廣東省河源市龍川縣重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

-2023學(xué)年廣東省河源市龍川重點(diǎn)中學(xué)高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|log2x＝0}，集合N滿足M∩N＝{1}，則符合條件的集合N可以是（）A．{x|x2＝0} B．{x|2x＝1} C． D．{x|x2+x＝0}2．（5分）已知復(fù)數(shù)z＝（a+b）﹣（a﹣b）i為純虛數(shù)（a，b∈R，i是虛數(shù)單位），且|z|＝2，則（）A．a(chǎn)＝1且b＝1 B．a(chǎn)＝1且b＝﹣1 C．a(chǎn)＝1或b＝﹣1 D．b＝1或b＝﹣13．（5分）若圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的母線與底面所成的角的正弦值為（）A． B． C． D．4．（5分）已知不為常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，且a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則下列正確的是（）A．a(chǎn)3＝5或0 B．a(chǎn)n＝n C． D．是公差為2的等差數(shù)列5．（5分）將函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移φ（0≤φ＜2π）個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝sin（x﹣）的圖象，則φ等于（）A． B． C． D．6．（5分）點(diǎn)（0，1）到直線y＝kx﹣1距離的最大值為（）A．1 B． C． D．27．（5分）在一般情況下，過江大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為90千米/小時(shí)；研究表明，當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．設(shè)當(dāng)車流密度x＝x0時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí)）f（x）＝x?v（x）可以達(dá)到最大．則（）A．x0＝100 B．x0＝120 C．f（x0）＝3000 D．f（x0）＝60008．（5分）已知過點(diǎn)的直線與拋物線C：y2＝2x交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)，則△PQG一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．有一個(gè)角為60°的三角形 D．面積為定值的三角形二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．（多選）9．（5分）已知a，b∈R且a＞|b|，則下列不等式中一定成立的是（）A． B．a(chǎn)2＞b2 C．lg（a﹣b）＞0 D．a(chǎn)+b＞0（多選）10．（5分）袋中有3個(gè)紅球，m個(gè)白球，n個(gè)黃球．現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為ξ，若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為，一紅一白的概率也為，則（）A．m＝n﹣1 B．m+n＝4 C．E（ξ）＝1 D．（多選）11．（5分）在平面內(nèi)，點(diǎn)F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）為兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P到直線x+y﹣2＝0的距離為d的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則d的值可以是（）A．1 B． C． D．4（多選）12．（5分）如圖，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝4，M為AA1的中點(diǎn)，直線B1M與平面ABC的交點(diǎn)為P，則以下結(jié)論正確的是（）A．PC⊥BC1 B．直線PC∥平面BMC1 C．在線段BC1上不存在一點(diǎn)Q使得A1Q⊥BC1 D．以A1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（5分）函數(shù)y＝tanx+x在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線的斜率為．14．（5分）若，則sin（α﹣π）＝．15．（5分）的展開式的常數(shù)項(xiàng)為．16．（5分）將一個(gè)三棱臺的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，第17題10分，18-22題每題12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2+a5＝7，_____．請?jiān)冖賁n+1﹣an＝Sn+1；②an+an+2＝2an+1，且a3＝3；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下列問題．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn＝an﹣5，求數(shù)列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）項(xiàng)和Tm．18．