函數(shù)值域與最值

求函數(shù)值域（或求函數(shù)最值）求函數(shù)值域方法很多，常用配方法、換元法、判別式法、不等式法、反函數(shù)法、圖像法（數(shù)形結(jié)合法）、函數(shù)的單調(diào)性法以及均值不等式法等。這些方法分別具有極強的針對性，每一種方法又不是萬能的。要順利解答求函數(shù)值域的問題，必須熟練掌握各種技能技巧，根據(jù)特點選擇求值域的方法，下面就常見問題進行總結(jié)。例1求函數(shù)如圖，∴y∈[-3/4,3/2].分析：本題是求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域問題，可用配方法或圖像法求解。oxy-113/2-3/41/2例2求函數(shù)分析：函數(shù)是分式函數(shù)且都含有二次項，可用判別式和單調(diào)性法求解。解法1：由函數(shù)知定義域為R,則變形可得：(2y-1)x2-(2y-1)x+(3y－1)=0.當(dāng)2y-1=0即y=1/2時，代入方程左邊＝1/2·3-1≠0,故≠1/2.當(dāng)2y-1≠0,即y≠1/2時，因x∈R,必有△=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0得3/10≤y≤1/2,綜上所得，原函數(shù)的值域為y∈〔3/10,1/2〕.解法2：（函數(shù)的單調(diào)性法）是增函數(shù)，u取最小值時，y也取最小值?！嘣瘮?shù)的值域為y∈〔3/10,1／2）例3求函數(shù)的反函數(shù)的定義域.分析：函數(shù)f(x)的反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，可用不等式法求解。解：變形可得∴反函數(shù)的定義域為(-1,1)。例4求下列函數(shù)的值域：

(1)y=6x2-2x3,(0<x<3);

(2)若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3,求ab的取值范圍（99年高考題）。分析：均值不等式可以解決諸多特殊條件的函數(shù)值域問題，變形恰當(dāng)，柳暗花明。(1)解：原函數(shù)可變形為：當(dāng)且僅當(dāng)x/2=3-x時，即x=2時取等號。故在0<x<3時函數(shù)y的值域為y∈〔9，+∞）。（2）解法1(均值不等式)當(dāng)且僅當(dāng)a=3時取等號。故ab∈〔9，+∞）解法2：（不等式法）當(dāng)a=3,b=3時取等號，故ab∈〔9，+∞）.例5求下栽列函至數(shù)的化值域蹤蝶：（1）y=武5-逼x+叫√3遙x-墳1；（2）y=饞x-瘦2+老√4殘-x2.分析瓦：帶泥有根昆式的農(nóng)函數(shù)濟，本夫身求值域較難漿，可受考慮紙用換賢元法嘆將其元變形生，換元戴適當(dāng)梨，事喬半功亂倍。即值域為y∈〔-4,2√2-2〕例6求下幣列函悔數(shù)的值域罵：分析感：求柄復(fù)合恭函數(shù)鉤的值域，效利用喂函數(shù)給的單狐調(diào)性精采用社換元裙法先酒求出風(fēng)外層才函數(shù)勉的值域作槍為內(nèi)定層函赤數(shù)的燥定義苗域，貴然后瘡求原燦函數(shù)旁的值域，也要特媽別注摔意內(nèi)層迎函數(shù)甘的定噴義域至的取值范繡圍。解（1）令u=竄x2+2牧x=炮(x檢+1父)2-1遺,得u∈嘆〔-氣1,網(wǎng)+∞適),則y=傻2u≧2-1=1趙/2；故值域促是y∈〔蓄1/占2,灰+∞燦).(2懇)令u=吐-x2+2育x+燈1=姑-(噸x-壞1)2+2裳≦2演,且u>句0,故y=包lo瞧g1/樹2u的定歸義域終為（0，2]上的春減函普數(shù)，勞即原糟函數(shù)石值域遠的為y∈〔鳥-1謠,+蓬∞)。分析污：本襖題求奴值域貿(mào)看似之簡單奪，其濕實有肥其技澤巧性耽，變鮮形適斷當(dāng)事侮半功駝倍。(1拍)可用披配方朱法或滴判別太式法毫求解;（2）可煙用單落調(diào)有洲界性外解之復(fù)。解法1：不展難看徐出y≧谷0,且可飽得定輔義域巨為3≦燈x≦乒5,原函辭數(shù)變涂形為粉：例7求下列函數(shù)的值域：（1）y=√x-3+√5-x;(2)y=√x-3-√5-x.由x∈[3,5]知，-x2+8x-15∈[0,1],即當(dāng)x=4時，ymax=2，當(dāng)x=3或5時，ymin=√2,故原函數(shù)的值域為[√2，2]。解法2：(判別旋式法).兩邊平方移項得:y2-2=2√(x-3)(5-x),再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≧0,y看成常數(shù),方程有實根的條件是=162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4)≧0,注意到y(tǒng)>0得y2-4≦0即0<y≦4而y2-2≧0即有√2≦y≦2,∴y∈[√2,2].(2)解：由y=√x-3-√5-x得定義域為x∈[3,5].∵y=√x-3在[3，5]上是單調(diào)增函數(shù)，y=-√5-x在[3,5]上也是單調(diào)增函數(shù)。∴y=√x-3-√5-x在[3，5]上是增函數(shù)，當(dāng)x=3時，ymin=-√2,當(dāng)x=5時，ymax=√2,故原函數(shù)的值域為y∈[-√2,√2].例8已知屑圓C：x2-4角x+鑄y2+1穩(wěn)=0上任砌意一勾點P（x,求y)隆,求拔的最拴大值概與最貞小值測。分析：即求圓上的點P(x,y)到原點(0,0)的斜率的最值，可利用數(shù)形結(jié)合法求解。xyoPC解：圓C方程為(x-2)2+y2=3，的最值即求圓上的點P到原點的斜率的最值。設(shè)y=kx,如圖，顯然，當(dāng)直線y=kx與圓C相切時k有最值，容易得出其最大與最小值分別為√3，-√3.

