’

=C；.*?26M.㈠)*聲，@了(0<A:<6-r)

令/*=(U=3,可得常數(shù)項(xiàng)是l)3=_160.

故答案為：-160.

10.7

,1?-18-4r

【詳解】二項(xiàng)式(正-―)8的展開式的通項(xiàng)乙=C；(^/7)8-r-(--/=(--rq-x-,reN,r<8,

2x2x2

由胃=o得r=2,貝m=(-J)2c；=7,

所以所求常數(shù)項(xiàng)是7.

故答案為：7

11.3

【詳解】(21-1[的通項(xiàng)公式為九1=竦]!|"(一1)"=(一1)”以亡5,

=(-1)°《XT+(-1)'C—+(-1『CT+(一1丫C^-2+(-l)4以+(_瑤0江。,

Q(x+2)g—1]1]+2(/一1)的常數(shù)項(xiàng)為：x(-l)4Ctx-'+2(-1)5C"x°=5-2=3.

故答案為：3

12.⑴⑵+*+百

(2)2+20x+lOx2

Q

⑶8rH—Z-

X

【詳解】⑴(1+%)6-(1-力6=C：+C：x+C；/+C>3+c*4+C1x5+C*

2

-(C：-C：x+C>-Ch_原5+*6)

=2(C：x++C江$)=12x+40X3+12X5

⑵（i+五）5+（i-?y=c；+c；?+c；（&）2+c（&）、+c；（五?+c：（?y

+c；-c；4+c；_仁(炭J+c：(?)"-c；(VI)5

=2+20x+10x2

Tj=c*+"⑶C*曾+啟齒+叱J

⑶*

（%咱Y咱+嗎）

-c>4-c>3.

W+c：叫8x7

X

13.當(dāng)

8

13

（五+壺）的展開式通項(xiàng)為n-r—it—r

【詳解】C"4,

2

前3項(xiàng)的系數(shù)分別為出“C：GJC：,（；jC；,

因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以2x（g[C=（；jc：+（g]C3

即/=]+L"〃T）,解得〃=1（舍去）或〃=8,

42

則7；M=（￡）C]；-丁，令4_qr=