（12分）如圖，在體積為2的四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AB⊥BC，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝2．（1）求AD的長；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．19．（12分）在△ABC中，已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足2（csinC﹣bsinCcosA）＝csinA．（1）求角B的大小；（2）若，求ac的最大值．20．（12分）某茶樓提供了龍井、大紅袍等幾類茶葉供顧客選擇．根據(jù)以往銷售統(tǒng)計(jì)資料，顧客選擇龍井的概率為0.5，選擇大紅袍但不選擇龍井的概率為0.3，設(shè)各顧客選擇茶葉的種類是相互獨(dú)立的．（1）求該茶樓的一位顧客至少選擇龍井、大紅袍兩種茶葉中的一種的概率；（2）X表示該茶樓的100位顧客中，龍井、大紅袍兩種茶葉都不選擇的顧客數(shù)．求X的數(shù)學(xué)期望及方差．21．（12分）已知橢圓C：的離心率為，橢圓的左頂點(diǎn)為P，上頂點(diǎn)為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OPQ的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx﹣1．（1）若f（x）≥0恒成立，求a的最小值；（2）證明：+x+lnx﹣1≥0．答案解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【分析】求出集合M和答案選項(xiàng)中的各個(gè)集合即可．【解答】解：由log2x＝0解得x＝1，∴M＝{1}，∵{x|x2＝0}＝{0}，{x|2x＝1}＝{0}，{x|＝1}＝{1}，{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，∴只有C選項(xiàng)的方程才符合題意．故選C．2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝（a+b）﹣（a﹣b）i為純虛數(shù)，則a+b＝0，故z＝2bi，|z|＝2，則b＝1或b＝﹣1．故選：D．3．【分析】根據(jù)題意得出圓錐的母線長等于底面圓的直徑，圓錐的軸截面是等邊三角形，母線與底面所成的角以及角的正弦值．【解答】解：設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，母線長為l，由題意知，2πr＝πl(wèi)，所以2r＝l，即該圓錐的母線長等于底面圓的直徑，所以圓錐的軸截面為等邊三角形，所以母線與底面所成的角為60°，正弦值為．故選：B．4．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a3＝5，根據(jù)a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，可得d，從而判斷各選項(xiàng)．【解答】解：∵S5＝＝5a3，，∴，a3＝0或者a3＝5．∵a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，∴，∴a3＝0時(shí)，d＝0（舍去）A，B錯(cuò)誤．a(chǎn)3＝5時(shí)，（5﹣d）2＝（5﹣2d）（5+2d），解得d＝2，所以an＝2n﹣1，，C正確．＝n，是公差為1的等差數(shù)列，D錯(cuò)誤．故選：C．5．【分析】先根據(jù)圖象變換得到平移后的函數(shù)y＝sin（x+φ），然后結(jié)合誘導(dǎo)公式可得到sin（x+π）＝sin（x﹣），進(jìn)而可確定答案．【解答】解：將函數(shù)y＝sinx向左平移φ（0≤φ＜2π）個(gè)單位得到函數(shù)y＝sin（x+φ）．根據(jù)誘導(dǎo)公式知當(dāng)φ＝π時(shí)有：y＝sin（x+π）＝sin（x﹣）．故選：D．6．【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求解．【解答】解：點(diǎn)（0，1）到直線y＝kx﹣1距離：d＝＝≤2，∴當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)（0，1）到直線y＝kx﹣1距離取最大值為2．故選：D．7．【分析】根據(jù)條件建立分段函數(shù)關(guān)系，利用待定系數(shù)法求出k，m的值，利用二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：，則當(dāng)x＝200時(shí)，v（200）＝0，當(dāng)x＝20時(shí)，v（20）＝90，即，解得，故，當(dāng)0＜x≤20時(shí)，f（x）的最大值為x＝20時(shí)，f（20）＝1800；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸得f（x）的最大值為x0＝100時(shí)，f（100）＝5000．故選：A．8．【分析】設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立方程組可證，進(jìn)而易判斷A，B，C，可證△PQG的面積不為定值，可判斷D．【解答】解：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），過點(diǎn)的直線方程為，將直線方程與拋物線C：y2＝2x聯(lián)立得：y2＝2t（y+1）+5，∴y2﹣2ty﹣2t﹣5＝0，∴y1+y2＝2t，y1y2＝﹣2t﹣5．