凸優(yōu)化理論與應(yīng)用-凸函數(shù)

1凸優(yōu)化理論與應(yīng)用第二章凸函數(shù)2凸函數(shù)的定義1.定義域?yàn)橥辜?.，有凸函數(shù)的定義：函數(shù)，滿足凸函數(shù)的擴(kuò)展定義：若為凸函數(shù)，則可定義其擴(kuò)展函數(shù)為凸函數(shù)的擴(kuò)展函數(shù)也是凸函數(shù)！3凸函數(shù)的一階微分條件若函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)集，且函數(shù)一階可微，則函數(shù)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對(duì)4凸函數(shù)的二階微分條件若函數(shù)的定義域?yàn)殚_(kāi)集，且函數(shù)二階可微，則函數(shù)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對(duì)，其Hessian矩陣5凸函數(shù)的例冪函數(shù)負(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)負(fù)熵函數(shù)范數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)6凸函數(shù)的例7下水平集(sublevelset)定理：凸函數(shù)的任一下水平集均為凸集。任一下水平集均為凸集的函數(shù)不一定為凸函數(shù)。 稱(chēng)為的下水平集。定義：集合8函數(shù)上半圖(epigraph)定理：函數(shù)為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)纳习雸D為凸集。 稱(chēng)為函數(shù)的上半圖。定義：集合9Jensen不等式為凸函數(shù)，則有：Jensen不等式的另外形式：10保持微函數(shù)財(cái)凸性境的算敲子凸函數(shù)的逐點(diǎn)最大值凸函數(shù)與仿射變換的復(fù)合凸函數(shù)的非負(fù)加權(quán)和對(duì)固定，為凸函數(shù)。逐點(diǎn)吐最大紋值函既數(shù)變踐換的杯例向量悄中炮個(gè)最質(zhì)大分陽(yáng)量之耐和：對(duì)稱(chēng)賀矩陣檢的最燈大特濃征值1112保持預(yù)函數(shù)昨凸性蹦的算懷子復(fù)合運(yùn)算凸函數(shù)的透視算子最小值算子為凸函數(shù)。13共軛嗎函數(shù)(c勝on呈ju央ga古te螞f庭un欣ct惑io州n)定義：設(shè)函數(shù)，其共軛函數(shù)，定義為共軛繞函數(shù)干的例共軛奴函數(shù)輩具有濾凸性界！14共軛省函數(shù)貪的性美質(zhì)Fenchel’sinequality性質(zhì)：若為凸函數(shù)，且的上半圖是閉集，則有性質(zhì)：設(shè)為凸函數(shù)，且可微，對(duì)于，若 則15準(zhǔn)凸臂函數(shù)股(qu朱as度ic闖on嬌ve清x透fu產(chǎn)nc未ti拼on閑)準(zhǔn)凸裙函數(shù)腹的例定義：設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的定義域和任意下水平集

為凸集，則稱(chēng)函數(shù)為準(zhǔn)凸函數(shù)。16準(zhǔn)凸品函數(shù)查的判能定定趙理定理：函數(shù)為準(zhǔn)凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對(duì)，有準(zhǔn)凸弊函數(shù)遇的判百定定壩理17定理：若函數(shù)一階可微，則為準(zhǔn)凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)為凸集，且對(duì)，有準(zhǔn)凸提函數(shù)舟的判攤定定喇理18 ，有定理：若函數(shù)二階可微，且滿足對(duì) 則函數(shù)準(zhǔn)凸函數(shù)。19最小澇值函蹄數(shù)非負(fù)梨權(quán)值險(xiǎn)函數(shù)弱的最丟大值券函數(shù)保持唯準(zhǔn)凸徑性的戒算子復(fù)合辨函數(shù)是關(guān)遲于心和霧的準(zhǔn)障凸函聯(lián)數(shù)，淘且膽為凸榜集。20準(zhǔn)凸米函數(shù)蘿的凸真函數(shù)踢族表鏟示若為準(zhǔn)凸函數(shù)，根據(jù)的任意下水平集，我們可以構(gòu)造一個(gè)凸函數(shù)族，使得性質(zhì)：若為準(zhǔn)凸函數(shù)的凸函數(shù)族表示，對(duì)每一個(gè)，若，則有例：21對(duì)數(shù)朱凸函巧數(shù) 為凸集 為凸函數(shù)。定義：函數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)凸函數(shù)，若函數(shù)滿足：定理：函數(shù)的定義域?yàn)橥辜?，且，則為對(duì)數(shù)凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)有對(duì)數(shù)蒸凸函奇數(shù)的怨例22對(duì)數(shù)倆凸函冒數(shù)和奪凹函昆數(shù)的倦性質(zhì)性質(zhì)追：對(duì)捧數(shù)凸耐性與密凹性贏對(duì)函閣數(shù)乘喇積和證正數(shù)泰數(shù)乘鴉運(yùn)算姓均保旋持封垮閉。定理：函數(shù)二階可微，則為對(duì)數(shù)凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)性質(zhì)運(yùn)：對(duì)瓦數(shù)凸償性對(duì)同函數(shù)尊加運(yùn)臘算保絮持封很閉。償?shù)珜?duì)縱數(shù)凹貧性對(duì)躁函數(shù)紀(jì)加運(yùn)方算不吃封閉劫。推論：函數(shù)對(duì)每一個(gè)在上對(duì)數(shù)凸，則函數(shù)也是對(duì)數(shù)凸函數(shù)。23對(duì)數(shù)嘩凸函典數(shù)和范凹函胳數(shù)的鞭性質(zhì)定理：函數(shù)為對(duì)數(shù)凹函數(shù)，則函數(shù)是對(duì)數(shù)凹函數(shù)。24廣義轉(zhuǎn)不等梅式下楊的凸階性廣義單調(diào)性的定義：設(shè)為真錐，函數(shù)稱(chēng)為單調(diào)增，若函數(shù)滿足：廣義凸函數(shù)的定義：設(shè)為真錐，函數(shù)稱(chēng)為凸，若函數(shù)滿足對(duì) 均有定理(對(duì)偶等價(jià))：函數(shù)為凸函數(shù)，當(dāng)且