任意角和弧度制

任意角和弧度制

問題：在實(shí)際問題中還會(huì)遇到其他角．角的定義

角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形.始邊終邊AOBα頂點(diǎn)

角是平面幾何中的一個(gè)基本圖形，角是可以度量其大小的.在平面幾何中，角的取值范圍如何？

1.體操是力與美的結(jié)合，也充滿了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森舉行的第36屆世界體操錦標(biāo)賽中，“李小鵬跳”——“踺子后手翻轉(zhuǎn)體180度接直體前空翻轉(zhuǎn)體900度”，震驚四座，這里的轉(zhuǎn)體180度、轉(zhuǎn)體900度就是一個(gè)角的概念.

角的形成結(jié)果2.

在實(shí)際問題中還會(huì)遇到其他角．①體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水等比賽中，常常聽到“轉(zhuǎn)體10800”、“轉(zhuǎn)體12600”這樣的解說．②鐘表的指針、擰動(dòng)螺絲的扳手、機(jī)器上的輪盤等，它們按照不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角不全是0o～360o范圍內(nèi)的角.因此，僅有0°～360°范圍內(nèi)的角是不夠的.我們必須將角的概念進(jìn)行推廣.

任意角在齒輪傳動(dòng)中，被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的.一般地，一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，既可以按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，也可以按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).思考1：你認(rèn)為將一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度所形成的角，與按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度所形成的角是否相等？知識(shí)探究（一）：角的概念的推廣

思考2：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉(zhuǎn)方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，它還形成一個(gè)角嗎？

規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角．如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，則稱它形成了一個(gè)零角.度量一個(gè)角的大小，既要考慮旋轉(zhuǎn)方向，又要考慮旋轉(zhuǎn)量，通過上述規(guī)定，角的范圍就擴(kuò)展到任意大小.βB2γAB1αO思考3：對(duì)于你能用圖形表示這些角嗎？你能總結(jié)一下作圖的要點(diǎn)嗎？

畫圖表示一個(gè)大小一定的角:(1)先畫一條射線作為角的始邊，(2)再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向，(3)再由角的絕對(duì)值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量，(4)畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注.思考4：鐘表經(jīng)過4小時(shí)，時(shí)針與分針各轉(zhuǎn)

(填度).

思考5：如果你的手表慢了20分鐘，或快了1.25小時(shí)，你應(yīng)該將分鐘分別旋轉(zhuǎn)多少度才能將時(shí)間校準(zhǔn)？

－120°，450°.

－120°，-1440°.知識(shí)探究（二）：象限角

思考1：為了進(jìn)一步研究角的需要，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么對(duì)一個(gè)任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

xoy如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于如何象限，或稱這個(gè)角為軸線角.－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo

那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限(位置)，不能反映角的大小.思考2：銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？

思考4：在直角坐標(biāo)系中，135°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是135°嗎？xyo探究三：終邊相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內(nèi)在聯(lián)系？－32°－392°xyo328°思考2：與－32°角終邊相同的角有多少個(gè)？這些角與－32°角在數(shù)量上相差多少？思考3：終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸，y軸正半軸、負(fù)半軸上的角分別如何表示？

x軸正半軸：α=k·360°，k∈Z；x軸負(fù)半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；y軸正半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；y軸負(fù)半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.例1判別下列各角是第幾象限的角。(1)4050(2)4880(3)8400(4)-1200

(1)4050=3600+450

而450是第一象限角，所以4050是第一象限角解：(2)4880=3600+1280

而1280是第二象限角，所以4880是第一象限角(3)8400=2×3600+1200

而1200是第二象限角，所以8400是第二象限角(4)-1200=-3600+2400

而2400是第三象限角，所以-1200是第三象限角例2在0°～360°內(nèi)找出與下列各角終邊相同的角(1)9000(2)-500(3)4250(4)-6700

(1)9000=2×3600+1800

所以9000的角與1800角終邊相同解：(2)-500=-3600+3100

所以-500的角與3100角終邊相同(3)4250=3600+650

所以4250的角與650角終邊相同(4)-6700=-2×3600+500

所以-6700的角與500角終邊相同練習(xí)：判別下列各角是第幾象限的角。(1)4180(2)-1150(3)10220(4)-6000

探究四：弧度制一）問題的提出

1、度量角的方法——度分秒制把圓周角分為360等份——1度的角——60等份——1分的角——60等份——1秒的角.2、在同一個(gè)圓中，圓心角的大小與它所對(duì)的弧長(zhǎng)一一對(duì)應(yīng).

當(dāng)半徑不同時(shí)，同樣大的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)不相等.半徑rr1=1r2=2r3=3r4=4弧長(zhǎng)L弧長(zhǎng)與半徑的比值當(dāng)n=300時(shí)練習(xí):當(dāng)n=600時(shí)呢?可以計(jì)算弧長(zhǎng)L=3、實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：當(dāng)半徑不同時(shí)，同樣的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比是常數(shù).稱這個(gè)常數(shù)為該角的弧度數(shù).能否用弧長(zhǎng)來定義角的大小呢?二)1弧度角的定義我們把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。單位符號(hào)是rad,讀作弧度弧度把角度單位與長(zhǎng)度單位統(tǒng)一起來.三）弧度數(shù)1、在單位圓中，當(dāng)圓心角為周角時(shí)，它所對(duì)的弧長(zhǎng)為2π，所以周角的弧度數(shù)為2π，周角是2πrad的角.2、任意一個(gè)00~3600的角的弧度數(shù)必然適合不等式0≤x<2π.3、任一正角的弧度數(shù)都是一個(gè)正實(shí)數(shù)；任一負(fù)角的弧度數(shù)都是一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)；零角的弧度數(shù)是0.

弧度制下的角與實(shí)數(shù)之間的關(guān)系是怎樣的呢?角的集合正角零角負(fù)角4、用弧度來度量角，實(shí)際上角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：實(shí)數(shù)集R正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)角的弧度數(shù)四）角度制與弧度制的換算

用“弧度”與“度”去度量每一個(gè)角時(shí)，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個(gè)角的結(jié)果，二者就可以相互換算．

若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是，而在角度制里它是，

因此

1度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？度因?yàn)?/p>

解：例1用弧度制表示下列各角。(1)800(2)-15030′

角度制與弧度制互化時(shí)要抓住弧度這個(gè)關(guān)鍵．把化成度．例2解：角度

弧度

練習(xí)：寫出一些特殊角的弧度數(shù)

弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式(角用弧度).解：例3已知扇形的圓心角為72°，半徑等于20cm，求扇形的弧長(zhǎng)和面積；小結(jié)1.用度為單位來度量角的單位制叫做角度制，用弧度為單位來度量角的單位制叫做弧度制.

2.度與弧度的換算