例9已知擔(dān)圓C：x2+y2-4鬼x+針6y盼+1都1=追0,求x+汽y+色4的最交值。分析插：本載題可減轉(zhuǎn)化初采用畏圓的府參數(shù)兵方程吳表達京，利亡用三育角函看數(shù)的前有界看性解艇決或撥在二駕元二拜次方啟程的問約束括條件肺下，紀(jì)求x+料y+撇4的線晚性規(guī)擠劃。解法1：條件可化為(x-2)2+(y+3)2=2把此圓化為參數(shù)方程∴(x+y+4)max=5(x+y+4)min=1解法2（線性粘規(guī)劃）∵x,嘗y是圓C:(栽x-秀2)2+(欄y+繼3)2=2上的陸點，球設(shè)x+占y+殊4=矛z,則y=雄-x泡+(關(guān)z-猜4)知,z完-4可看文作為染直線L:起x+巴y+嬸4-宣z=繳0在y軸上坐的截弦距，底作直層線y=花-x并平襪移，快當(dāng)直滲線L:帖x+插y+類4-敏z=靈0和圓C相切娛時，z-芒4有最賣大值項和最堅小值啦?！?招x+慶y+蓋4)ma胡x=5(x驢+y級+4亞)mi門n=1xyoC(2,-3)y=-x例10求函糖數(shù)塘的值唐域。分析：利用三角函數(shù)的有界性較數(shù)形結(jié)合為點(2,0)與點(cosx,-sinx)連線的斜率的過程要簡單。解：由將原柿函數(shù)娃化為si圈nx+yc株os梯x=2吩y例11求函貨數(shù)y=田√x2-2約x+閥10嘩+√絲式x2+6詢x+事13的值風(fēng)域。分析巡壽：本琴題求至函數(shù)摧的值域可用困解析胖幾何沿與數(shù)諸形結(jié)箏合法朝解之傻。A1(1毛,-大3)yA(1,3)B(-3,2)xoP將上強式可看成廳為x軸上彼點P(低x,碑0)與A(拿1,嗎3)村,B牲(-珍3,得2)的距展離之久和。暴即在x軸上囑求作慣一點P與兩猾定點A,掩B的距升離之叔和的投最值擊，利柔用解只析幾侄何的鍵方法意可求夢其