∵點(diǎn)，∴＝（x1﹣，y1﹣1），＝＝（x2﹣，y2﹣1），∴＝＝＝（y1+1）（y2+1）+4＝y(tǒng)1y2+y1+y2+5＝﹣2t﹣5+2t+5＝0，所以，故B正確．當(dāng)直線無限接近平行于對稱軸時(shí)，顯然|PG|≠|(zhì)QG|，∴△PQG不一定是等腰三角形，同時(shí)∠GPQ無限接近0°，故C不正確；點(diǎn)到直線PQ：的距離為，，＝＝＝不為定值．故D錯(cuò)誤，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．【分析】利用舉實(shí)例判斷AC，利用不等式的基本性質(zhì)判斷BD．【解答】解：A，當(dāng)a＝2，b＝﹣1時(shí)，滿足a＞|b|，但＞1不成立，∴錯(cuò)誤，B，∵a＞|b|，∴a2＞b2，∴正確，C，當(dāng)a＝2，b＝時(shí)，滿足a＞|b|，但lg（a﹣b）＜0，∴錯(cuò)誤，D，由a＞|b|知，a為絕對值比b大的正數(shù)，且a是正數(shù)，∴a+b＞0，∴正確．故選：BD．10．【分析】根據(jù)取出的兩個(gè)都是紅球的概率和取出的兩個(gè)是一紅一白的概率列方程組求出m、n的值，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．【解答】解：取出的兩個(gè)都是紅球的概率為＝，即（m+n+3）（m+n+2）＝5×6，解得m+n＝3，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；取出的兩個(gè)是一紅一白的概率為＝，化簡得15m＝15，解得m＝1，所以n＝2，所以m＝n﹣1，選項(xiàng)A正確；計(jì)算P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝，所以E（ξ）＝0×+1×+2×＝1，選項(xiàng)C正確；由P（ξ＝0）＝，判斷選項(xiàng)D正確．故選：ACD．11．【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求出P的軌跡方程，然后結(jié)合圓的性質(zhì)可求．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），由得（x+1）（x﹣1）+y2＝1，整理得x2+y2＝2，因?yàn)閳A心（0，0）到直線x+y﹣2＝0的距離為d＝＝，由幾何意義可知恰好滿足有兩個(gè)點(diǎn)符合的距離為d的范圍為．故選：AB．12．【分析】由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷A；由三角形的中位線定理和線面平行的判定定理可判斷B；由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷C；求得以A1為球心，為半徑的球被側(cè)面BCC1B1截得的小圓為以H為圓心，為半徑的圓，其交線為四分之一的圓弧，計(jì)算可判斷D．【解答】解：延長B1M，延長BA，交于點(diǎn)P，連接PC，因?yàn)镸，A分別為線段A1A和PB的中點(diǎn)，可得PC⊥BC，又B1B⊥平面ABC，而PC?平面ABC，可得B1B⊥PC，又B1B∩BC＝B，可得PC⊥平面B1BCC1，而BC1?平面B1BCC1，可得BC1⊥PC，所以A正確；連結(jié)B1C，交BC1于點(diǎn)N，易證得MN是△B1PC的中位線，PC∥MN，PC?平面BMC1，MN?平面BMC1，直線PC∥平面BMC1，所以B正確；取B1C1的中點(diǎn)為H，連結(jié)A1H，則A1H⊥平面BCC1B1，欲證A1Q⊥BC1，只需HQ⊥BC1，顯然過H作BC1的垂線即可，所以存在這樣的點(diǎn)Q，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)锳1H⊥平面BCC1B1，所以以A1為球心，為半徑的球被側(cè)面BCC1B1截得的小圓為以H為圓心，為半徑的圓，其交線為四分之一的圓弧，長度為，所以D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得x＝0時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，則答案可求．【解答】解：由y＝tanx+x＝，得y′＝，代入x＝0，得原點(diǎn)處的切線斜率為．故答案為：2．14．【分析】由題意利用誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以，所以．故答案為：﹣?5．【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘積的性質(zhì)分別進(jìn)行討論求解即可．【解答】解：每個(gè)括號內(nèi)有x4，﹣x，﹣，若的5項(xiàng)式乘積中先選x4，顯然不會(huì)超過2項(xiàng)．①，顯然不可能出現(xiàn)的項(xiàng)；②再考慮＝，展開式中，唯有取會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，為．而，不可能出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)．故答案為：30．16．【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)在三棱臺ABC﹣DEF中，首先：對A，B，C著色，有5×4×3種；然后：D點(diǎn)可以用B或C點(diǎn)的色，也可以用剩下的兩種色．現(xiàn)分類：①用B或C點(diǎn)的色，對稱性，不妨設(shè)用B點(diǎn)的色，則E點(diǎn)有4種色可以選擇，又分為兩類：（1）E與C同色，則F有3種色可選擇；（2）與C不同色，則F有2種色可選擇，共有2×（1×3+3×2，②用剩下的兩種色，則E點(diǎn)有3種色可選擇，又分為兩類：（1）E與C同色，則F有3種色可選擇；（2）與C不同色，則F有2種色可選擇．共有：2×（1×3+2×2）．所以不同的染色方法的總數(shù)是5×4×3×[2×（1×3+3×2）+2×（1×3+2×2）]＝1920．故答案為：1920．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，第17題10分，18-22題每題12分，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【分析】（1）①由已知可得an+1﹣an＝1，可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；②an+an+2＝2an+1，得an+2﹣an+1＝an+1﹣an，可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；③由已知可得，可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）bn＝n﹣5，分n≤5或n＞5兩種情況求數(shù)列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）項(xiàng)和Tm．【解答】解：（1）①Sn+1﹣an＝Sn+1，得Sn+1﹣Sn＝an+1＝an+1，an+1﹣an＝1，所以數(shù)列{an}是以1為公差的等差數(shù)列，a2+a5＝a1+1+a1+4＝7，解得a1＝1，所以an＝n；②an+an+2＝2an+1，得an+2﹣an+1＝an+1﹣an，依等差數(shù)列的定義知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以有a3＝a1+2d＝3，a2+a5＝a1+d+a1+4d＝7，解得a1＝d＝1，所以an＝n．③，，兩式相減得：2an+1＝（n+2）an+1﹣（n+1）an，化為nan+1＝（n+1）an，，所以an＝na1，由a2+a5＝7，得2a1+5a1＝7，解得a1＝1，所以an＝n．（2）bn＝an﹣5＝n﹣5，當(dāng)m≤5時(shí)，可得Tm＝|b1|+|b2|+|b3|+|b4|+|bn|＝5﹣1+5﹣2+?+5﹣m＝5m﹣．所以數(shù)列{|bn|}的前m（m≥6，m∈N*）項(xiàng)和為10再加上首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列的前m﹣5項(xiàng)和，所以（m≥6）．綜上：Tm＝．18．【分析】（1）由三棱錐的體積可求AD的長；（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD方向?yàn)閤軸，AB方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系．求得平面PAB的一個(gè)法向量和平面PCD的一個(gè)法向量，利用向量法可求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值．【解答】解：（1）由題意，＝，解得AD＝1．（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD方向?yàn)閤軸，AB方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系．則C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），，，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，由，得，令x＝2，則y＝﹣1，z＝1，∴平面PCD的一個(gè)法向量，∵AD⊥平面PAB，∴取與共線的向量為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面PAB與平面PCD所成銳二面角為θ，則．19．【分析】（1）由正弦定理得2sinC（sinC﹣sinBcosA）＝sinCsinA，利用三角恒等變換可求B；（2）由正弦定理可求b，進(jìn)而由余弦定理可得a2+c2＝ac+4，由基本不等式可求ac的最大值．【解答】解：（1）由正弦定理得2sinC（sinC﹣sinBcosA）＝sinCsinA，∴2sinC﹣2sinBcosA＝sinA，由三角形的內(nèi)角和定理，得2sin（A+B）﹣2sinBcosA＝sinA，所以得2cosBsinA＝sinA，解得，∵B∈（0，π），；（2）若，，由正弦定理得，解得b＝2，由余弦定理得a2+c2﹣2accosB＝b2，∴a2+c2＝ac+4，利用基本不等式可得ac+4≥2ac，所以ac≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝2時(shí)，取等號），即ac的最大值為4．20．【分析】（Ⅰ）根據(jù)互斥事件的概率和計(jì)算即可．（Ⅱ）根據(jù)對立事件的概率公式和二項(xiàng)分布，計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差．【解答】解：記A表示事件：該茶樓的一位顧客選擇龍井；B表示事件：該茶樓的一位顧客選擇大紅袍但不選擇龍井；C表示事件：該茶樓的一位顧客至少選擇龍井、大紅袍兩種茶葉中的一種；D表示事件：該茶樓的一位顧客龍井、大紅袍兩種茶葉都不選擇．（Ⅰ）P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，C＝A+B，P（C）＝P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.8．（Ⅱ）D＝，P（D）＝1﹣P（C）＝1﹣0.8＝0.2，X～B（100，0.2），即X服從二項(xiàng)分布，所以期望為E（X）＝100×0.2＝20